Du même auteur
aux Éditions Odile Jacob

Vous y comprenez quelque chose, Monsieur Feynman ?, 1998.

Vous voulez rire, Monsieur Feynman !, 2000.

Leçons sur la gravitation, 2001.

Leçons sur l’informatique, 2006.

L’édition originale de cet ouvrage a été publiée aux États-Unis
par Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Massachusetts sous les titres :
Six Easy Pieces : Essentials of Physics Explained by its Most Brilliant Teacher
© 1995, 1989, 1963 by the California Institute of Technology
Six Not-So-Easy Pieces : Einstein’s Relativity, Symmetry, and Space Time
© 1963, 1989, 1997 by the California Institute of Technology
Introduction Copyright © 1997 by Roger Penrose

La Préface et les onze premiers chapitres de cet ouvrage
sont la reproduction autorisée des chapitres suivants
du Cours de physique de Feynman : « Préface de Feynman »,
chap. 1, 2, 3, 4, 7, 11, 15, 16, 17 de Tome 1, Mécanique 1, trad.fr. G. Delacôte.
Chap. 52 de Tome 1, Mécanique 2, trad.fr. G. Delacôte,
Chap. 1 de Tome 3, Mécanique quantique, trad.fr. B. Equer, P. Fleury, F. Muller.

© InterÉditions, Paris, 1979 et Dunod, Paris, 1999 pour la traduction française.
Pour la traduction française de l’introduction et du chapitre 12 :

© ODILE JACOB, 2000

15, RUE SOUFFLOT, 75005 PARIS

www.odilejacob.fr

ISBN : 978-2-7381-7717-9

Le code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5 et 3 a, d'une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l'usage du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, « toute représentation ou réproduction intégrale ou partielle faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (art. L. 122-4). Cette représentation ou reproduction donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle.

Ce document numérique a été réalisé par Nord Compo

Note de l’éditeur

Ces Leçons, à l’exception de la dernière, sont extraites du Cours de physique de Feynman publié par InterÉditions. Comme l’indique le titre de l’édition américaine en deux volumes par Addison-Wesley — Six Easy Pieces et Six Not-So-Easy Pieces —, il s’agit d’un recueil des chapitres les plus faciles ou les moins difficiles de son Cours, sans formules mathématiques ou sinon élémentaires. Feynman s’y soucie plutôt de traquer les idées physiques dans les exemples et les observations qu’il multiplie pour donner à son lecteur l’intuition de ce dont il s’agit.

Introduction

On ne peut pas comprendre pourquoi Richard Feynman fut un si grand professeur si l’on ne sait quelle fut sa stature scientifique. Il a été en effet l’une des figures de premier plan de la physique théorique du XXe siècle. Ses contributions dans ce domaine sont au centre de tout le développement de la recherche de pointe en théorie quantique et, par conséquent, de nos représentations actuelles du monde. L’intégrale de Feynman, les diagrammes de Feynman, et les règles de Feynman sont parmi les outils de base du physicien théoricien moderne — outils nécessaires à l’application des règles de la théorie quantique aux champs physiques (par exemple, la théorie quantique des élec- trons, des protons, et des photons), et qui constituent une part essentielle des procédures par lesquelles on rend ces règles consistantes avec les exigences de la théorie de la relativité restreinte d’Einstein. Et bien qu’aucune de ces idées ne soit facile à concevoir, l’approche particulière de Feynman leur a toujours donné une certaine clarté, balayant tout ce qu’il pouvait y avoir d’obscur dans ce qui avait cours auparavant. Il y avait un lien étroit entre ses talents de chercheur et ses qualités de professeur. Il avait un génie unique pour couper court aux complications qui obscurcissent souvent l’essentiel dans une question de physique et de voir clairement les principes physiques sous-jacents.

Et pourtant, Feynman est beaucoup plus connu pour ses antiquités et ses bouffonneries, ses plaisanteries, son impertinence vis-à-vis de l’autorité, ses sessions de bongos, ses relations avec les femmes, à la fois profondes et superficielles, son goût pour les clubs de strip-tease, sa tentative, à la fin de sa vie, d’atteindre la région obscure de Tuva en Asie centrale, et tant d’autres soties. Il devait sans aucun doute être extraordinairement intelligent, comme l’attestent sa prodigieuse vitesse de calcul, son talent pour ouvrir les coffres-forts, déjouer la vigilance des services de sécurité, déchiffrer d’anciens textes mayas, pour ne pas mentionner son prix Nobel. Et pourtant rien de tout cela ne donne la moindre idée du statut que lui vaut, parmi les physiciens et les autres scientifiques, d’être sans aucun doute l’un des penseurs les plus originaux de ce siècle.

Le physicien et écrivain Freeman Dyson, l’un des premiers collaborateurs de Feynman, en un temps où il développait ses idées les plus importantes, écrivit de l’Université de Cornell, où il préparait sa thèse, à ses parents en Angleterre au printemps 1948 : « Feynman est le physicien, mi-génie, mi-bouffon, qui distrait tous les physiciens et leurs enfants par sa vitalité débordante. Il a néanmoins, comme je l’ai appris récemment, beaucoup plus pour lui… » Beaucoup plus tard, en 1988, il écrira : « Une description fidèle présenterait Feynman comme totalement génial et totalement grotesque. La pensée profonde et les clowneries joyeuses n’étaient pas les deux parties d’une personnalité clivée… Il pensait et faisait le clown simultanément¹. » En effet, dans ses conférences, ses traits d’esprit étaient spontanés, et souvent outranciers. Ils permettaient de fixer l’attention de son auditoire sans jamais la distraire de ce qu’il visait — la transmission d’une compréhension authentique et profonde de la physique. En riant, son auditoire pouvait se détendre et se mettre à l’aise, plutôt que se laisser intimider par ce qui n’était sinon qu’expressions mathématiques et concepts physiques redoutablement difficiles à saisir. Et bien qu’il aimât être la vedette et qu’il fût sans aucun doute un homme de scène, ce n’était pas le but de ses exposés. Son but était de faire passer une compréhension profonde des idées physiques sous-jacentes et des outils mathématiques essentiels qui sont nécessaires pour exprimer ses idées correctement.

Si le rire joua une part cruciale dans sa réussite auprès de son auditoire dont il captivait ainsi l’attention, plus important encore pour faire passer les idées fut son approche de plain-pied. En effet, il avait un style extraordinairement direct et sans prétention. Il se moquait des philosophies filandreuses sans contenu physique. Et son attitude vis-à-vis des mathématiques était à peu près la même. Il ne s’embarrassait pas de subtilités mathématiques pédantes, mais il avait une maîtrise remarquable des mathématiques dont il avait besoin et qu’il pouvait présenter dans une clarté parfaite. Il n’était inféodé à personne et ne prenait pas pour argent comptant ce que les autres pouvaient maintenir être vrai sans s’être formé son propre jugement par lui-même. Son approche en était souvent étonnamment originale, que ce soit dans sa recherche ou son enseignement. Et lorsque sa manière de voir les choses s’écartait significativement de ce qui avait cours auparavant, il était plus sûr de parier que son approche serait la plus féconde.

Feynman préférait la communication verbale. Il ne s’engageait pas facilement, ni souvent, dans l’écrit. Dans ses articles scientifiques, ses qualités propres se faisaient certainement jour, mais de manière atténuée. C’est dans ses conférences que ses talents se donnèrent libre cours. Ses « Conférences Feynman » infiniment populaires n’étaient guère que des transcriptions (par Robert N. Leighton et Matthew Sands) de conférences que Feynman avait données, et la nature irrésistible du texte est évidente pour quiconque les lit. Les Leçons recueillies ici sont extraites de ces comptes rendus. Et pourtant, même dans ces mots transcrits, il manque quelque chose. Pour ressentir la jubilation que les conférences de Feynman suscitaient, je crois qu’il est important d’entendre sa voix. Son approche directe, son impertinence, et son humour peuvent être alors immédiatement appréciés. Une fois qu’on a entendu le commentaire puissant, passionnant et spirituel de Feynman, avec l’accent new-yorkais, on ne l’oublie plus et cela donne une image à laquelle s’accrocher en le lisant. Mais qu’on l’entende ou qu’on le lise seulement, on peut partager sa jubilation communicative lorsqu’il explore et réexplore continuellement les lois extraordinaires qui gouvernent notre univers.

Cette série de douze conférences est cohérente. Les six premières exposent les concepts fondamentaux et les outils de base de la physique théorique : structure atomique de la matière, relations avec d’autres disciplines qui justifient sa prééminence, lois universelles et principes de conservation, en même temps qu’un premier aperçu des phénomènes quantiques. Les six leçons suivantes rendent superbement compte, et de manière passionnante, de l’un des domaines les plus importants de la physique théorique moderne.

Ce domaine est la relativité qui s’est imposée à l’attention humaine au début du siècle. Le nom d’Einstein lui est indissolublement associé dans l’esprit du public. C’est bien en effet Einstein qui a le premier clairement énoncé en 1905 les principes profonds qui sous-tendent ce nouveau territoire de la physique. Mais d’autres physiciens avant lui, notamment Hendrik Antoon Lorentz et Henri Poincaré, avaient eu la plupart des idées de cette nouvelle physique. En outre, les grands savants Galilée et Newton avaient déjà souligné des siècles avant Einstein que dans les théories dynamiques qu’ils avaient eux-mêmes développées, la physique perçue par un observateur en mouvement uniforme devait être identique à celle que percevait un observateur immobile. Le problème clé que cela posait n’est apparu que plus tard, avec la découverte par James Clerk Maxwell, publiée en 1865, des équations qui gouvernent les champs électriques et magnétiques, et qui contrôlent aussi la propagation de la lumière. L’implication semblait en être que le principe de relativité de Galilée et Newton n’était plus vrai ; car, selon les équations de Maxwell, la lumière doit avoir une vitesse de propagation finie. En conséquence, un observateur au repos se distingue des observateurs en mouvement en ceci que pour lui seul la vitesse de la lumière apparaît identique dans toutes les directions. Le principe de relativité de Lorentz, Poincaré et Einstein diffère de celui de Galilée et Newton, mais il répond à la même exigence : la physique perçue par un observateur en mouvement uniforme doit être identique à celle que perçoit un observateur immobile.

Et pourtant, dans la nouvelle relativité, les équations de Maxwell sont consistantes avec ce principe, et la vitesse de la lumière a la même valeur fixe dans toutes les directions, quelle que soit la direction ou la vitesse du mouvement de l’observateur. Quelle magie opère cette réconciliation d’exigences en apparence désespérément incompatibles ? Je laisse Feynman l’expliquer à sa manière inimitable.

La relativité est peut-être le premier endroit où la puissance physique de l’idée mathématique de symétrie commence à être ressentie. La symétrie est une idée familière, mais il est moins familier aux gens de savoir comment une telle idée peut être appliquée conformément à un ensemble d’expressions mathématiques. Et c’est pourtant justement ce qui est requis pour réaliser les principes de la relativité restreinte dans un système d’équations. Afin d’être consistant avec le principe de relativité, selon lequel la physique « paraît identiquement la même » à un observateur en mouvement uniforme et à un observateur en repos, il doit y avoir une « transformation par symétrie » qui traduit les quantités mesurées par un observateur en celles de l’autre. C’est une symétrie parce que les lois de la physique apparaissent les mêmes à chaque observateur, et « symétrie », après tout, veut bien dire que quelque chose a la même apparence de deux points de vue distincts. L’approche de Feynman de matières abstraites de cette nature est très terre à terre, et il peut transmettre les idées d’une manière accessible à des gens qui n’ont aucune expérience mathématique particulière ni aptitude pour la pensée abstraite.

Alors que la relativité pointait du doigt d’autres symétries qui n’avaient pas été perçues jusqu’alors, quelques-uns des développements les plus modernes en physique ont montré que certaines symétries, autrefois considérées comme universelles, sont en fait subtilement violées. Ce fut un choc très violent pour la communauté physique d’apprendre en 1957 que Lee, Yang et Wu avaient montré que, dans certains processus physiques de base, les lois satisfaites par un système physique ne sont pas identiques à celles que satisfait la réflexion en miroir de ce système. En fait, Feynman contribua au développement de la théorie physique pour la rendre capable de s’accommoder de cette asymétrie. Il en rend compte ici en véritable dramaturge, dévoilant les mystères toujours plus profonds de la nature.

À mesure que la physique se développe, des formalismes mathématiques se développent avec elle et lui sont indispensables pour exprimer de nouvelles lois. Quand les outils mathématiques sont rigoureusement appropriés à leurs tâches, ils peuvent rendre la physique plus simple qu’elle ne serait autrement. Les idées du calcul vectoriel en sont le meilleur exemple. Le calcul vectoriel à trois dimensions fut développé à l’origine pour traiter la physique de l’espace usuel, et il constitue une machinerie sans prix pour l’expression des lois physiques, telles que celles de Newton, où il n’y a pas de direction privilégiée dans l’espace. Pour le dire autrement, les lois physiques ont une symétrie pour les rotations ordinaires dans l’espace. Feynman fait sentir la puissance de la notation vectorielle de même que les idées sous-jacentes pour exprimer de telles lois.

Toutefois, la théorie de la relativité nous dit que le temps lui aussi devrait être mis sous la coupe des transformations par symétrie, de sorte qu’un calcul vectoriel à quatre dimensions est nécessaire. Ce calcul nous est aussi présenté par Feynman ici, dans la mesure où il donne le moyen de comprendre non seulement que l’espace et le temps doivent être considérés comme différents aspects de la même structure quadridimensionnelle, mais aussi que la même chose est vraie de l’énergie et de la quantité de mouvement dans le cadre relativiste.

L’idée que l’histoire de l’univers devrait être représentée, physiquement, comme un espace-temps quadridimensionnel, plutôt qu’un espace tridimensionnel évoluant avec le temps, est en effet fondamental pour la physique moderne. C’est une idée dont la signification n’est pas facile à saisir. Il est vrai qu’Einstein lui-même n’avait pas beaucoup de sympathie pour cette idée lorsqu’il l’a croisée pour la première fois. L’idée d’espace-temps n’était pas en fait de lui, bien que l’imagination populaire la lui attribue le plus souvent. C’est le géomètre germano-russe Hermann Minkowski, qui fut un professeur d’Einstein à l’École polytechnique fédérale de Zurich, qui avança le premier cette idée d’un espace-temps quadridimensionnel en 1908, quelques années après que Poincaré et Einstein eurent formulé la théorie de la relativité restreinte. Dans une conférence restée célèbre, Minkowski déclara : « Ainsi l’espace par lui-même, et le temps par lui-même, sont condamnés à se dissiper comme de simples ombres et seule une sorte d’unité des deux préservera une réalité indépendante². »

Les découvertes scientifiques de Feynman qui ont eu le plus d’influence, celles que j’ai mentionnées plus haut, procèdent de sa propre approche de l’espace-temps en mécanique quantique. L’importance de l’espace-temps dans le travail de Feynman comme dans la physique moderne en général ne fait aucun doute. Il n’est donc pas surprenant que Feynman soit passionné dans sa promotion des idées d’espace-temps, soulignant leur importance en physique. La relativité n’est pas une philosophie farfelue, ni l’espace-temps un simple formalisme mathématique. C’est une des fondations de l’univers même dans lequel nous vivons.

Lorsque Einstein s’est accoutumé à l’idée d’espace-temps, il l’incorpora complètement à sa manière de penser. Elle devint une part essentielle de l’extension de la relativité restreinte — la théorie de la relativité mentionnée plus haut que Lorentz, Poincaré, et Einstein ont introduite — à ce qui est connu comme relativité générale. Dans la théorie de la relativité générale d’Einstein, l’espace-temps devient courbe, et elle incorpore le phénomène de la gravité dans cette courbure. C’est évidemment une idée difficile à saisir, et dans la leçon finale de ce recueil, Feynman se garde d’introduire toute la machinerie mathématique qui est nécessaire à la formulation complète de la théorie d’Einstein. Et pourtant, il en donne une description puissamment évocatrice, en utilisant des analogies étrangement profondes, afin de faire passer les idées essentielles.

Dans toutes ces leçons, Feynman fait des efforts particuliers pour rester précis dans ses descriptions, faisant presque toujours des réserves sur ce qu’il dit lorsqu’il y a le moindre danger que ses simplifications ou ses analogies puissent induire en erreur ou conduire à de fausses conclusions. Je pense néanmoins que sa présentation simplifiée de l’équation du champ d’Einstein avait besoin d’une précision qu’il n’a pas vraiment donnée. Car dans la théorie d’Einstein, la masse « active » qui est la source de la gravité n’est pas simplement la même que l’énergie (selon l’équation d’Einstein E = mc²) ; plutôt, cette source est la densité d’énergie plus la somme des pressions, et c’est cela qui est la source des accélérations gravitationnelles vers le centre. Moyennant cette précision additionnelle, la présentation de Feynman est superbe et constitue une excellente introduction à cette théorie physique parmi les plus belles et les plus achevées.

Bien que les leçons de physique de Feynman soient destinées sans vergogne à ceux qui aspirent à devenir physiciens — professionnels ou amateurs —, elles sont incontestablement accessibles à ceux qui n’ont pas de telles aspirations. Feynman croyait profondément (et je suis d’accord avec lui) à l’importance de transmettre une compréhension de notre univers, conforme aux principes de base de la physique moderne, à un public beaucoup plus large que le cercle étroit des cours de physique. Même plus tard dans sa vie, quand il prit part à l’enquête sur le désastre de Challenger, il se donna beaucoup de mal pour montrer, à la télévision nationale, que la source du désastre pouvait être comprise à un niveau tout à fait ordinaire, et il fit une expérience simple mais convaincante devant les caméras, montrant la friabilité des rivets lorsqu’il fait froid.

C’était un homme de scène, certainement, parfois même un clown ; mais son but primordial était toujours sérieux. Et quel but plus sérieux peut-il y avoir que la compréhension de la nature de notre univers aux plus profonds niveaux ? Pour transmettre cette compréhension, Feynman était inégalable.

ROGER PENROSE

1. Freeman Dyson, From Eros to Gaia, New York, Pantheon Books, 1992, p. 325 et 314.

2. Einstein, Lorentz, Minkowski et Weyl, The Principle of Relativity, Methen and Co, 1923, reproduit par Dover.

Préface

Voici les cours de physique que j’ai donnés l’année dernière et l’année précédente aux élèves de première et de deuxième année de l’Université de Caltech. Ces cours ne rapportent pas mot pour mot ce qui fut dit ; ils ont été édités quelquefois dans leur intégralité et quelquefois un peu moins. Ces leçons ne forment qu’une partie du cours complet. Tout le groupe des 180 étudiants se rassemblait dans une grande salle de cours, deux fois par semaine, pour écouter ces cours, et puis se divisait en petits groupes de 15 à 20 étudiants dans des sections de travaux dirigés sous la direction d’un assistant. Il y avait de plus une séance de laboratoire une fois par semaine.

Le problème particulier que nous avons essayé de résoudre avec ces leçons était de maintenir l’intérêt des étudiants, très enthousiastes et assez brillants, qui venaient de sortir des écoles secondaires et rentraient à Caltech. Ils avaient entendu beaucoup de choses sur les aspects intéressants et excitants de la physique — la théorie de la relativité, la mécanique quantique et d’autres idées modernes. Après avoir suivi deux années de nos cours précédents, beaucoup se seraient sentis découragés parce qu’on ne leur aurait présenté que très peu d’idées modernes grandes et nouvelles. Ils auraient étudié les plans inclinés, l’électrostatique, etc., et au bout de deux ans cela est passablement ridicule. Le problème était de savoir si, oui ou non, nous pouvions faire un cours qui pourrait ménager les étudiants les plus en avance et les plus enthousiastes en maintenant leur enthousiasme.

Les cours qui suivent ici ne sont pas du tout considérés comme un survol, mais sont très sérieux. J’ai pensé les adresser à ceux qui étaient les plus intelligents de la classe et je fis en sorte, dans la mesure du possible, que même l’étudiant le plus intelligent ne fût pas capable de saisir complètement tout ce qui se trouvait dans les cours — en suggérant un développement des idées et des concepts dans diverses directions s’écartant de la principale ligne d’attaque. Pour cette raison, j’ai essayé avec beaucoup d’attention de rendre les énoncés aussi précis que possible, d’indiquer dans chaque cas l’endroit où les équations et les idées trouvaient leur place dans l’ensemble de la physique et comment — lorsqu’ils en apprendraient davantage — les choses se modifieraient. J’ai pensé également que pour de tels étudiants, il est important d’indiquer ce qu’ils doivent — s’ils sont suffisamment intelligents — être capables de comprendre par déduction de ce qui a été dit précédemment et ce qui est introduit comme quelque chose de nouveau. Lorsque de nouvelles idées apparaissaient, j’ai essayé soit de les déduire, quand on pouvait le faire, ou d’expliquer que c’était une nouvelle idée qui ne s’exprimait pas en fonction des choses qu’ils avaient apprises jusqu’alors, qu’on ne pouvait pas la démontrer — mais qu’elle était simplement ajoutée.

Pour le début de ces cours, j’ai supposé que l’étudiant connaissait certaines choses en science lorsqu’il sortait de l’école secondaire — des choses telles que l’optique géométrique, les idées de chimie élémentaire, etc. Je n’ai pas vu qu’il y ait de raison particulière pour faire les cours dans un ordre défini au sens où je ne me serais pas permis de mentionner une chose jusqu’au moment où je serais prêt à la discuter en détail. Il y a de nombreuses références à des choses à venir, sans discussions complètes. Ces discussions plus complètes venaient plus tard, lorsque la préparation était plus avancée. Des exemples en sont les discussions de l’induction et des niveaux d’énergie qui sont introduits une première fois d’une manière très qualitative et sont plus tard développés plus complètement.

En même temps que je m’efforçais d’intéresser les étudiants les plus actifs, je voulais également prendre soin de ceux pour lesquels les applications marginales et ces feux d’artifice supplémentaires sont simplement inquiétants et dont on ne peut attendre qu’ils apprennent la totalité du matériau dans chaque leçon. Pour de tels étudiants, je souhaitais qu’il y ait au moins un noyau central, une ossature, qu’ils puissent acquérir. Même s’ils ne comprenaient pas tout dans une leçon, j’espérais qu’ils ne se décourageraient pas. Je ne m’attendais pas à ce qu’ils comprennent tout, mais seulement les caractéristiques centrales et les traits les plus directs. Il fallait bien sûr une certaine intelligence de leur part pour voir quels sont les théorèmes centraux, les idées centrales et quelles sont les issues latérales plus avancées et les applications qu’ils pouvaient ne comprendre que dans les années à venir.

J’ai rencontré une difficulté sérieuse en donnant ces cours : selon la manière dont le cours était donné, il n’y avait aucune expression en retour venant des étudiants vers celui qui donnait le cours, pour indiquer comment les leçons étaient assimilées. Cela est en effet une difficulté très sérieuse et je ne sais pas effectivement quelle est la qualité de ces cours. L’ensemble était essentiellement une expérience. Et si je devais le refaire je ne le ferais pas de la même manière — j’espère que je n’aurai pas à le refaire ! Je pense, cependant, que les choses se sont bien passées, pour autant que la physique soit concernée, durant la première année.

Pendant la deuxième année je ne fus pas aussi satisfait. Dans la première partie du cours traitant de l’électricité et du magnétisme, je n’ai pu considérer aucune manière réellement unique ou différente de les traiter — n’importe quelle autre manière qui serait particulièrement plus excitante que la manière habituelle de présentation. Aussi je pense que je n’ai pas apporté beaucoup dans ces cours sur l’électricité et le magnétisme. Je pensais initialement continuer à la fin de la deuxième année après l’électricité et le magnétisme, en donnant quelques cours supplémentaires sur les propriétés des matériaux, mais essentiellement en insistant sur des choses telles que les modes fondamentaux, les solutions de l’équation de diffusion, les systèmes vibratoires, les fonctions orthogonales, etc., développant les premières étapes de ce qu’on appelle habituellement « les méthodes mathématiques de la physique ». À y repenser, je considère que si je devais le refaire, je reviendrais à cette idée initiale. Mais comme il n’était pas prévu que je donnerais à nouveau ces leçons, on suggéra que cela serait une bonne idée que d’essayer de présenter une introduction de la mécanique quantique — ce que vous trouverez au volume 3.

Il est parfaitement clair que les étudiants qui s’orienteront vers la physique peuvent attendre jusqu’à leur troisième année pour étudier la mécanique quantique. D’un autre côté l’argument fut avancé que nombreux étaient les étudiants dans notre cours qui étudiaient la physique comme un bagage qui pourrait servir de complément à leurs préoccupations fondamentales dans d’autres domaines. Et la manière habituelle de traiter la mécani- que quantique rend ce sujet presque inaccessible pour la plus grande partie des étudiants, parce qu’il leur faut trop longtemps pour l’apprendre. De plus, dans ses applications réelles, spécialement dans ses applications les plus complexes telles que dans les techniques électriques et la chimie, le mécanisme complet de l’approche par l’équation différentielle n’est pas effectivement utilisé. Aussi j’ai essayé de décrire les principes de mécanique quantique d’une manière qui ne nécessite pas que l’on connaisse d’abord les mathématiques des équations différentielles partielles. Je pense que, même pour un physicien, c’est une chose intéressante à essayer — que de présenter la mécanique quantique de cette manière renversée — pour plusieurs raisons qui peuvent être apparentes dans les cours eux-mêmes. Cependant je pense que l’expérience, dans la partie de mécanique quantique, ne fut pas complètement un succès — pour une large part parce que je n’ai pas eu, à la fin, suffisamment de temps (j’aurais dû, par exemple, faire trois ou quatre cours en plus, de manière à traiter plus complètement des sujets tels que les bandes d’énergie et la dépendance spatiale des amplitudes). De plus je n’avais jamais auparavant présenté ce sujet de cette manière, ce qui fait que l’absence de réaction en retour fut particulièrement sérieuse. Je pense maintenant que la mécanique quantique devrait être enseignée plus tardivement. Il se peut que j’aie un jour la chance de le refaire. Alors je le ferai correctement.

La raison pour laquelle il n’y a pas de cours sur la manière dont on résout les problèmes est qu’il y avait des sections de travaux dirigés. Bien que j’aie mis dans trois cours, en première année, ce qu’il faut savoir pour résoudre les problèmes, cela n’est pas inclus ici. Il y avait également un cours sur le guidage par inertie qui se situe certainement après les cours sur les systèmes en rotation mais qui fut malheureusement omis. Les cinquième et sixième cours sont en réalité dus à Matthew Sands, car j’étais absent à cette époque.

La question est bien sûr de savoir comment cette expérience a réussi. Mon propre point de vue — qui cependant ne semble pas être partagé par la plus grande partie des personnes qui ont travaillé avec les étudiants — est pessimiste. Je ne pense pas que j’ai réellement bien travaillé avec les étudiants. Lorsque je considère la manière dont la majorité des étudiants traitaient les problèmes aux examens, je pense que le système est un échec. Bien entendu, mes amis m’ont fait remarquer qu’il y avait une ou deux douzaines d’étudiants qui — d’une manière très surprenante — comprenaient presque tous les cours et qui étaient très actifs, travaillant avec le contenu de ces leçons et se préoccupant des divers points d’une manière intéressée et passionnée. Ceux-ci ont maintenant, je le pense, un bagage fondamental de première qualité en physique — et ils sont après tout ceux auxquels je désirais m’adresser. Mais alors, « la puissance de l’instruction est rarement de grande efficacité à l’exception de ces dispositions heureuses où elle est pratiquement superflue » (Gibbons).

Toutefois je ne désirais laisser aucun étudiant complètement en arrière, comme peut-être je l’ai fait. Je pense qu’une manière par laquelle nous pourrions aider davantage les étudiants, serait de faire plus d’efforts pour développer un ensemble de problèmes qui permettraient d’élucider certaines des idées dans les cours. Les problèmes donnent une bonne occasion d’utiliser les matériaux des leçons et de rendre plus réalistes, plus complètes et plus ancrées dans les esprits, les idées qui ont été exposées.

Je pense cependant qu’il n’y a aucune solution à ce problème d’éducation autre que de réaliser que le meilleur enseignement ne peut être obtenu que lorsqu’il y a une relation directe et individuelle entre un étudiant et un bon professeur — une situation dans laquelle l’étudiant discute les idées, pense sur les choses et parle des choses. Il est impossible d’en apprendre beaucoup simplement en assistant à un cours ou même simplement en faisant les problèmes qui sont demandés. Mais à notre époque moderne nous avons tellement d’étudiants à enseigner qu’il nous faut essayer de trouver quelques substituts à l’idéal. Peut-être mes cours pourront-ils apporter une certaine contribution. Peut-être, çàet là où se trouvent en nombre restreint des enseignants et des étudiants, pourront-ils tirer un peu d’inspiration ou quelques idées de ces cours. Peut-être auront-ils du plaisir à les lire et à y réfléchir ou à essayer de pousser plus loin le développement de certaines de ces idées.

RICHARD P. FEYNMAN

Chapitre premier

Atomes en mouvement

1-1 Introduction

Ce cours de physique qui s’étend sur deux ans suppose que vous, lecteur, allez devenir un physicien. Ce n’est pas nécessairement le cas, bien sûr, mais c’est ce qu’en chaque discipline tout professeur suppose ! Si un jour vous devenez un physicien, vous aurez beaucoup à apprendre : deux siècles de connaissances dans le domaine ayant le développement le plus rapide qui soit. Une si grande somme de connaissances en réalité, que vous allez penser ne pouvoir tout apprendre en quatre années, et certainement vous ne le pourrez pas ; il vous faut également continuer vos études au-delà de la licence !

Il est assez surprenant, malgré l’œuvre gigantesque qui a été réalisée pendant toute cette période, de constater qu’il est possible dans une large mesure de condenser cette masse immense de résultats — c’est-à-dire de trouver des lois qui résument tout notre savoir. Même ainsi, les lois sont si difficiles à saisir, qu’il serait déloyal à votre égard de commencer l’exploitation de ce si vaste sujet sans une sorte de plan ou de vue d’ensemble des relations des disciplines scientifiques entre elles. Suivant ces remarques préliminaires, les trois premiers chapitres décriront donc brièvement les relations de la physique à l’ensemble des autres sciences, les relations des sciences entre elles et la signification de la science, cela pour nous aider à acquérir une première « intuition » du sujet.

Vous pouvez vous demander pourquoi nous n’enseignons pas la physique en donnant simplement les lois de base à la page 1, et en vous montrant ensuite ce qui en découle dans toutes les circonstances possibles, comme cela se fait pour la géométrie euclidienne, où nous énonçons les axiomes dont nous tirons ensuite toutes les déductions possibles. (Ainsi non contents d’apprendre la physique en quatre ans, vous voulez l’apprendre en quatre minutes !) Nous ne pouvons faire cela pour deux raisons : premièrement nous ne connaissons pas encore toutes les lois fondamentales : la frontière de l’ignorance recule sans cesse. Deuxièmement, l’énoncé correct des lois de physique implique certaines idées très peu familières dont la compréhension demande l’usage de mathématiques avancées. De ce fait, on a besoin d’un entraînement préparatoire considérable, ne serait-ce que pour apprendre ce que les mots signifient. Non, il n’est pas possible de procéder ainsi. Nous ne pouvons avancer qu’étape après étape.

Chaque fragment de l’ensemble de la nature n’est en fait qu’une simple approximation de la vérité totale ou de ce que nous croyons être à l’heure actuelle la vérité totale. En fait tout ce que nous savons n’est qu’approximation parce que nous savons que nous ne connaissons pas encore toutes les lois. De ce fait, les choses doivent être apprises seulement pour être désapprises ensuite ou, plus probablement, pour être corrigées.

Le principe de la science, sa définition, pour ainsi dire, est ce qui suit : toute notre connaissance est à l’épreuve de l’expérience. L’expérience est seul juge de la « vérité » scientifique. Mais quelle est la source du savoir ? D’où viennent les lois qui doivent être vérifiées ? L’expérience elle-même nous aide à faire apparaître ces lois, en ce sens qu’elle nous donne des suggestions. Mais aussi il est nécessaire d’avoir de l’imagination pour créer à partir de ces suggestions les grandes généralisations — pour deviner les structures magnifiquement simples, mais très étranges, derrière toutes ces suggestions, et ensuite pour expérimenter, afin de vérifier si nous avons fait la bonne supposition. Cette démarche d’imagination est si difficile qu’il y a une division du travail en physique : il y a des physiciens théoriciens qui imaginent, déduisent et inventent de nouvelles lois, mais ne font pas d’expériences ; et il y a des physiciens expérimentaux qui font des expériences, imaginent, déduisent, et devinent.

Nous disions que les lois de la nature sont approchées : que nous trouvons d’abord celles qui sont « fausses », et que nous trouvons ensuite celles qui sont « justes ». Comment une expérience peut-elle être « fausse » ? Premièrement, de façon évidente : s’il y avait quelque chose de faux que vous n’ayez pas remarqué dans votre appareillage. Mais ces choses sont facilement décelées et vérifiées plusieurs fois. Ainsi, sans s’arrêter à des détails de si peu d’importance, comment les résultats d’une expérience peuvent-ils être faux ? Simplement en étant imprécis. Par exemple, la masse d’un objet ne semble jamais changer : une toupie en rotation a le même poids qu’une toupie au repos. Une « loi » fut donc inventée : la masse est constante, indépendante de la vitesse. On a maintenant découvert que cette « loi » est incorrecte. On a trouvé que la masse augmente avec la vitesse, mais on n’obtient des augmentations appréciables qu’aux vitesses proches de celles de la lumière. La véritable loi est : si un objet se déplace à une vitesse inférieure à 160 km/s, la masse est constante à raison d’une part pour un million. Dans une telle forme approchée, cette loi est correcte. Ainsi en pratique, on peut penser que la nouvelle loi n’apporte pas de différences significatives. Eh bien, oui et non. Pour les vitesses ordinaires nous pouvons certainement l’oublier et utiliser la loi de la masse constante comme une bonne approximation. Mais pour les vitesses élevées nous avons tort, et plus la vitesse est élevée, plus nous nous trompons.

Finalement, et c’est ce qu’il y a de plus intéressant, d’un point de vue philosophique, nous sommes, avec la loi approchée, complètement dans l’erreur. Notre description entière du monde doit être modifiée même si la vitesse ne change que d’une petite quantité. Cela est une chose très particulière si l’on se place sur le plan de la philosophie ou des idées au-delà des lois. Même un très petit effet nécessite quelquefois des modifications profondes de nos idées.

Que devons-nous enseigner d’abord ? Devons-nous enseigner les lois correctes mais non familières, avec leurs concepts étranges et difficiles, par exemple la théorie de la relativité, l’espace-temps à quatre dimensions, etc.? Ou devons-nous d’abord enseigner la loi simple de la « masse constante », qui est seulement approchée, mais qui ne comporte pas d’idées aussi difficiles ? La première méthode est plus passionnante, plus merveilleuse et plus amusante, mais la seconde est plus facile à suivre au début, et constitue une première étape pour une compréhension réelle de la deuxième idée. Ce problème apparaît très souvent dans l’enseignement de la physique. À différents moments nous aurons à le résoudre de différentes manières, mais à chaque étape cela vaut la peine d’apprendre ce que l’on sait maintenant, avec quelle précision, comment cela s’imbrique dans tout le reste, et comment cela peut changer au moment où nous en apprendrons davantage.

Voyons maintenant ce résumé, notre plan général de compréhension de la science d’aujourd’hui (la physique en particulier, mais aussi d’autres sciences voisines) afin que plus tard, lorsque nous concentrerons notre attention sur quelques points particuliers, nous ayons une idée de l’arrière-plan, des raisons pour lesquelles ce point particulier est intéressant, et comment il s’intègre dans la structure globale. Donc quelle est notre vision générale du monde ?

1-2 La matière est faite d’atomes

Si, dans un cataclysme, toute notre connaissance scientifique devait être détruite, et qu’une seule phrase passe aux générations futures, quelle affirmation contiendrait le maximum d’informations dans le minimum de mots ? Je pense que c’est l’hypothèse atomique (ou le fait atomique, ou tout autre nom que vous voudrez lui donner) que toutes les choses sont faites d’atomes — petites particules qui se déplacent en mouvement perpétuel, s’attirant mutuellement à petite distance les unes des autres et se repoussant lorsqu’on veut les faire se pénétrer. Dans cette seule phrase vous verrez qu’il y a une énorme quantité d’informations sur le monde, si on lui applique simplement un petit peu d’imagination et de réflexion.

Fig. 1-1. Eau agrandie un milliard de fois.

Pour illustrer la puissance de l’idée atomique, supposez que nous ayons une goutte d’eau d’un centimètre de côté. Si nous la regardons de très près nous ne voyons que de l’eau — d’apparence homogène et continue. Même si nous agrandissons avec le meilleur microscope optique utilisable — approximativement de deux mille fois — alors la goutte d’eau sera à peu près large de 20 mètres et aura la dimension d’une grande pièce, et si nous regardons à nouveau de très près, nous verrons encore de l’eau relativement uniforme — mais çà et là de petites choses en forme de ballon de football nageant de-ci de-là. Très intéressant. Ce sont les paramécies. Vous pouvez vous arrêter là et porter tant d’intérêt aux paramécies avec leurs cils frétillants et leurs corps en train de se tordre que vous n’irez pas plus loin, sauf peut-être que vous agrandirez encore la paramécie et examinerez l’intérieur. Cela bien sûr relève de la biologie, et pour le présent nous le laissons de côté, et regardons l’eau elle-même en agrandissant encore de deux mille fois. Maintenant la goutte d’eau atteint environ 40 kilomètres, et si nous la regardons de très près nous voyons une sorte de fourmillement, quelque chose qui n’a plus une apparence continue — mais qui ressemble à une foule assistant à un match de football vu de loin. De manière à mieux observer ce fourmillement, nous allons agrandir à nouveau de deux cent cinquante fois et nous découvrirons quelque chose de semblable à ce qui est montré à la Fig. 1-1. C’est un dessin de l’eau agrandie un milliard de fois, mais schématisé à plus d’un point de vue. D’abord les particules sont dessinées d’une façon simpliste avec des bords nets, ce qui est inexact. Deuxièmement, pour simplifier, elles sont dessinées presque idéalement dans un espace à deux dimensions, mais bien sûr elles se déplacent dans un espace à trois dimensions. Remarquez qu’il y a deux types de « taches », de cercles, pour représenter l’atome d’oxygène (noir) et d’hydrogène (blanc) et que chaque oxygène est relié à deux hydrogènes. (Chaque petit groupe d’un oxygène avec ses deux hydrogènes est appelé une molécule.) Le dessin est également schématisé en ce sens que les particules telles qu’on les trouve dans la nature sont continuellement en train de danser, rebondir, tourner et se tordre les unes autour des autres. Vous devez imaginer cela davantage comme une reproduction dynamique plutôt que statique. Une autre chose qui ne peut être mise en évidence dans un dessin est le fait que les particules sont « collées » les unes aux autres — qu’elles s’attirent mutuellement, l’une étant tirée par l’autre, etc. Le groupe dans son ensemble est en quelque sorte un « agglomérat ». D’autre part, les particules ne peuvent se traverser l’une l’autre. Si vous essayez de trop les rapprocher, elles se repoussent.

Les atomes ont 1 ou 2 × 10⁻⁸ cm de rayon. Comme on appelle 10⁻⁸ cm un angström (un nom comme un autre), un atome a un rayon de 1 ou 2 angströms (Å). Une autre manière de se rappeler leur dimension est la suivante : si une pomme est agrandie à la dimension de la terre, alors les atomes de la pomme ont approximativement la dimension de la pomme dont on est parti.

Maintenant imaginez cette goutte d’eau avec toutes ces particules dansantes agglomérées et accrochées les unes aux autres. L’eau garde son volume ; elle ne se disperse pas à cause de l’attraction mutuelle des molécules. Si la goutte est sur une pente, où elle peut se déplacer, l’eau coulera mais elle ne disparaît pas — les choses ne se dispersent pas comme cela — à cause de l’attraction moléculaire. Par ailleurs cette agitation est ce que nous représentons comme étant de la chaleur : lorsque nous augmentons la température, nous augmentons le mouvement. Si nous chauffons l’eau, l’agitation augmente ainsi que le volume entre les atomes, et si le chauffage continue, il arrive un moment où l’attraction entre les molécules n’est plus suffisante pour les maintenir ensemble ; elles se dispersent en tous sens et se séparent les unes des autres. C’est ainsi que nous produisons de la vapeur à partir de l’eau — en augmentant la température ; les particules s’écartent les unes des autres à cause de l’augmentation du mouvement.

À la Fig. 1-2 nous avons un dessin de la vapeur. Ce dessin de la vapeur est incorrect sur un point : à la pression atmosphérique ordinaire, il peut n’y avoir que relativement peu de molécules dans toute une pièce, et il n’y en aurait certainement pas même trois dans cette figure. La plupart des rectangles de cette dimension n’en contiendraient aucune — et nous en trouvons accidentellement deux et demie ou trois dans ce dessin (uniquement pour qu’il ne soit pas complètement vide). Maintenant dans le cas de la vapeur nous voyons les molécules caractéristiques plus clairement que dans le cas de l’eau. Pour simplifier, les atomes sont dessinés de telle sorte qu’il y ait un angle de 120° entre eux. En réalité l’angle est 105°, 3′ et la distance entre le centre d’un hydrogène et le centre d’un oxygène est 0,957 Å ; et de fait nous connaissons très bien cette molécule.

Voyons quelles sont quelques-unes des propriétés de la vapeur d’eau ou de tout autre gaz. Les molécules étant éloignées les unes des autres, vont rebondir contre les parois. Imaginons une pièce avec un certain nombre de balles de tennis (une centaine environ) s’entrechoquant dans un mouvement perpétuel. Lorsqu’elles bombardent le mur, elles le repoussent (bien sûr nous devrons ramener le mur à sa place). Cela signifie que le gaz exerce une force fluctuante que nos sens limités (n’étant pas nous-mêmes agrandis un milliard de fois) ressentent seulement comme une poussée moyenne. Pour enfermer un gaz nous devons exercer une pression. La Fig. 1-3 montre un récipient conventionnel pour maintenir des gaz (représenté dans tous les livres de physique), un cylindre avec un piston à l’intérieur. Ici la forme des molécules importe peu, et pour simplifier nous les dessinerons comme des balles de tennis ou des petits points. Ces choses sont en mouvement perpétuel dans toutes les directions. Il y en a tellement parmi elles qui frappent le piston supérieur à tout moment, que pour l’empêcher d’être petit à petit chassé du réservoir par ces heurts incessants, nous devons maintenir le piston en place par une certaine force que nous appelons la pression (en fait cette force c’est la pression que multiplie la surface). Manifestement, la force est proportionnelle à la surface, car si nous augmentons la surface tout en gardant constant le nombre de molécules par cm³, nous augmentons le nombre de collisions sur le piston dans la même proportion que la surface.

Mettons maintenant deux fois plus de molécules dans ce réservoir de manière à doubler la densité et donnons-leur la même vitesse, c’est-à-dire la même température. Alors, à une bonne approximation, le nombre de collisions va doubler, et puisque chaque molécule sera aussi « énergique » qu’auparavant, la pression sera proportionnelle à la densité. Si nous considérons la vraie nature des forces entre les atomes, nous devons nous attendre à une légère diminution de la pression à cause de l’attraction entre les atomes, et une légère augmentation à cause du volume fini qu’ils occupent. Néanmoins, si la densité est suffisamment basse pour qu’il n’y ait pas trop d’atomes, la pression est à une excellente approximation proportionnelle à la densité.

Fig. 1-2.

Fig. 1-3.

Nous pouvons également voir autre chose : si nous augmentons la température sans modifier la densité du gaz, c’est-à-dire si nous augmentons la vitesse des atomes, que va devenir la pression ? Eh bien, les atomes frappent plus fort puisqu’ils se déplacent plus vite, et de plus ils frappent plus souvent, ce qui fait que la pression augmente. Vous voyez à quel point les idées de la théorie atomique sont simples.

Considérons une autre situation. Supposons que le piston se déplace vers l’intérieur de telle sorte que les atomes soient lentement comprimés dans un espace plus faible. Que se passe-t-il lorsqu’un atome frappe le piston en mouvement ? Évidemment cette collision lui donne une vitesse supplémentaire. Vous pouvez essayer par vous-mêmes en faisant rebondir une balle de ping-pong sur une raquette qui vient à la rencontre de la balle, et vous verrez qu’elle repart avec une vitesse supérieure à celle qu’elle avait avant de frapper la raquette. (Exemple particulier : si par hasard un atome est au repos et que le piston le frappe, il va certainement se mettre en mouvement.) Ainsi les atomes sont « plus chauds » lorsqu’ils reviennent du piston qu’avant de le frapper. De ce fait tous les atomes du récipient auront acquis davantage de vitesse. Cela signifie que lorsque nous comprimons un gaz lentement, la température du gaz augmente. Ainsi avec une lente compression, un gaz va augmenter sa température, et avec une lente détente il va la diminuer.

Revenons maintenant à notre goutte d’eau et regardons dans une autre direction. Supposez que nous diminuions la température de la goutte d’eau. Supposez que le mouvement des molécules qui forment les atomes dans l’eau diminue sans cesse. Nous savons qu’il y a des forces d’attraction entre les atomes qui font qu’au bout d’un certain temps ils ne seront plus capables de vibrer autant. Ce qui se passe à très basse température est indiqué à la Fig. 1-4 : les molécules se figent dans une nouvelle structure qui est la glace. Ce diagramme particulièrement schématique de la glace est inexact parce qu’il est à deux dimensions, mais il est juste qualitativement. Le point intéressant est que chaque atome a une place définie dans le matériau et vous pouvez facilement comprendre que si, d’une manière ou d’une autre, nous devions maintenir les atomes à une extrémité de la goutte dans un certain ordre, chaque atome à une place donnée, alors en raison de la structure des liaisons, qui est fixe, l’autre extrémité à des kilomètres de distance (à notre échelle agrandie) aurait une situation, une disposition bien définies. Donc si nous maintenons une aiguille de glace à une extrémité, l’autre extrémité résiste à une éventuelle poussée, au contraire de l’eau dans laquelle la structure rigide est détruite en raison du mouvement croissant qui fait que les atomes se déplacent tous dans des directions différentes. La différence entre les solides et les liquides est que, dans un solide, les atomes sont arrangés dans une sorte de réseau appelé réseau cristallin, et qu’ils n’ont pas de positions désordonnées à grande distance ; la position de l’atome à l’un des bouts du cristal est déterminée par celle d’autres atomes à des millions d’atomes de distance à l’autre bout du cristal. La Fig. 1-4 est un schéma imaginaire de la glace, et bien qu’il contienne beaucoup de données exactes sur la glace, ce n’est pas un schéma correct. L’un des éléments corrects est qu’une partie de la symétrie est hexagonale. Vous pouvez remarquer que si vous faites tourner la figure de 120° autour d’un axe le dessin revient sur lui-même. Ainsi il y a une symétrie de la glace qui explique l’apparence hexagonale des flocons de neige. On peut aussi voir à la Fig. 1-4 la raison pour laquelle la glace diminue de volume lorsqu’elle fond. Le système cristallin particulier de la glace représenté ici comporte de nombreux « vides », de même que la véritable structure de la glace. Lorsque la structure de la glace se détruit, ces vides peuvent être occupés par des molécules. La plupart des substances simples, à l’exception de l’eau et d’un alliage pour caractères d’imprimerie, se dilatent à la fusion parce que leurs atomes sont étroitement entassés dans le cristal solide et nécessitent à la fusion davantage de place pour s’agiter, tandis qu’une structure lâche s’effondre comme dans le cas de l’eau.

Bien que la glace ait une forme cristalline « rigide » sa température peut changer — la glace contient de la chaleur. Si nous le voulons, nous pouvons changer cette quantité de chaleur. Qu’est-ce que la chaleur dans le cas de la glace ? Les atomes ne sont pas au repos. Ils s’agitent et vibrent. Ce qui fait que malgré un ordre défini — une structure définie — du cristal, tous les atomes vibrent « sur place ». Lorsque nous augmentons la température, ils vibrent avec des amplitudes de plus en plus grandes jusqu’à ce qu’ils soient éjectés hors de leurs positions. Nous appelons cela la fusion. Lorsque nous diminuons la température les vibrations diminuent et diminuent jusqu’à ce que, arrivés au zéro absolu, il y ait un minimum de vibration, mais ce minimum n’est pas zéro. Cette quantité minimum de mouvement des atomes n’est pas suffisante pour faire fondre les substances, à une seule exception : l’hélium. L’hélium diminue simplement les mouvements atomiques autant qu’il le peut, mais même au zéro absolu il y a encore assez de mouvement pour l’empêcher de se congeler. L’hélium même au zéro absolu ne se congèle pas, à moins qu’on augmente la pression suffisamment pour comprimer les atomes entre eux. Si nous augmentons la pression, nous pouvons le faire se solidifier.

Fig. 1-4. Glace.

Fig. 1-5. Eau s’évaporant dans l’air.

1-3 Processus atomiques

Arrêtons là la description des solides, des liquides et des gaz d’un point de vue atomique. Cependant l’hypothèse atomique permet également de décrire des processus, aussi nous allons considérer maintenant un certain nombre de ces processus sous l’angle atomique. Le premier que nous considérerons est associé à la surface de l’eau. Que se passe-t-il à la surface de l’eau ? Nous allons maintenant rendre le schéma plus compliqué — et davantage conforme à la réalité — en imaginant que la surface est au contact de l’air. La Fig. 1-5 montre la surface de l’eau au contact de l’air. Nous voyons les molécules d’eau formant, comme auparavant, une masse d’eau liquide, mais maintenant nous voyons aussi la surface d’eau. Au-dessus de cette surface nous trouvons un certain nombre de choses : d’abord il y a des molécules d’eau comme dans la vapeur. C’est de la vapeur d’eau, que l’on trouve toujours au-dessus de l’eau liquide. (Il y a équilibre entre la vapeur d’eau et l’eau, nous le décrirons plus tard.) De plus nous trouvons d’autres molécules — ici deux atomes d’oxygène liés l’un à l’autre formant une molécule d’oxygène, là deux atomes d’azote également liés l’un à l’autre pour former une molécule d’azote. L’air se compose presque entièrement d’azote, d’oxygène, d’un peu de vapeur d’eau et de quantités plus faibles de gaz carbonique, d’argon et d’autres choses encore. Ainsi, au-dessus de la surface de l’eau, il y a de l’air : un gaz contenant un peu de vapeur d’eau. Mais que se passe-t-il dans cette figure ? Les molécules, dans l’eau, sont en agitation constante. De temps en temps l’une d’elles à la surface est heurtée un peu plus fort qu’à l’ordinaire et est éjectée. Il est difficile de voir cela sur le dessin car ce n’est qu’une image fixe. Mais nous pouvons imaginer qu’une molécule près de la surface vient d’être heurtée et s’en échappe, ou une autre peut-être a été heurtée et est en train de s’éloigner. Ainsi, molécule par molécule, l’eau disparaît — elle s’évapore. Si nous bouchons le récipient, au bout d’un certain temps nous trouvons un grand nombre de molécules d’eau parmi les molécules d’air. De temps en temps une de ces molécules de vapeur vient heurter la surface de l’eau et se retrouve emprisonnée dans la masse d’eau. Ainsi nous voyons que ce qui n’apparaît que comme une chose sans vie et dépourvue d’intérêt — un verre d’eau avec un couvercle, qui a pu séjourner là pendant vingt ans — contient en réalité un phénomène dynamique et intéressant qui se produit sans cesse. En apparence, à l’œil nu rien ne change, mais si nous pouvons regarder en agrandissant un milliard de fois, nous ver- rions de ce point de vue la situation se modifier sans arrêt : des molécules quittent la surface et des molécules y reviennent.

Fig. 1-6. Sel se dissolvant dans l’eau.

Pourquoi ne voyons-nous aucun changement ? Parce qu’il y a exactement autant de molécules qui s’échappent qu’il en revient ! En moyenne « il ne se passe rien ». Si maintenant nous ôtons le couvercle du récipient et chassons l’air humide en le remplaçant par de l’air sec, alors le nombre de molécules quittant le récipient est le même que précédemment, car cela dépend de l’agitation de l’eau ; mais le nombre de celles qui reviennent est considérablement réduit parce qu’il y a maintenant beaucoup moins de molécules d’eau au-dessus de l’eau. De ce fait il s’en échappe davantage qu’il n’en revient et l’eau s’évapore. Ainsi, si vous voulez faire évaporer de l’eau, mettez en marche le ventilateur !

Il y a encore autre chose : quelles sont les molécules qui s’en vont ? Le fait qu’une molécule s’échappe, est dû à une accumulation supplémentaire et accidentelle d’une quantité d’énergie légèrement supérieure à l’énergie moyenne nécessaire pour arracher une molécule à l’attraction de ses voisines. Ainsi, puisque celles qui s’échappent ont plus d’énergie que la moyenne des molécules, celles qui restent sont moins agitées qu’elles ne l’étaient auparavant. De ce fait le liquide se refroidit progressive- ment en s’évaporant. Bien sûr, lorsqu’une molécule de vapeur venant de l’air se dirige vers la surface de l’eau, il s’exerce soudain une forte attraction, alors que la molécule se trouve très près de la surface. Cela accélère la molécule incidente et il en résulte une apparition de chaleur. Ainsi, lorsqu’elles s’échappent elles empor- tent de la chaleur et lorsqu’elles reviennent elles créent de la chaleur. Bien sûr, lorsqu’il n’y a pas d’évaporation appréciable, le résultat est nul — la température de l’eau ne change pas. Si nous soufflons sur l’eau de manière que les molécules qui s’évaporent soient toujours en majorité, alors l’eau se refroidit. Donc soufflez sur votre soupe pour la faire se refroidir !

Bien entendu vous devez réaliser que les processus qui viennent d’être décrits sont plus compliqués que ce que nous avons indiqué. Non seulement l’eau s’évapore dans l’air, mais aussi, de temps en temps, l’une des molécules d’oxygène ou d’azote va pénétrer dans l’eau, va « se perdre » dans les molécules d’eau et poursuivra son chemin dans le liquide. Ainsi de l’air se dissout dans l’eau ; les molécules d’oxygène et d’azote vont se frayer un chemin dans l’eau et l’eau contiendra de l’air. Si nous retirons brutalement l’air du récipient, alors les molécules d’air vont quitter l’eau plus rapidement qu’elles n’y pénètrent, et ce faisant, apparaîtront des bulles. Ce qui est très mauvais pour un plongeur, comme vous le savez peut-être.

Considérons maintenant un autre processus. Sur la Fig. 1-6, nous voyons d’un point de vue atomique, un solide se dissolvant dans l’eau. Si nous mettons un cristal de sel dans l’eau, que va-t-il se passer ? Le sel est un solide, un cristal, un arrangement organisé d’« atomes de sel ». La Fig. 1-7 est une illustration de la structure à trois dimensions du sel ordinaire, le chlorure de sodium. À proprement parler le cristal n’est pas fait d’atomes, mais de ce qu’on appelle des ions. Un ion est un atome qui a, soit quelques électrons en plus, soit en a perdu quelques-uns. Dans un cristal de sel nous trouvons des ions de chlore (des atomes de chlore avec un électron en plus) et des ions de sodium (des atomes de sodium avec un électron manquant). Les ions sont liés les uns aux autres par l’attraction électrique dans le sel solide, mais lorsque nous les mettons dans l’eau nous voyons que, à cause de l’attraction qu’exercent sur eux l’oxygène négatif et l’hydrogène positif, certains des ions abandonnent le réseau cristallin. Sur la Fig. 1-6 nous voyons un ion chlore en train de se détacher et d’autres atomes flottant dans l’eau sous la forme d’ions. Ce dessin a été réalisé avec quelque soin. Remarquez, par exemple, que les extrémités hydrogène des molécules d’eau sont davantage rapprochées de l’ion chlore, tandis que près de l’ion sodium nous trouvons l’oxygène, car le sodium est positif et l’extrémité oxygène de l’eau est négative, et ils s’attirent électriquement. Pouvons-nous dire à partir de ce dessin si le sel se dissout dans l’eau ou s’il se cristallise à partir de l’eau ? Bien sûr, nous ne pouvons rien dire parce que, tandis que certains atomes quittent le cristal, d’autres atomes le rejoignent. Le processus est dynamique, tout comme dans le cas de l’évaporation, et il dépend de la quantité de sel présent dans l’eau, qu’elle soit inférieure ou supérieure à la quantité nécessaire à l’équilibre. Par équilibre nous voulons dire la situation pour laquelle le nombre d’atomes qui s’échappent est égal à celui des atomes qui reviennent. S’il n’y a pratiquement pas de sel dans l’eau, il y en a davantage qui s’en vont qu’il n’en revient, et le sel se dissout. Si au contraire, il y a « trop d’atomes de sel », il y en a plus qui reviennent qu’il n’en part, et le sel se cristallise.

Fig. 1-7.

Mentionnons en passant que le concept de molécule d’une substance n’est qu’approché et n’existe que pour une certaine catégorie de substances. Il est clair dans le cas de l’eau que les trois atomes sont en fait liés les uns aux autres. Ce n’est pas aussi clair dans le cas du chlorure de sodium sous forme solide. Ce n’est qu’un arrangement d’ions sodium et chlore dans une structure cubique. Il n’y a pas de manière naturelle de les rassembler sous forme de « molécules de sel ».

Revenons à notre discussion sur la dissolution et la précipitation ; si nous augmentons la température de la solution de sel, alors le nombre d’atomes qui s’échappent augmente, et il en est de même du nombre d’atomes qui reviennent. En général, il est très difficile de prédire dans quel sens la réaction va se faire, si plus ou moins de solide va se dissoudre. La plupart des substances se dissolvent davantage, mais certaines moins, lorsque la température augmente.

Fig. 1-8. Carbone brûlant dans l’oxygène.

Fig. 1-9. Odeur des violettes.

1-4 Réactions chimiques

Dans tous les processus que nous avons décrits jusqu’à maintenant, les atomes et les ions n’ont pas changé de partenaires, mais bien sûr, il y a des circonstances dans lesquelles les atomes changent leurs combinaisons en formant de nouvelles molécules. Cela est illustré par la Fig. 1-8. Un processus dans lequel a lieu le réarrangement des partenaires atomiques est ce que nous appelons une réaction chimique. Les autres processus déjà décrits sont appelés des processus physiques, mais en réalité il n’y a pas de distinction bien nette entre les deux. (Peu importe la manière dont nous la désignons, elle poursuit tout simplement son œuvre.) Ce dessin est supposé représenter du carbone brûlant dans l’oxygène. Dans le cas de l’oxygène, deux atomes d’oxygène sont liés très fortement l’un à l’autre. (Pourquoi pas un groupe de trois ou quatre ? Il s’agit là du caractère très particulier de ces processus atomiques. Les atomes sont très spéciaux : ils aiment certains partenaires particuliers, certaines directions particulières, etc. C’est le travail de la physique d’analyser ce que chaque atome désire et pourquoi il le désire. De toute manière, deux atomes d’oxygène forment, saturés et satisfaits, une molécule.)

On suppose que les atomes de carbone sont disposés dans un solide cristallin (qui pourrait être du graphite ou du diamant)¹. Maintenant par exemple, une des molécules d’oxygène peut se rapprocher du carbone, et chaque atome peut attraper un atome de carbone et s’en aller dans une nouvelle combinaison — « carbone-oxygène » — qui est une molécule de gaz appelée oxyde de carbone. On lui a donné le symbole chimique CO. C’est très simple : les lettres « CO » sont pratiquement un dessin de cette molécule. Et le carbone attire l’oxygène davantage que l’oxygène n’attire l’oxygène ou que le carbone n’attire le carbone. De ce fait, dans le processus, l’oxygène peut n’arriver qu’avec une faible énergie, ce qui n’empêchera pas l’oxygène et le carbone de s’accoler avec fureur et grande violence, et tout l’entourage récupérera de l’énergie. Une grande quantité d’énergie de mouvement, d’énergie cinétique, est ainsi créée. Cela est, bien sûr, une combustion ; nous obtenons de la chaleur à partir de la combinaison de l’oxygène et du carbone. La chaleur se présente habituellement sous forme de mouvements moléculaires d’un gaz chaud, mais dans certaines circonstances elle peut être si élevée qu’elle crée de la lumière. C’est ainsi que l’on obtient des flammes.

De plus l’oxyde de carbone n’est pas tout à fait satisfait. Il lui est possible de s’attacher à un autre oxygène, de telle sorte que nous pouvons avoir une réaction beaucoup plus compliquée dans laquelle l’oxygène se combine au charbon, tandis qu’en même temps il se produit une collision avec une molécule d’oxyde de carbone. Un atome d’oxygène pourrait s’attacher lui-même au CO et former en définitive une molécule, composée d’un carbone et de deux oxygènes, qui est appelée CO₂ et dont le nom est gaz carbonique. Si nous brûlons le carbone avec très peu d’oxygène dans une réaction très rapide (par exemple dans un moteur d’automobile où l’explosion est si rapide que la combustion n’a pas le temps de former du gaz carbonique) une quantité considérable d’oxyde de carbone est formée. Dans de tels réarrangements, une très grande quantité d’énergie est libérée, donnant lieu à des explosions, à des flammes, etc., cela dépend des réactions. Les chimistes ont étudié ces arrangements d’atomes et ont trouvé que toute substance est un certain type d’arrangement d’atomes.

Pour illustrer cette idée, considérons un autre exemple. Si nous approchons d’un champ de petites violettes, nous savons ce qu’est « cette odeur ». Ce sont certains types de molécules ou d’arrangements d’atomes qui se sont frayé un chemin jusqu’à notre nez. Tout d’abord, comment ces molécules sont-elles parvenues jusque-là ? C’est relativement facile. Si l’odeur est une molécule en agitation dans l’air ballottée dans tous les sens, il se peut qu’elle pénètre accidentellement dans le nez. Bien sûr, elle n’a aucun désir particulier d’entrer dans notre nez. Ce n’est qu’une pauvre petite molécule parmi une foule de molécules, qui dans ses vagabondages s’égare pour aboutir finalement dans notre nez.

Les chimistes peuvent sélectionner certaines molécules particulières telles que l’odeur des violettes, les analyser et nous dire l’arrangement exact des atomes dans l’espace. Nous savons que la molécule de gaz carbonique est droite et symétrique : O-C-O. (On peut, de même, la déterminer facilement par des méthodes physiques.) Cependant, même pour des arrangements d’atomes beaucoup plus compliqués que l’on rencontre en chimie, on peut, par un patient et remarquable travail de détective, trouver l’arrangement des atomes. La Fig. 1-9 est un dessin de l’air au voisinage d’une violette ; à nouveau nous trouvons dans l’air l’azote, l’oxygène et la vapeur d’eau. (Pourquoi y a-t-il de la vapeur d’eau ? Parce que la violette est humide. Toutes les plantes transpirent.) Cependant nous voyons également un « monstre » composé d’atomes de carbone, d’atomes d’hydrogène et d’atomes d’oxygène, qui ont trouvé une certaine structure particulière selon laquelle ils se sont arrangés. C’est un arrangement beaucoup plus compliqué que celui du gaz carbonique ; en fait c’est un arrangement extrêmement compliqué. Malheureusement, nous ne pouvons représenter tout ce qui est réellement connu sur cet arrangement d’un point de vue chimique, car l’arrangement précis de tous les atomes est en réalité connu dans un espace à trois dimensions, tandis que notre dessin n’est qu’à deux dimensions. Les six carbones qui forment un anneau ne forment pas un anneau plat, mais une sorte d’anneau « en accordéon ». Tous les angles et distances sont connus. Ainsi une formule chimique n’est qu’un dessin d’une telle molécule. Lorsqu’un chimiste écrit une telle chose sur un tableau, il essaye de « dessiner », grossièrement parlant, à deux dimensions. Par exemple, nous voyons un « anneau » de six carbones et une « chaîne » de carbones accrochée à l’extrémité, un oxygène en avant-dernière position, trois hydrogènes liés à ce carbone, deux carbones et trois hydrogènes au-dessus, etc.

Comment les chimistes découvrent-ils la forme de l’arrangement ? Ils mélangent des flacons de substances différentes et si ça devient rouge, cela veut dire qu’à tel endroit il y a un hydrogène et deux carbones liés ; si cela devient bleu, au contraire, il s’agit de tout autre chose. C’est là le travail de détective le plus fantastique qui ait jamais été réalisé : la chimie organique. Pour découvrir l’arrangement des atomes dans ces dispositions extrêmement compliquées, le chimiste regarde ce qui se passe lorsqu’il mélange deux substances différentes. Le physicien ne pouvait jamais croire tout à fait que le chimiste savait ce dont il parlait, lorsqu’il décrivait l’arrangement des atomes. Depuis à peu près vingt ans, il est possible dans certains cas d’observer de telles molécules (pas aussi compliquées que celles-ci, mais certaines contenant des parties de cette molécule) par des méthodes physiques, et il fut possible de localiser chaque atome, non pas en regardant des couleurs, mais en mesurant où ils sont. Et voilà que les chimistes ont presque toujours raison !

En réalité il apparaît que dans l’odeur des violettes, il y a trois molécules légèrement différentes, et qui ne diffèrent que dans l’arrangement des atomes d’hydrogène.

Un problème de chimie est de désigner une substance de telle sorte que nous reconnaissions ce qu’elle est. Trouver un nom pour cette forme ! Non seulement le nom doit indiquer la forme, mais il doit également dire qu’ici se trouve un atome d’oxygène, là un atome d’hydrogène — exactement ce qu’est chaque atome et où il se trouve. Ainsi nous comprenons que pour être complet, un nom en chimie doit être compliqué. Vous voyez que le nom de cette chose sous la forme la plus complète qui puisse vous indiquer sa structure est (tétraméthyle 2, 5, 6, 6 cyclohexènes 2 yl) — 4 butène 3 one 2, et cela vous indique quel est l’arrangement. Nous pouvons apprécier les difficultés que les chimistes rencontrent, tout en comprenant pourquoi des noms sont aussi longs. Ce n’est pas qu’ils désirent être obscurs, mais il leur est extrêmement difficile d’essayer de décrire des molécules par des mots.

Fig. 1-10. La substance représentée est l’α-irone.

Comment savons-nous qu’il y a des atomes ? À l’aide d’une des astuces déjà mentionnées : nous émettons l’hypothèse qu’il y a des atomes, et l’un après l’autre les résultats apparaissent comme on l’avait prédit, comme il se doit si les choses sont vraiment faites d’atomes. Mais il y a aussi des observations un peu plus directes, un bon exemple étant le suivant : les atomes sont si petits que vous ne pouvez les voir même avec un microscope optique — en fait même pas avec un microscope électronique. (Avec un microscope optique vous ne pouvez voir que des objets beaucoup plus grands.) Toutefois, si les atomes sont toujours en mouvement, par exemple dans l’eau, et si nous mettons une grosse boule d’une matière quelconque dans l’eau, une boule plus grosse que les atomes, la boule va s’agiter — comme dans un jeu de ballon, où une grande et grosse balle est poussée par un grand nombre de personnes. Les personnes poussent dans des directions différentes et la balle se déplace sur le terrain d’une manière irrégulière. De la même manière la « grande balle » se déplace à cause de l’inégalité dans le temps des collisions d’un côté et de l’autre. Ainsi, si nous observons de très petites particules colloïdales dans l’eau à travers un excellent microscope nous remarquons une perpétuelle agitation de ces particules, résultat des bombardements des atomes. Cela est appelé le mouvement brownien.

Nous pouvons découvrir des preuves supplémentaires de l’existence des atomes dans la structure des cristaux. Dans de nombreux cas les structures que l’on déduit à partir des analyses par des rayons X sont en accord dans leur « forme » spatiale avec les formes effectivement manifestées par les cristaux tels qu’ils apparaissent dans la nature. Les angles entre les différentes « faces » d’un cristal sont en accord, à une précision de la seconde d’arc, avec les angles déduits de l’hypothèse que le cristal est fait de plusieurs « couches » d’atomes.

Tout est fait d’atomes. C’est l’hypothèse fondamentale. La plus importante hypothèse dans toute la biologie, par exemple, est que tout ce que font les animaux, les atomes le font. En d’autres termes, tout ce que font les choses vivantes s’explique du fait qu’elles sont composées d’atomes obéissant aux lois de la physique. Cela ne fut pas connu au départ : il a fallu un certain nombre d’expériences et de théories pour suggérer cette hypothèse, mais maintenant elle est acceptée, et c’est la théorie la plus utile pour engendrer de nouvelles idées dans le domaine de la biologie.

Si un morceau d’acier ou un morceau de sel formé d’atomes voisins les uns des autres peut avoir des propriétés aussi intéressantes ; si de l’eau — qui n’est rien d’autre que ces petites gouttes et qui s’étend sur des kilomètres à la surface de la terre — peut former des vagues et de l’écume, gronder en déferlant, tracer des dessins bizarres lorsqu’elle se répand sur le ciment ; si tout cela, toute la vie d’un cours d’eau, n’est qu’un empilement d’atomes, quelles possibilités encore plus grandes peuvent s’offrir à nous ? Si, au lieu de disposer les atomes dans une structure bien définie, répétée sans cesse, ou même former des amas de complexité pareille à l’odeur des violettes, nous fabriquons un arrangement qui ne se répète jamais avec différents types d’atomes disposés de différentes manières, continuellement changeantes et toujours nouvelles, alors de quelle façon plus merveilleuse encore cette chose-là pourrait-elle se comporter ? Est-il possible que cette « chose » qui va et vient devant vous, qui vous parle, soit un grand tas d’atomes dans un arrangement très complexe, au point que cette complexité même fasse vaciller l’imagination à l’idée de ce qu’elle peut réaliser ? Lorsque nous disons que nous sommes un empilement d’atomes, nous ne voulons pas dire que nous sommes seulement un simple empilement d’atomes, car un empilement d’atomes disposés n’importe comment pourrait bien avoir les possibilités que vous observez en vous regardant dans votre miroir.

1. On pourrait brûler un diamant dans l’air.

Chapitre 2

Physique de base

2-1 Introduction

Dans ce chapitre, nous allons examiner nos idées les plus fondamentales sur la physique — sur la nature des choses telles que nous les observons à l’heure actuelle. Nous ne discuterons pas l’histoire des cheminements qui nous ont conduits à penser que toutes ces idées sont vraies ; vous apprendrez ces détails en temps voulu.

Les objets qui nous concernent d’un point de vue scientifique apparaissent sous de multiples formes et avec de très nombreux attributs. Par exemple, si nous sommes sur la plage et que nous regardons vers la mer, nous voyons l’eau, les vagues qui viennent se briser et leur déferlement, l’écume, le bruit, l’air, les vents et les nuages, le soleil et le ciel bleu, la lumière ; il y a le sable et les roches, de dureté et d’âge, de couleur et de composition divers. Il y a les animaux et les algues, la faim et la maladie, l’observateur sur la plage ; il peut même y avoir du bonheur et de la réflexion. En tout autre lieu, la nature est constituée d’une variété semblable de choses et d’influences. C’est toujours aussi compliqué, quel que soit l’endroit. La curiosité nous pousse à poser des questions, à tenter de mettre les choses ensemble et à essayer de comprendre cette multitude d’aspects comme résultant peut-être de l’action d’un nombre relativement petit d’éléments et de forces agissant dans une infinie variété de combinaisons.

Par exemple : le sable est-il d’une autre nature que le roc ? C’est-à-dire le sable n’est-il pas autre chose qu’une accumulation de très petites pierres ? La lune est-elle une immense pierre ? Si nous comprenions ce que sont les roches, comprendrions-nous également ce que sont le sable ou la lune ? Le vent est-il un déferlement de l’air analogue au déferlement de l’eau dans la mer ? Quels traits ont en commun les différents mouvements ? Qu’y a-t-il de commun entre les différents types de son ? Combien y a-t-il de couleurs différentes ? etc. De cette manière nous essayons graduellement d’analyser toute chose, de mettre ensemble les objets ou phénomènes qui, à première vue, semblent différents, dans l’espoir de pouvoir diminuer le nombre des différences apparentes et ainsi d’améliorer notre compréhension.

Il y a quelques centaines d’années, une méthode fut mise au point pour obtenir des réponses partielles à de telles questions. L’observation, le raisonnement et l’expérience forment ce que nous appelons la méthode scientifique. Nous devrons nous limiter nous-mêmes à une description dépouillée de nos vues essentielles de ce qui est quelquefois appelé la physique fondamentale, ou des notions fondamentales qui sont nées de l’application de la méthode scientifique.

Qu’est-ce que nous entendons par « comprendre » quelque chose ? Nous pouvons imaginer que ce réseau compliqué d’objets en mouvement, qui constitue « le monde », est quelque chose d’analogue à une grande partie d’échecs jouée par les dieux, et que nous sommes des observateurs de ce jeu. Nous ne savons pas quelles sont les règles du jeu ; la seule chose que nous puissions faire, c’est de regarder le jeu. Bien sûr, si nous regardons suffisamment longtemps, nous pouvons finalement saisir quelques-unes des règles. Les règles du jeu sont ce que nous appelons la physique fondamentale. Même si nous connaissions toutes les règles, il se pourrait que nous ne soyons pas capables de comprendre un mouvement particulier de la partie, simplement parce que c’est trop compliqué, et que nos facultés mentales sont limitées. Si vous jouez aux échecs vous devez savoir qu’il est facile d’apprendre toutes les règles, et cependant il est souvent très difficile de choisir le meilleur déplacement ou de comprendre pourquoi un joueur agit comme il le fait. Ainsi en est-il dans la nature à un degré supérieur ; mais nous devons au moins être capables de trouver toutes les règles. En fait, à l’heure actuelle, nous ne possédons pas toutes les règles. (De temps en temps, de même qu’un joueur d’échecs peut roquer, quelque chose de nouveau se passe que nous ne comprenons pas encore.) En dehors du fait que nous ne connaissons pas toutes les règles, ce que nous pouvons réellement expliquer à l’aide de ces règles est très limité, parce que pratiquement toutes les situations sont compliquées à un tel point que nous ne pouvons suivre la partie en utilisant ces règles, et encore moins prévoir ce qui va se passer. Nous devons, de ce fait, nous limiter aux questions les plus fondamentales : la connaissance des règles du jeu. Si nous connaissons ces règles, nous considérerons que nous « comprenons » le monde.

Comment pouvons-nous dire que les règles « supposées » sont effectivement exactes, si nous ne pouvons analyser le jeu très correctement ? Il y a, en gros, trois manières. D’abord il peut y avoir des situations que la nature a aménagées, ou bien alors nous aménageons la nature, de telle sorte que ces situations soient simples et qu’il y ait si peu de composantes que nous puissions prédire exactement ce qui va se passer, et qu’ainsi nous puissions vérifier comment nos règles fonctionnent. (Dans un coin de l’échiquier, il peut n’y avoir que quelques pièces à l’œuvre et nous pouvons y voir complètement clair.)

Une deuxième bonne manière de vérifier les règles se fait en fonction de règles plus générales, dérivées des premières. Par exemple, la règle du mouvement d’un fou sur un échiquier est de ne se déplacer qu’en diagonale. On peut en déduire qu’un certain fou se trouvera toujours sur un carré blanc, quel que soit le nombre de mouvements réalisés. Ainsi, sans être capable de suivre les détails, nous pouvons toujours vérifier nos prévisions à propos du mouvement du fou en contrôlant qu’il est toujours sur un carré blanc. Il y restera bien sûr pendant longtemps, jusqu’au moment où brusquement nous le trouverons sur un carré noir (ce qui s’est passé évidemment, c’est qu’entre-temps il a été capturé, un autre pion est allé à dame et s’est transformé en un fou sur un carré noir). C’est de cette manière que les choses se passent en physique. Pendant longtemps nous avons une règle qui s’applique excellemment et complètement, même lorsque nous ne pouvons suivre les détails, et puis il arrive que nous découvrions une nouvelle règle. Du point de vue de la physique fondamentale, les phénomènes les plus intéressants se trouvent bien sûr aux nouveaux endroits, où les règles ne sont pas suivies, et non ailleurs où elles le sont. C’est de cette manière que nous découvrons de nouvelles lois.

La troisième manière de vérifier si nos conceptions sont justes est relativement grossière, mais probablement la plus puissante de toutes. C’est en utilisant une approximation assez large. Alors que nous ne sommes peut-être pas capables de dire pourquoi Alekhine déplace cette pièce particulière, peut-être pouvons-nous grossièrement comprendre qu’il est en train plus ou moins de rassembler ses pièces autour du roi, pour le protéger, puisque c’est la chose sensée à faire dans la circonstance. De la même manière, nous pouvons souvent plus ou moins comprendre la nature, en fonction de notre compréhension du jeu, sans être en mesure de voir ce que chaque petite pièce est en train de faire.

Au début, les phénomènes de la nature furent en gros divisés en catégories telles que la chaleur, l’électricité et la mécanique, le magnétisme, les propriétés des substances, les phénomènes chimiques, la lumière ou l’optique, les rayons, la physique nucléaire, la gravitation, les phénomènes des mésons, etc. Cependant le but est de voir la nature dans sa totalité comme différents aspects d’un seul ensemble de phénomènes. C’est-à-dire que le problème de la physique théorique de base aujourd’hui, est de trouver les lois derrière l’expérience ; d’unifier ces catégories. Historiquement, nous avons toujours été capables de les amalgamer, mais avec le temps on trouve de nouvelles choses. Cela allait très bien, lorsque soudainement les rayons X furent découverts. Nous avons continué d’unifier, et puis les mésons furent trouvés. Ainsi, à chaque étape du jeu, cela paraît toujours assez embrouillé. L’unification a été menée assez loin, mais il y a toujours fils et ficelles qui pendent de toutes parts. C’est ainsi que se présente la situation aujourd’hui, et nous allons essayer de la décrire.

Voici quelques exemples historiques de synthèses. Prenons pour commencer la chaleur et la mécanique. Lorsque les atomes sont en mouvement, plus il y a de mouvement, plus le système contient de chaleur, et ainsi la chaleur et les effets liés à la température peuvent être décrits par les lois de la mécanique. Une autre synthèse très importante fut la découverte des relations entre l’électricité, le magnétisme et la lumière, aspects différents d’une même chose que nous appelons aujourd’hui le champ électromagnétique. Une autre synthèse fut l’unification des phénomènes chimiques, c’est-à-dire les diverses propriétés des diverses substances avec le comportement des particules atomiques, synthèse réalisée dans la mécanique quantique de la chimie.

La question est, bien sûr, de savoir s’il est possible de tout rassembler et de découvrir simplement que le monde représente différents aspects d’une seule chose. Nul ne le sait. Tout ce que nous savons est que, lorsque nous avançons, nous pouvons rassembler les éléments, trouver ensuite certains éléments qui ne s’emboîtent pas, et essayer de compléter ce jeu de patience. Bien entendu, nous ne savons pas s’il y a un nombre fini d’éléments ou même une frontière au puzzle. Nul ne le saura jamais avant d’avoir terminé l’assemblage — si jamais on le termine. Ce que nous voulons faire ici est de voir jusqu’où ce processus de synthèse est arrivé, et quelle est la situation à présent dans la compréhension des phénomènes de base en fonction du plus petit ensemble de principes. Pour exprimer cela d’une manière simple : de quoi les choses sont faites et quel est le plus petit nombre d’éléments différents ?

2-2 La physique avant 1920

Il est un petit peu difficile de commencer tout de suite avec la vision actuelle, aussi nous commencerons par analyser comment les choses se présentaient vers les années 1920 et nous choisirons certains aspects dans ce tableau. Avant 1920, notre vision du monde était quelque chose de ce genre : le « décor » de l’univers est l’espace à 3 dimensions de la géométrie, décrit par Euclide, et les choses évoluent dans un milieu appelé temps. Les éléments dans ce décor sont les particules, par exemple les atomes qui ont certaines propriétés. D’abord la propriété d’inertie : si une particule se déplace, elle continue de se déplacer dans la même direction tant qu’une force n’agit pas sur elle. Les forces sont le deuxième élément et on en distinguait deux variétés : premièrement, différentes espèces de forces d’interaction extrêmement compliquées, qui maintenaient les divers atomes en différentes combinaisons compliquées, qui déterminaient par exemple si le sel allait se dissoudre plus vite ou plus lentement lorsqu’on augmente la température. L’autre force connue alors était une interaction à longue distance — une attraction continue et calme — qui variait en raison inverse du carré de la distance, et qu’on appelait la gravitation. Cette loi était connue et était très simple. On ignorait par contre pourquoi les choses restent en mouvement lorsqu’elles se déplacent, ou pourquoi il existe une loi de la gravitation.

Nous nous préoccupons ici d’une description de la nature. Alors, de ce point de vue, un gaz, et en fait toute la matière, est une multitude de particules en mouvement. Ainsi plusieurs des choses que nous voyions alors que nous étions au bord de la mer, peuvent être immédiatement reliées. D’abord la pression : elle provient des collisions des atomes avec les parois ou quoi que ce soit d’autre ; la dérive des atomes, s’ils se déplacent en moyenne tous dans une direction, n’est autre que le vent ; les mouvements internes désordonnés représentent la chaleur. Il y a des ondes d’excès de densité où trop de particules ont été accumulées, et lorsqu’elles s’échappent, elles repoussent d’autres particules un peu plus loin, etc. Cette onde d’excès de densité c’est le son. C’est déjà un aboutissement remarquable d’être capable d’en comprendre autant. Certaines de ces choses furent décrites au chapitre précédent.

Quels types de particules trouve-t-on ? À ce moment-là on considérait qu’il y en avait 92 : 92 sortes différentes d’atomes furent découverts par la suite. Ils avaient des noms différents associés avec leurs propriétés chimiques.

La question suivante était de savoir quelles sont ces forces à petite distance. Pourquoi le carbone attire-t-il un oxygène ou peut-être deux oxygènes, mais pas trois ? Quel est le mécanisme de l’interaction entre les atomes ? Est-ce la gravitation ? La réponse est non. La gravitation est beaucoup trop faible. Mais imaginons une force analogue à la gravité, variant inversement avec le carré de la distance, mais énormément plus puissante et différant de la gravitation sur un point. Dans la gravitation il n’y a que les forces d’attraction, mais imaginons maintenant qu’il existe deux sortes de « choses », et que cette nouvelle force (qui est la force électrique bien sûr) ait la propriété que ce qui est identique se repousse et ce qui est différent s’attire. La « chose » qui permet cette forte interaction est appelée la charge.

Qu’en est-il alors ? Supposons que nous ayons deux charges différentes qui s’attirent, l’une plus et l’autre moins, et qu’elles se fixent très proches l’une de l’autre. Supposons une autre charge à une certaine distance. Va-t-elle sentir une quelconque attraction ? Elle n’en sentira pratiquement pas, car si les deux premières charges sont égales en grandeur, l’attraction de la première équilibre la répulsion de la seconde. De ce fait, il ne subsiste que des forces négligeables à distance appréciable. D’un autre côté, si nous rapprochons beaucoup la charge supplémentaire, une attraction se manifeste, car la répulsion des charges semblables et l’attraction des charges différentes aura tendance à rapprocher les charges différentes et à écarter les charges semblables. La répulsion deviendra plus faible que l’attraction. C’est la raison pour laquelle les atomes qui sont constitués de charges électriques plus et moins ne sentent que des forces très faibles lorsqu’ils sont éloignés d’une distance appréciable (sans compter la gravitation). Lorsqu’ils se rapprochent, ils peuvent en quelque sorte « voir à l’intérieur » l’un de l’autre et réarranger leurs charges, avec comme résultat une très forte interaction. Le fondement ultime de l’interaction entre les atomes est électrique. Puisque cette force est si élevée, tous les plus et tous les moins doivent normalement venir se rassembler dans une combinaison aussi intime que possible. Tous les objets, y compris nous-mêmes, sont formés de parts finement divisées, ayant des signes plus et moins et interagissant avec une extrême force, le tout étant soigneusement équilibré. De temps à autre, par accident, nous pouvons arracher quelques charges moins ou quelques charges plus (d’habitude il est plus facile d’arracher les charges moins) ; dans ces cas nous trouvons que la force électrique n’est plus contrebalancée et nous pouvons alors voir les effets de ces attractions électriques.

Pour donner une idée de l’importance bien plus grande de l’électricité par rapport à la gravitation, considérons deux grains de sable de 1 mm de diamètre à une distance de 30 m. Si la force entre eux n’était pas équilibrée, si toutes les charges s’attiraient au lieu que des charges semblables ne se repoussent et qu’ainsi il n’y ait pas d’équilibre, quelle force aurions-nous ? Une force de trois millions de tonnes entre les deux ! Vous voyez qu’il suffit d’un nombre très, très faible de charges négatives ou positives, en excès ou en défaut, pour produire des effets électriques appréciables. C’est bien sûr la raison pour laquelle vous ne pouvez pas observer de différence entre un objet chargé et un objet non chargé — il y a si peu de particules en cause que cela ne provoque que très peu de différence dans le poids ou dans la dimension de l’objet.

Avec cela les atomes étaient plus faciles à comprendre. On les représentait avec un « noyau » au centre qui est chargé positivement et très massif, entouré par un certain nombre d’« électrons » très légers et négatifs. Nous prenons un peu d’avance dans notre histoire pour remarquer que dans le noyau lui-même on a trouvé deux types de particules, des protons et des neutrons ayant à peu près le même poids et très lourds. Les protons sont chargés électriquement et les neutrons sont neutres. Si nous avons un atome avec 6 protons à l’intérieur du noyau, qui est entouré par 6 électrons (les particules négatives dans le monde ordinaire de la matière sont toutes des électrons, elles sont très légères en comparaison des protons et neutrons qui forment les noyaux), nous avons l’atome de numéro 6 dans la classification chimique — on l’appelle carbone. L’atome numéro 8 est appelé oxygène, etc., car les propriétés chimiques dépendent des électrons à la périphérie, et en fait seulement du nombre de ces électrons. Ainsi les propriétés chimiques d’une substance ne dépendent seulement que d’un nombre, du nombre des électrons. (La liste complète des éléments qu’utilisent les chimistes aurait pu effectivement s’écrire 1, 2, 3, 4, 5, etc. Au lieu de dire « carbone », nous aurions pu dire « élément six », entendant par là six électrons, mais évidemment, lorsque les éléments furent découverts, on ne savait pas alors qu’ils pouvaient être numérotés de cette manière, et de plus, cela rendrait les choses assez compliquées. Il est préférable d’avoir des noms et des symboles pour ces atomes, plutôt que de tout désigner par des nombres.)

On découvrit davantage sur la force électrique. L’interprétation naturelle de l’interaction électrique est que deux objets s’attirent simplement l’un l’autre : le plus et le moins. Cependant, on découvrit que c’était une idée inadéquate pour représenter l’interaction. Une représentation plus exacte de la situation est de dire que l’existence de la charge positive, en un certain sens, déforme ou crée une « condition » dans l’espace telle que, lorsque nous y mettons une charge négative, celle-ci subit une force. Cette capacité potentielle de produire une force est appelée un champ électrique. Lorsque nous plaçons un électron dans un champ électrique, nous disons qu’il est « tiré ». Nous avons alors deux règles : (a) les charges créent un champ et (b) les charges dans les champs subissent des forces et se déplacent. L’application de ces deux règles va devenir claire après avoir discuté les phénomènes suivants : si nous chargeons électriquement un corps, par exemple un peigne, que nous placions un morceau de papier chargé à distance et que nous déplacions le peigne dans un mouvement de va-et-vient, le papier va répondre en pointant toujours vers le peigne. Si nous le secouons plus vite, nous allons découvrir que le papier est un petit peu en retard, qu’il y a un retard dans l’action. (Au début, lorsque nous déplaçons le peigne lentement, nous trouvons une complication qui est le magnétisme. Les influences magnétiques sont reliées aux charges en mouvement relatif, ce qui fait que les forces magnétiques et les forces électriques peuvent être effectivement attribuées à un seul champ, comme étant deux aspects différents du même phénomène. Un champ électrique variable ne peut exister sans magnétisme.) Si nous éloignons le papier chargé, le retard augmente. On observe alors une chose intéressante. Bien que les forces entre deux objets chargés varient comme l’inverse du carré de la distance, il apparaît que lorsque nous secouons une charge, son influence s’étend beaucoup plus loin que nous ne pourrions le penser à première vue. Ce qui veut dire que l’effet diminue beaucoup plus lentement avec la distance que selon la loi de l’inverse carré.

Voici une analogie : si nous sommes dans une piscine et qu’un bouchon flottant soit très proche, nous pouvons le déplacer « directement » en poussant l’eau avec un autre bouchon. Si vous ne considérez que les deux bouchons, tout ce que vous pourrez voir c’est que l’un d’eux répond immédiatement au mouvement de l’autre — il y a un certain type d’interaction entre eux. Bien sûr, ce que nous faisons effectivement, c’est perturber l’eau et l’eau à son tour agit sur l’autre bouchon. Nous pourrions établir une « loi » disant que si vous poussez l’eau un petit peu, un objet va se déplacer. S’il est plus éloigné, le deuxième bouchon va à peine se déplacer, car nous ne déplaçons l’eau que localement. D’un autre côté, si nous agitons le bouchon, un autre phénomène apparaît, dans lequel le mouvement de l’eau déplace l’eau, etc., des ondes se déplacent, ce qui fait que par l’agitation, l’influence s’étend beaucoup plus loin, une influence oscillante que l’on ne peut pas expliquer à partir de l’interaction directe. Ainsi l’idée d’interaction directe doit être remplacée par l’existence de l’eau, ou dans le cas électrique, par ce que nous appelons le champ électromagnétique.

Le champ électromagnétique peut transporter des ondes ; certaines de ces ondes sont la lumière ; d’autres sont utilisées dans les émissions de radio, mais on les appelle toutes ondes électromagnétiques. Ces ondes périodiques peuvent avoir différentes fréquences. La seule chose réellement différente entre deux ondes est la fréquence de l’oscillation. Si nous secouons une charge de plus en plus rapidement, et que nous regardions les effets, nous obtenons toute une série d’effets différents, que l’on peut rassembler en précisant un seul nombre, le nombre d’oscillations par seconde. Le « signal parasite » habituel qui nous parvient des courants électriques dans les circuits parcourant les murs d’une habitation, a une fréquence d’environ 100 cycles/s. Si nous augmentons la fréquence à 500 ou à 1 000 kilocycles (1 kilocycle = 1 000 cycles) par seconde, nous sommes « en l’air », car cela est un domaine de fréquence utilisé dans les émissions de radio. (Bien sûr cela n’a rien à voir avec l’air. Nous pouvons recevoir des ondes radio sans air.) Si nous continuons d’augmenter la fréquence, nous atteignons le domaine qui est utilisé pour la modulation de fréquence et la télévision. En allant encore plus loin, nous utilisons certaines ondes courtes, par exemple pour le radar. Plus loin encore, et nous n’avons pas besoin d’un instrument pour « voir » cette onde, nous pouvons la voir à l’œil nu. Dans le domaine de fréquence de 5 × 10¹⁴ à 5 × 10¹⁵ cycles par seconde, notre œil verrait les oscillations d’un peigne chargé, si nous pouvions le secouer à cette vitesse, sous l’aspect d’une lumière rouge, bleue ou violette selon la fréquence. Les fréquences en dessous de ce domaine sont appelées infrarouge et au-dessus, ultraviolet. Le fait que nous puissions voir dans un domaine particulier de fréquence ne rend pas d’un point de vue de physicien cette partie du spectre plus impressionnante que les autres ; mais évidemment d’un point de vue humain, c’est beaucoup plus intéressant. Si nous allons encore plus haut en fréquence, nous obtenons les rayons X. Les rayons X ne sont rien d’autre que de la lumière de très haute fréquence. Si nous allons encore plus loin, nous obtenons les rayons gamma. Ces deux termes, rayons X et rayons gamma, sont utilisés presque pour la même chose. Habituellement, les rayons électromagnétiques venant des noyaux sont appelés des rayons gamma, tandis que ceux de hautes énergies venant des atomes sont appelés des rayons X, mais à la même fréquence ils ne sont pas distincts physiquement, quelles que soient leurs origines. Si nous allons encore plus loin en fréquence, par exemple à 10²⁴ cycles par seconde, nous trouvons que nous pouvons fabriquer ces ondes artificiellement, par exemple avec le synchrotron ici à Caltech. Nous pouvons trouver des ondes électromagnétiques avec des fréquences prodigieusement élevées — un millier de fois plus rapides encore — dans les ondes des rayons cosmiques. Ces ondes ne peuvent pas être contrôlées par nous.

2-3 Physique quantique

Ayant décrit le concept de champ électromagnétique, et vu que ce champ peut porter des ondes, nous apprenons bientôt que ces ondes se comportent en réalité d’une manière étrange, et pour tout dire très peu ondulatoire. Vers les hautes fréquences elles se manifestent comme des particules ! C’est la mécanique quantique, découverte juste après 1920, qui explique ce comportement bizarre. Dans les années précédant 1920, la représentation de l’espace comme un espace à trois dimensions, et du temps comme une chose séparée, fut modifiée par Einstein, d’abord en une combinaison que nous appelons l’espace-temps, et par la suite, dans un espace-temps courbe pour représenter la gravitation. Ainsi le « décor » est devenu l’espace-temps, et la gravitation est probablement une modification de cet espace-temps. On découvrit également que les règles du mouvement des particules étaient incorrectes. Les règles mécaniques d’« inertie » et de « forces » sont fausses — les lois de Newton sont fausses dans le monde des atomes. À la place, il fut découvert que les objets à petite échelle ne se comportent absolument pas comme les objets à grande échelle. C’est ce qui rend la physique difficile — et très intéressante. C’est difficile, parce que la manière dont les objets se comportent à petite échelle est si peu « naturelle » ; nous n’avons pas d’expérience directe de ce comportement. Les objets ne se comportent alors comme rien de ce que nous connaissions, de telle sorte qu’il est impossible de décrire ce comportement autrement que de manière analytique. Cela est difficile et demande beaucoup d’imagination.

La mécanique quantique a plusieurs aspects. En premier lieu, l’idée qu’une particule ait une position définie et une vitesse définie n’est plus permise ; cela est faux. Pour donner un exemple du degré d’erreur de la physique classique, il y a une règle de mécanique quantique qui dit qu’on ne peut pas savoir simultanément où un objet se trouve, et à quelle vitesse il se déplace. Les incertitudes sur la quantité de mouvement et sur la position sont complémentaires, et le produit des deux est constant. Nous pouvons écrire cette loi ainsi : ∆ x ∆ p ≥ h/2π, mais nous y reviendrons plus tard, plus en détail. Cette règle explique un paradoxe très mystérieux : si les atomes sont faits de charges positives et négatives, pourquoi les charges négatives ne sont-elles pas simplement collées aux charges positives (elles s’attirent l’une l’autre), se rapprochant de si près qu’elles s’équilibrent complètement ? Pourquoi les atomes sont-ils aussi gros ? Pourquoi le noyau est-il au centre avec des électrons autour de lui ? On a pensé d’abord l’expliquer par la taille du noyau ; mais non, le noyau est très petit. Un atome a un diamètre d’environ 10⁻⁸ cm. Le diamètre du noyau est d’environ 10⁻¹³ cm. Si, disposant d’un atome, nous voulons voir le noyau, il nous faudrait l’agrandir jusqu’au moment où l’atome complet atteint les dimensions d’une grande pièce, alors le noyau ne serait qu’un petit grain que vous pourriez tout juste distinguer à l’œil, mais pratiquement tout le poids de l’atome est concentré dans ce noyau infinitésimal. Qu’est-ce qui empêche les électrons de simplement se précipiter sur le noyau ? Ce principe : s’ils étaient dans le noyau, nous connaîtrions leur position avec précision, et le principe d’incertitude demanderait alors qu’ils aient une très grande quantité de mouvement, très grande (mais aléatoire), c’est-à-dire une très grande énergie cinétique. Avec cette énergie, ils pourraient s’écarter du noyau. Aussi les électrons réalisent-ils un compromis : ils se donnent un peu d’espace à cause de cette incertitude et prennent alors l’agitation minimum compatible avec la règle d’incertitude. (Rappelez-vous que lorsqu’un cristal est refroidi au zéro absolu, nous avons dit que les atomes ne cessent pas leurs mouvements, ils s’agitent toujours. Pourquoi ? S’ils s’arrêtaient, nous saurions où ils se trouvent et qu’ils ont un mouvement nul, ce qui va à l’encontre du principe d’incertitude. Nous ne pouvons pas savoir où ils sont et simultanément à quelle vitesse ils se déplacent, ce qui fait qu’ils doivent être en perpétuelle agitation !)

Un autre changement très intéressant, apporté par la mécanique quantique aux idées et à la philosophie de la science, est le suivant : il n’est possible, en aucune circonstance, de prédire exactement ce qui va se produire. Par exemple, il est possible de mettre un atome en état d’émettre de la lumière, et nous pouvons mesurer l’instant où il émet cette lumière en détectant une particule appelée photon, que nous décrirons bientôt. Nous ne pouvons pas cependant prédire quand il va émettre de la lumière ou, si l’on dispose de plusieurs atomes, lequel va émettre de la lumière. Vous allez dire que cela est peut-être dû à certains « rouages » internes encore insuffisamment étudiés. Non, il n’y a pas de mécanismes cachés ; la nature, comme nous la comprenons aujourd’hui, se comporte de manière telle qu’il est fondamentalement impossible de faire une prédiction de ce qui va exactement se passer dans une expérience donnée. C’est horrible ; auparavant, les philosophes disaient qu’une des conditions fondamentales de la science est que chaque fois que vous établissez les mêmes conditions, la même chose doit se passer. Cela est tout simplement faux, ce n’est pas une condition fondamentale de la science. Le fait est que la même chose ne se réalise pas, que nous ne pouvons trouver ce qui se passe qu’en moyenne et statistiquement. Malgré cela, la science ne s’est pas complètement effondrée. Les philosophes, incidemment, ont dit beaucoup de choses sur ce qui est absolument nécessaire à la science, et c’est toujours, pour autant que l’on puisse savoir, plutôt naïf et probablement faux. Par exemple, l’un ou l’autre parmi ces philosophes a dit qu’il est fondamental pour l’effort scientifique que si une expérience est réalisée, disons, à Stockholm, et que la même expérience soit réalisée par exemple à Quito, les mêmes résultats doivent être obtenus. Cela est tout à fait faux. Il n’est pas nécessaire que la science réalise cela. C’est peut-être un fait d’expérience, mais ce n’est pas nécessaire. Par exemple, si l’une des expériences consiste à regarder le ciel et à observer une aurore boréale à Stockholm, vous ne la verrez pas à Quito ; c’est un phénomène différent. « Mais, direz vous, c’est quelque chose qui est en relation avec l’extérieur ; pouvez-vous vous enfermer dans une boîte à Stockholm, fermer le rideau et observer une quelconque différence ? » Sûrement. Si vous prenez un pendule sur un joint à cardan, que vous l’écartiez pour le laisser se balancer, le pendule va osciller presque dans un plan, mais pas tout à fait. À Stockholm, le plan se déplace lentement, mais pas à Quito. Les stores sont bien baissés. Le fait que cela se passe ne signifie pas la destruction de la science. Quelle est l’hypothèse fondamentale de la science, sa philosophie fondamentale ? Nous l’avons dit dans le premier chapitre : la seule vérification de la validité d’une idée est l’expérience. S’il apparaît que la plupart des expériences donnent la même chose à Quito et à Stockholm, alors ces « très nombreuses expériences » seront utilisées pour formuler quelques lois générales, et nous dirons que si les expériences ne donnent pas les mêmes résultats, cela est dû aux conditions extérieures qui ne sont pas les mêmes à Stockholm. Nous inventerons certaines manières à résumer les résultats expérimentaux, mais il ne faut pas qu’on nous dise à l’avance quelle sera cette manière. Si on nous dit que la même expérience va toujours produire le même résultat, c’est très bien, mais si nous essayons, et que ce ne soit pas le cas, eh bien, cela n’est pas le cas. Nous ne devons considérer que ce que nous voyons, et exprimer tout le reste de nos idées en fonction de notre expérience réelle.

Revenant à la mécanique quantique et à la physique fondamentale, nous ne pouvons entrer à présent, bien sûr, dans les détails des principes de mécanique quantique parce qu’ils sont assez difficiles à comprendre. Nous supposerons qu’ils existent et allons décrire quelques-unes de leurs conséquences. L’une d’entre elles est que les choses que nous avions l’habitude de considérer comme des ondes se comportent aussi comme des particules et que les particules se comportent inversement comme des ondes ; en fait tout se comporte de la même manière. Il n’y a pas de distinction entre une onde et une particule. Ainsi la mécanique quantique unifie l’idée du champ et de ses ondes, et l’idée de particules, dans une seule et même idée. Cependant il est vrai que lorsque la fréquence est basse, l’aspect ondulatoire du phénomène est plus évident ou plus utile comme description approchée en partant des expériences de tous les jours. Mais lorsque la fréquence augmente, les aspects particulaires du phénomène deviennent plus évidents avec l’équipement que nous utilisons habituellement pour faire les mesures. En fait, bien que nous ayons mentionné de nombreuses fréquences, aucun phénomène se manifestant directement par une fréquence n’a été détecté au-dessus approximativement de 10¹² cycles par seconde. Nous ne pouvons déduire les plus hautes fréquences qu’à partir des énergies des particules, par une règle qui suppose que la notion onde-particule en mécanique quantique est valable.

Ainsi, nous découvrons une vue nouvelle de l’interaction électromagnétique. Nous avons une nouvelle sorte de particule à ajouter à l’électron, au proton et au neutron. Cette nouvelle particule est appelée le photon. La nouvelle analyse de l’interaction entre électrons et protons, c’est la théorie électromagnétique, mais si, de plus, on tient compte correctement de la mécanique quantique, on l’appelle électrodynamique quantique. Cette théorie fondamentale de l’interaction de la lumière et de la matière, des champs électriques et des charges, constitue, jusqu’à présent, notre plus grand succès en physique. Dans cette seule théorie nous trouvons des lois de base pour tous les phénomènes ordinaires à l’exception de la gravitation et des processus nucléaires. Par exemple, de l’électrodynamique quantique proviennent toutes les lois électriques, mécaniques et chimiques déjà connues : les lois pour les collisions des boules de billard ; les mouvements des conducteurs dans les champs magnétiques, la chaleur spécifique de l’oxyde de carbone, la couleur des enseignes au néon, la densité du sel, et les réactions de l’hydrogène et l’oxygène pour faire de l’eau sont tous des conséquences de cette unique loi. Tous ces détails peuvent être expliqués si la situation est suffisamment simple pour nous permettre de faire des approximations, ce qui n’est pratiquement jamais le cas ; souvent cependant nous pouvons comprendre plus ou moins ce qui se passe. À l’heure actuelle, on n’a découvert aucune exception aux lois de l’électrodynamique quantique à l’extérieur du noyau et là nous ne savons pas si c’est une exception, pour la bonne raison que nous ignorons ce qui se passe dans le noyau.

En principe alors, l’électrodynamique quantique est la théorie de toute la chimie et de toute la vie, si la vie en dernière analyse se réduit à de la chimie et donc finalement à de la physique — la chimie étant à l’heure actuelle déjà ramenée à de la physique (la part de la physique au sein de la chimie étant déjà connue). De plus cette même électrodynamique quantique, cette grande œuvre, prédit beaucoup de choses nouvelles. En premier lieu, elle nous donne les propriétés des photons très énergiques, des rayons gamma, etc. Elle prédit autre chose de très remarquable : en plus de l’électron, il doit y avoir une autre particule de même masse, mais de charge opposée, appelée un positron, et ces deux particules se rencontrant peuvent s’annihiler l’une l’autre avec émission de lumière ou de rayons gamma. (Après tout, la lumière et les rayons gamma sont la même chose, ce sont simplement des points différents sur une échelle de fréquence.) On peut généraliser ce fait que pour chaque particule il y a une anti-particule. Dans le cas des électrons, l’anti-particule possède un autre nom — elle est appelée un positron, mais pour la plupart des autres particules, elle est appelée anti-quelque chose, tel que anti-proton ou anti-neutron. En électrodynamique quantique, on injecte deux nombres, et la plupart des autres nombres dans le monde sont supposés en sortir. Les deux nombres que l’on injecte sont appelés la masse de l’électron et la charge de l’électron. En réalité, cela n’est pas tout à fait exact, car nous avons tout un ensemble de nombres en chimie qui nous disent quels sont les poids des noyaux. Cela nous amène au paragraphe suivant.

2-4 Noyaux et particules

De quoi sont faits les noyaux et comment sont-ils liés les uns aux autres ? On a trouvé que les noyaux sont maintenus ensemble par des forces énormes. Lorsque ces forces sont libérées, l’énergie relâchée est énorme en comparaison de l’énergie chimique, dans le même rapport d’une explosion de bombe atomique à une explosion de TNT, parce que, bien entendu, la bombe atomique fonctionne grâce aux changements à l’intérieur du noyau, tandis que l’explosion de TNT est liée aux modifications que subissent les électrons à la périphérie des atomes. La question est de savoir quelles sont les forces qui maintiennent les protons et neutrons ensemble dans le noyau. De la même manière que l’interaction électrique peut être reliée à une particule, le photon, Yukawa suggéra que les forces entre les neutrons et les protons sont liées également à un certain type de champ, et lorsque ce champ oscille, il se comporte comme une particule. Ainsi en plus des protons et des neutrons, il peut y avoir dans le monde d’autres particules, et Yukawa fut capable de déduire les propriétés de ces particules à partir des caractéristiques déjà connues des forces nucléaires. Par exemple, il prédit qu’elles devaient avoir une masse de deux ou trois cents fois celle d’un électron ; et voyez et admirez : dans les rayons cosmiques on a découvert une particule de masse correcte ! Mais il apparut plus tard que ce n’était pas la bonne particule. Elle fut appelée un μ-méson ou muon.

Cependant un petit peu après, en 1947 ou en 1948, on découvrit une autre particule, le π-méson ou pion qui satisfaisait les critères de Yukawa. Pour obtenir des forces nucléaires, nous devons ajouter le pion au proton et au neutron. Alors vous allez dire : « Ah très bien ! avec cette théorie nous faisons de la nucléo-dynamique quantique utilisant les pions comme Yukawa le désirait, nous voyons si ça marche et tout sera ainsi expliqué. » Eh bien ! vous n’avez pas de chance. Les calculs contenus dans cette théorie sont si difficiles que personne n’a jamais été capable d’imaginer quelles sont les conséquences de la théorie ou de vérifier celle-ci à l’aide de l’expérience, et cela depuis maintenant presque vingt ans !

Alors nous sommes empêtrés dans une théorie et nous ne savons pas si elle est juste ou fausse ; nous savons néanmoins qu’elle est un petit peu fausse, ou pour le moins incomplète. Tandis que nous flânions théoriquement, essayant de calculer les conséquences de cette théorie, les expérimentateurs ont découvert de nouvelles choses. Par exemple, ils avaient déjà découvert le μ-méson ou muon et nous ne savons toujours pas maintenant quelle est sa place. Dans les rayons cosmiques furent découverts également un grand nombre d’autres « extra »-particules. Nous avons atteint maintenant approximativement 30 particules, et il est très difficile de comprendre les liens de parenté entre toutes ces particules et pourquoi la nature les veut ou quelles sont les relations entre elles. Nous ne comprenons pas aujourd’hui ces particules variées comme autant d’aspects différents d’une même chose, et le fait que nous ayons autant de particules sans relations entre elles est une manifestation du fait que l’on obtient très peu d’information unifiée sans une bonne théorie. Après les grands succès de l’électrodynamique quantique, on débouche sur une certaine quantité de connaissances de physique nucléaire qui est un savoir approximatif, une sorte de semi-expérience et de semi-théorie, supposant un type de force entre les protons et les neutrons et envisageant ce qui s’en déduit, mais ne comprenant pas vraiment l’origine des forces. À part cela, nous n’avons que peu progressé. Nous avions rassemblé un très grand nombre d’éléments chimiques. Dans ce cas il est apparu soudainement une relation inattendue entre ces éléments, qui est exprimée dans le tableau périodique de Mendeleïev. Le sodium et le potassium, par exemple, ont à peu près les mêmes propriétés chimiques, et se trouvent dans la même colonne du tableau de Mendeleïev. Nous avons essayé de trouver un tableau du genre Mendeleïev pour les nouvelles particules. Un tableau de nouvelles particules fut réalisé indépendamment par Gell-Mann aux États-Unis et Nishijima au Japon. La base de leur classification est un nouveau nombre, semblable à la charge électrique, appelé l’« étrangeté » S et que l’on peut attribuer à chaque particule. Ce nombre, comme la charge électrique, est conservé dans les réactions qui ont lieu sous l’effet des forces nucléaires.

Dans le tableau 2-2 sont indiquées toutes les particules. Nous ne pouvons guère les discuter à présent, mais ce tableau vous indiquera au moins ce que nous ne savons pas. Sous chaque particule, on indique sa masse dans une certaine unité appelée le Mev. Un Mev est égal à 1,782 × 10–27 gramme. La raison du choix de cette unité est historique, et nous ne nous étendrons pas sur ce point maintenant. Les particules les plus massives figurent en haut du tableau ; nous voyons qu’un neutron et un proton ont presque la même masse. Dans les colonnes verticales nous avons placé les particules de même charge électrique, tous les objets neutres dans une colonne, tous les objets chargés positivement à la droite de celle-ci, et tous ceux chargés négativement à sa gauche.

Les particules sont indiquées avec une ligne en trait plein et les « résonances » avec une ligne pointillée. Plusieurs particules ont été enlevées du tableau. En particulier les importantes particules de masse et de charge nulles, le photon et le graviton, qui n’entrent pas dans la classification baryon-méson-lepton, et aussi certaines des plus nouvelles résonances (K*, φ, η). Les antiparticules des mésons sont citées, mais les anti-particules des leptons et des baryons devraient être indiquées dans un autre tableau exactement semblable à celui-ci, à une réflexion sur la colonne de charge zéro près. Bien que toutes ces particules, à l’exception de l’électron, du neutrino, du photon, du graviton et du proton soient instables, les produits issus des désintégrations n’ont été indiqués que pour les résonances. Les indications d’étrangeté ne sont pas valables pour les leptons, puisqu’ils n’interagissent pas fortement avec les noyaux.

Toutes les particules groupées avec les neutrons et protons sont appelées des baryons. Ce sont : un « lambda » de masse 1 154 Mev, et trois autres appelées sigma, moins, zéro et plus avec des masses presque identiques. Il y a des groupes de particules ou multiplets ayant presque la même masse, à un ou deux pour-cent près. Chaque particule dans un multiplet a la même étrangeté. Le premier multiplet est le doublet proton-neutron, il y a ensuite un singlet (le lambda) puis le triplet sigma et le double xi. Tout à fait récemment, en 1961, on vient de découvrir quelques nouvelles particules. Mais sont-elles bien des particules ? Elles vivent pendant un temps si bref, se désintégrant presque instantanément aussitôt qu’elles sont formées, que nous ne savons pas si elles doivent être considérées comme de nouvelles particules ou comme des interactions de « résonances » d’une certaine énergie définie entre les produits Δ et π dans lesquels elles se désintègrent.

En plus des baryons, les autres particules que l’on rencontre dans les interactions nucléaires sont appelées mésons. Il y a en premier lieu les pions, qui apparaissent selon trois variétés positives, négatives et neutres ; ils forment un autre multiplet. Nous avons également trouvé de nouvelles particules appelées K-mésons et elles forment un doublet, ce sont K⁺ et K⁰. Chaque particule a également son anti-particule, aussi longtemps qu’une particule n’est pas à elle-même son anti-particule. Par exemple les π– et π⁺ sont anti-particules l’un de l’autre, mais le π⁰ est sa propre anti-particule. K⁻ et K⁺ forment couple particule-antiparticule, ainsi que K⁰ et . De plus, en 1961, nous avons trouvé de nouveaux mésons ou des quasi-mésons qui se désintègrent presque immédiatement. Une chose appelée ω qui se décompose en trois pions a une masse de 780 sur cette échelle, et un objet moins certain encore se désintègre en deux pions. Ces particules appelées mésons et baryons, et les anti-particules des mésons sont sur le même tableau, mais les anti-particules des baryons doivent être placées sur un autre tableau « symétrique » du premier par rapport à la colonne de charge nulle.

De même que le tableau de Mendeleïev était excellent, à l’exception de quelques éléments de terres rares n’y trouvant pas vraiment leur place, de même nous trouvons certaines particules un peu à l’écart de ce nouveau tableau, des particules qui n’interagissent pas fortement dans le noyau — qui n’ont rien à voir avec l’interaction nucléaire, et n’ont pas une forte interaction (par là je veux dire le type puissant d’interaction de l’énergie nucléaire). Elles sont appelées des leptons et ce sont les suivantes : il y a l’électron qui a une très petite masse à cette échelle, seulement 0,510 Mev. Ensuite il y a cet autre, le μ-méson, le muon, de masse beaucoup plus grande, 206 fois plus élevée que celle d’un électron. Pour autant que nous sachions, toutes les expériences réalisées jusqu’à présent ont montré que la seule différence entre l’électron et le muon est une différence de masse. Tout se passe exactement de la même manière pour le muon et pour l’électron, sauf le fait que l’un est plus lourd que l’autre. Pourquoi alors y en a-t-il un plus lourd ? Quelle est son utilité ? Nous ne savons pas. De plus, il existe un lepton neutre appelé neutrino, et cette particule a une masse nulle. En fait il est reconnu maintenant qu’il y a deux types différents de neutrino, l’un lié aux électrons et l’autre lié aux muons.

Pour terminer, nous avons deux autres particules qui n’interagissent pas fortement avec les particules nucléaires : l’une est le photon, et si le champ de gravitation possède également un analogue en mécanique quantique (une théorie quantique de la gravitation n’a pas encore été élaborée) on peut parler d’une autre particule, le graviton de masse nulle.

Qu’est-ce que signifie cette « masse nulle » ? Les masses données ici sont les masses des particules au repos. Le fait qu’une particule ait une masse nulle signifie en un sens qu’elle ne peut pas être au repos. Un photon n’est jamais au repos, il est toujours en train de se déplacer à 300 000 km/s. Nous comprendrons davantage ce que la masse signifie lorsque nous comprendrons la théorie de la relativité, ce qui viendra en son temps.

Ainsi nous sommes confrontés à un grand nombre de particules qui, ensemble, semblent être les constituants fondamentaux de la matière. Heureusement, ces particules ne sont pas toutes différentes dans leurs interactions mutuelles. En fait, il semble qu’on puisse distinguer quatre sortes d’interaction entre les particules qui, dans un ordre d’intensité décroissante, sont les forces nucléaires, les interactions électriques, les interactions de désintégration bêta et la gravitation. Le photon est couplé à toutes les particules chargées et l’intensité de l’interaction est mesurée par un certain nombre qui est 1/137. La loi détaillée de ce couplage est connue, c’est l’électrodynamique quantique. La gravitation est couplée à toutes les formes d’énergie, mais son couplage est extrêmement faible, beaucoup plus faible que celui de l’électricité. Cette loi est également connue. Il y a ensuite ce qu’on appelle les désintégrations faibles — la désintégration bêta, qui fait que le neutron se désintègre en proton, électron et neutrino, relativement lentement. Cette loi n’est que partiellement connue. L’interaction dite forte, l’interaction méson-baryon a une intensité de 1 sur cette échelle ; et la loi est complètement inconnue, bien que certaines règles soient connues comme, par exemple, l’invariance du nombre de baryons dans toute réaction.

Tableau 2-3

Interactions élémentaires

Couplage | Intensité* | Loi
Photon avec les particules chargées | ~ 10–2 | Loi connue
Gravitation avec toutes les formes d’énergie | ~ 10–40 | Loi connue
Désintégration faible | ~ 10–5 | Loi partiellement connue
Mésons avec baryons | ~ 1 | Loi inconnue (certaines règles connues)

* L’« intensité » est une mesure sans dimension de la constante de couplage contenue dans chaque interaction (~ signifie « approximativement »).

Cela est donc la situation horrible de notre physique d’aujourd’hui. Pour la résumer, je dirai ceci : à l’extérieur du noyau, il nous semble tout connaître ; à l’intérieur de celui-ci, la mécanique quantique est valable — les principes de mécanique quantique ne semblent pas avoir été pris en défaut. Le décor dans lequel nous situons toutes nos connaissances est, dirons-nous, l’espace-temps relativiste ; il se peut que la gravitation soit contenue dans l’espace-temps. Nous ne savons pas comment l’univers commença, et nous n’avons jamais fait d’expériences qui vérifient notre idée de l’espace-temps avec précision, en dessous de certaine distance très faible, et nous ne savons que nos idées sont réellement justes que pour des dimensions supérieures. Nous devons ajouter également que les règles du jeu sont les principes de mécanique quantique, et que ces principes s’appliquent, pour autant que nous puissions dire, aux nouvelles particules aussi bien qu’aux anciennes. L’origine des forces dans le noyau nous a conduits à de nouvelles particules, mais malheureusement elles apparaissent à profusion, et nous manquons d’une compréhension complète de leurs relations, bien que nous sachions déjà que certaines relations très surprenantes existent entre elles. Il semble que nous avancions à tâtons vers une compréhension du monde des particules sous-atomiques, mais en réalité nous ne savons pas à l’heure actuelle jusqu’où ce travail nous entraînera.

Chapitre 3

La physique par rapport aux autres sciences

3-1 Introduction

La physique est la plus fondamentale des sciences, celle qui contient le plus de choses et elle a eu un effet profond sur tout le développement scientifique. En fait la physique est l’équivalent actuel de ce qui fut autrefois appelé la philosophie naturelle, dont la plupart de nos sciences modernes sont issues. Des étudiants de nombreux domaines se retrouvent en train d’étudier la physique à cause du rôle qu’elle joue dans tous les phénomènes. Dans ce chapitre nous essayerons d’expliquer quels sont les problèmes fondamentaux dans les autres sciences, mais bien entendu il est impossible dans un espace aussi réduit de traiter réellement les matières complexes, subtiles et belles de ces autres domaines. L’absence d’espace nous empêchera également de discuter la relation entre la physique et la science de l’ingénieur, l’industrie, la société, et la guerre, ou même la très remarquable relation entre les mathématiques et la physique. (La mathématique, à notre point de vue, n’est pas une science, en ce sens que ce n’est pas une science naturelle. La vérification de sa validité ne se fait pas par l’expérience.) Nous devons incidemment dire clairement, dès le début, que si une chose n’est pas une science, elle n’est pas nécessairement mauvaise. Par exemple, l’amour n’est pas une science. Ainsi, si l’on dit que quelque chose n’est pas une science, cela ne signifie pas que ce quelque chose ne convient pas ; cela signifie simplement que ce n’est pas une science.

3-2 Chimie

La science qui est peut-être le plus profondément affectée par la physique est la chimie. Historiquement, les premiers jours de la chimie ont été consacrés presque entièrement à ce que nous appelons maintenant la chimie minérale, la chimie des substances qui ne sont pas associées avec les choses vivantes. Une analyse considérable fut nécessaire pour découvrir l’existence de nombreux éléments et leurs relations — comment ils forment les composés variés et relativement simples trouvés dans les roches, la terre, etc. Cette chimie primitive fut très importante pour la physique. L’interaction entre deux sciences fut très grande parce que la théorie des atomes reçut pour une grande part sa substance des expériences en chimie. La théorie de la chimie, c’est-à-dire des réactions elles-mêmes, fut résumée pour une grande part dans le tableau périodique de Mendeleïev, qui fait apparaître de nombreuses relations étranges entre les éléments divers, et c’était le rassemblement des règles, selon lesquelles quelle substance se combine avec quelle autre et de quelle manière, qui constituait la chimie minérale. Toutes ces règles furent en définitive expliquées, en principe, par la mécanique quantique, de telle sorte que la chimie théorique est en fait de la physique. D’un autre côté, on doit insister sur le fait que cette explication est en principe. Nous avons déjà discuté la différence entre connaître les règles du jeu d’échecs, et être capable d’y jouer. Ainsi est-il possible que nous connaissions les règles, mais que nous ne sachions pas extrêmement bien jouer. Il apparaît très difficile de prédire précisément ce qui va se passer dans une réaction chimique donnée ; néanmoins, l’aboutissement de la partie la plus profonde de la chimie théorique doit se trouver en mécanique quantique.

Il y a également une branche de la physique et de la chimie qui fut développée par les deux sciences ensemble, et qui est extrêmement importante. C’est la méthode statistique appliquée à une situation dans laquelle il y a des lois de mécanique, et qui est pertinemment appelée mécanique statistique. Dans toute situation chimique, un grand nombre d’atomes est présent, et nous avons vu que les atomes s’agitent d’une manière compliquée et tout à fait au hasard. Si nous pouvions analyser chaque collision et être capables de suivre en détail le mouvement de chaque molécule, nous pourrions espérer prédire ce qui va se passer, mais le grand nombre de chiffres nécessaires pour suivre la piste de toutes ces molécules dépasse tellement les capacités de toutes nos machines à calculer, et certainement la capacité du cerveau humain, qu’il était important de développer une méthode pour traiter des situations aussi compliquées. La mécanique statistique, alors, est la science des phénomènes de la chaleur ou thermodynamique. La chimie minérale est maintenant, en tant que science, réduite essentiellement à ce qu’on appelle la chimie physique et la chimie quantique. La chimie physique pour étudier les taux de réactions et ce qui se passe dans le détail (comment les molécules se frappent-elles ? quels morceaux se détachent d’abord ? etc.), et la chimie quantique pour nous aider à comprendre ce qui se passe en termes de lois physiques.

L’autre branche de la chimie est la chimie organique, la chimie des substances qui sont associées avec les choses vivantes. Pendant un temps, on crut que les substances qui étaient associées avec les choses vivantes étaient si merveilleuses qu’elles ne pourraient pas être fabriquées de main d’homme, à partir de matériaux inorganiques. Cela n’est pas du tout vrai — elles sont exactement les mêmes que les substances fabriquées en chimie minérale, mais on y trouve des arrangements d’atomes plus compliqués. La chimie organique évidemment est très proche parente de la biologie qui lui apporte ses substances, et de l’industrie, et de plus, la chimie physique et la mécanique peuvent être appliquées largement aux composés tant organiques qu’inorganiques. Cependant les problèmes essentiels de la chimie organique ne sont pas liés à ce genre de question, mais plutôt à l’analyse et la synthèse des substances qui sont formées dans les systèmes biologiques, dans les choses vivantes. Cela nous conduit imperceptiblement, par étapes, vers la biochimie et puis vers la biologie elle-même, ou la biologie moléculaire.

3-3 Biologie

Ainsi nous en venons à la science de la biologie, qui est l’étude des choses vivantes. Dans les premiers temps de la biologie, les biologistes s’occupaient de problèmes purement descriptifs, de trouver quels étaient les objets vivants, et ainsi ils n’avaient qu’à compter des choses comme les poils sur les pattes des puces. Une fois que ces sujets eurent été étudiés avec beaucoup d’intérêt, les biologistes s’intéressèrent aux mécanismes à l’intérieur des corps vivants, d’abord d’un point de vue assez général, bien sûr, parce qu’il faut un certain effort pour découvrir les détails plus fins.

On peut mentionner une relation intéressante et ancienne entre la physique et la biologie dans laquelle la biologie aida la physique à découvrir la conservation de l’énergie, qui fut démontrée pour la première fois par Mayer en relation avec la quantité de chaleur acquise et éliminée par une créature vivante.

Si nous regardons les processus biologiques des animaux vivants de plus près, nous voyons de nombreux phénomènes physiques : la circulation du sang, les pompes, la pression, etc. Il y a les nerfs : nous savons ce qui se passe lorsque nous marchons sur une pierre pointue, et que, d’une manière ou d’une autre, l’information remonte depuis la jambe. Il est intéressant de savoir comment cela se passe. Dans leurs études des nerfs, les biologistes sont arrivés à la conclusion que les nerfs sont des tubes très fins avec une paroi complexe qui est très mince ; au travers de cette paroi, la cellule pompe des ions, de telle sorte qu’il y a des ions positifs à l’intérieur et des ions négatifs à l’extérieur, comme dans un condensateur. Cette membrane a une intéressante propriété ; si elle se « décharge » en un endroit, c’est-à-dire si certains des ions sont capables de traverser en un endroit, en sorte que la différence de potentiel électrique soit réduite en cet endroit, alors l’influence électrique se fait d’elle-même sentir sur les ions du voisinage, et elle affecte la membrane d’une manière telle qu’elle laisse également traverser les ions aux points voisins. Cela, à son tour, a un effet un petit peu plus loin, etc., et il apparaît ainsi une onde de « pénétrabilité » de la membrane qui court le long de la fibre lorsqu’elle est « excitée » à une extrémité en marchant sur une pierre pointue. Cette onde est quelque peu analogue à une longue séquence de dominos verticaux ; si celui de l’extrémité est renversé, celui-ci pousse le suivant, etc. Bien sûr, cela ne transmettra qu’un seul message tant que les dominos ne sont pas relevés ; et de manière semblable dans la cellule nerveuse, il y a des processus qui pompent les ions lentement en sens inverse vers l’extérieur, pour rendre le nerf prêt à transmettre l’impulsion suivante. C’est ainsi que nous pouvons savoir ce que nous faisons (ou au moins, où nous sommes). Bien sûr les effets électriques associés avec cette impulsion nerveuse peuvent être détectés avec des instruments électriques, et puisque ce sont des effets électriques, il est évident que la physique des effets électriques a eu une forte influence sur la compréhension du phénomène.

L’effet opposé est l’envoi d’un message, le long d’un nerf, depuis un endroit du cerveau. Que se passe-t-il à l’extrémité du nerf ? À cet endroit le nerf se divise en objets petits et fins, reliés à une structure près d’un muscle appelée une plaque terminale. Pour des raisons qui ne sont pas exactement comprises, lorsque l’impulsion atteint l’extrémité du nerf, de petits paquets d’une substance chimique appelée acétylcholine sont projetés (cinq ou dix molécules en même temps) et ils affectent la fibre musculaire et la font se contracter — comme c’est simple ! Qu’est-ce qui fait se contracter un muscle ? Un muscle est un très grand nombre de fibres proches les unes des autres, contenant deux substances différentes, la myosine et l’actomyosine, mais le mécanisme par lequel la réaction chimique induite par l’acétylcholine peut modifier les dimensions de la molécule n’est pas encore connu. Ainsi les processus fondamentaux dans un muscle qui produisent les mouvements mécaniques ne sont pas élucidés.

La biologie est un domaine si énormément vaste qu’il y a une foule d’autres problèmes que nous ne pouvons pas mentionner du tout — des problèmes sur la manière dont s’effectue la vision (ce que fait la lumière dans l’œil), comment se fait l’audition, etc. (La manière selon laquelle se fait la pensée sera discutée plus tard dans le paragraphe sur la psychologie.) Maintenant, ces choses concernant la biologie que nous venons de discuter, ne sont pas d’un point de vue biologique, réellement fondamentales, à la base de la vie, au sens où, même si nous les comprenons, nous ne comprendrons toujours pas la vie elle-même. Par exemple, les hommes qui étudient les nerfs trouvent que leurs travaux sont très importants parce que, après tout, vous ne pouvez pas trouver d’animaux sans nerfs. Mais vous pouvez trouver de la vie sans qu’il y ait des nerfs. Les plantes n’ont ni nerfs ni muscles, mais elles fonctionnent, elles sont vivantes malgré tout. Aussi, pour les problèmes fondamentaux de la biologie, nous devons regarder plus en profondeur ; lorsque nous le faisons, nous découvrons que toutes les choses vivantes ont un grand nombre de caractéristiques en commun. Le trait le plus commun est qu’elles sont faites de cellules, à l’intérieur de chacune desquelles se trouve un mécanisme complexe pour fabriquer chimiquement des produits. Dans les cellules des plantes, par exemple, il y a un mécanisme pour capter la lumière et créer du saccharose, qui est consommé dans l’obscurité pour maintenir la plante en vie. Lorsque la plante est mangée, le saccharose lui-même engendre dans l’animal une série de réactions très étroitement reliées à la photosynthèse dans les plantes (et à son effet opposé dans le noir).

Dans les cellules des systèmes vivants, il y a de nombreuses réactions chimiques compliquées, dans lesquelles un composé est transformé en un autre, et en un autre encore. Pour donner une certaine impression des efforts énormes qui ont été réalisés dans l’étude de la biochimie, le schéma de la Fig. 3-1 résume notre connaissance actuelle sur une petite partie seulement des nombreuses séries de réactions qui se passent dans les cellules, peut-être un pour-cent ou à peu près, de ces réactions.

Fig. 3-1. Cycle de Krebs.

Nous voyons ici toute une suite de molécules qui se transforment les unes dans les autres dans une séquence, ou cycle, d’étapes assez petites. On l’appelle le cycle de Krebs, le cycle respiratoire. Chacun des produits chimiques et chacune des étapes est simple, si l’on considère le changement qui se produit dans la molécule, mais — et ceci est une découverte d’importance centrale en biochimie — ces changements sont relativement difficiles à accomplir dans un laboratoire. Si nous avons une substance et une autre substance très semblable, la première ne se transforme pas facilement dans la seconde, parce que les deux formes sont habituellement séparées par une barrière d’énergie ou « colline ». Considérons cette analogie : si nous voulions transporter un objet d’un endroit à un autre, au même niveau mais sur l’autre côté d’une colline, nous pourrions le pousser par-dessus le sommet, mais pour ce faire il faut fournir une certaine énergie. Ainsi la plupart des réactions chimiques n’ont pas lieu, parce qu’il y a ce qu’on appelle une énergie d’activation en chemin. Afin d’ajouter un atome supplémentaire à notre produit chimique, il faut que cet atome s’approche suffisamment près pour que certains réarrangements puissent avoir lieu ; alors il se fixera. Mais si nous ne pouvons pas lui procurer suffisamment d’énergie pour qu’il s’approche d’assez près, il n’ira pas jusqu’au bout, il ne parcourra qu’une partie de la montée et redescendra la « colline » en arrière. Cependant, si littéralement nous pouvions prendre les molécules dans nos mains, pousser et tirer les atomes tout autour de manière à ouvrir un trou pour laisser rentrer le nouvel atome, et puis laisser les atomes revenir à leur place, nous aurions trouvé un autre chemin, autour de la colline, qui ne nécessiterait pas une énergie supplémentaire, et la réaction aurait lieu facilement. Il y a effectivement dans les cellules de très grandes molécules, beaucoup plus grandes que celles dont nous avons décrit les changements, qui, de certaines manières compliquées, maintiennent les plus petites molécules correctement, de sorte que la réaction puisse avoir lieu facilement. Ces objets très grands et très compliqués sont appelés des enzymes. (Ils furent d’abord appelés ferments, parce qu’ils ont été initialement découverts dans la fermentation du sucre. En fait, certaines des premières réactions dans le cycle furent découvertes là.) En présence d’un enzyme la réaction aura lieu.

Un enzyme est formé d’une autre substance appelée protéine. Les enzymes sont très grands et très compliqués, et chacun est différent, chacun étant construit pour contrôler une certaine réaction chimique particulière. Les noms des enzymes sont écrits à la Fig. 3-1, pour chaque réaction. (Quelquefois le même enzyme peut contrôler deux réactions.) Nous insistons sur le fait que les enzymes eux-mêmes ne sont pas intégrés directement dans la réaction. Ils ne changent pas ; ils permettent simplement à un atome d’aller d’un endroit à un autre. L’ayant fait, l’enzyme est capable de le refaire pour la molécule suivante, telle une machine dans une usine. Bien sûr, il doit y avoir un apport de certains atomes et une manière de disposer d’autres atomes. Prenez l’hydrogène, par exemple : il y a des enzymes qui ont des unités spéciales sur eux, qui transportent l’hydrogène pour toutes les réactions chimiques. Par exemple, il y a trois ou quatre enzymes réduisant l’hydrogène qui sont utilisés sur tout le cycle en différents endroits. Il est intéressant que le mécanisme qui libère un certain hydrogène en un endroit prendra cet hydrogène, et l’utilisera quelque part ailleurs.

Le trait le plus important du cycle de la Fig. 3-1 est la transformation de la GDP en GTP (guanidine-di-phosphate en guanidine-tri-phosphate) parce qu’une de ces substances contient beaucoup plus d’énergie que l’autre. De la même manière que dans certains enzymes il y a une « boîte » pour transporter des atomes d’hydrogène, on trouve certaines « boîtes » transportant de l’énergie qui sont liées au groupe tri-phosphate. Ainsi la GTP possède davantage d’énergie que la GDP, et si le cycle se déroule dans un sens, nous produisons les molécules qui ont de l’énergie en plus et qui peuvent faire fonctionner certains autres cycles, qui ont besoin d’énergie, par exemple la contraction d’un muscle. Le muscle ne se contractera pas tant qu’il n’y a pas de GTP. Nous pouvons prendre une fibre musculaire, la placer dans l’eau et ajouter de la GTP, et la fibre se contractera, transformant la GTP en GDP si l’enzyme adéquat est présent. Ainsi le système réel se trouve dans la transformation GDP-GTP ; dans l’obscurité la GTP, qui a été emmagasinée pendant la journée, est utilisée pour refaire tourner le cycle dans l’autre sens. Un enzyme, vous le voyez, ne se préoccupe pas dans quelle direction la réaction a lieu, car s’il le faisait, il violerait une des lois de la physique.

La physique est d’une grande importance en biologie et dans les autres sciences pour encore une autre raison, liée aux techniques expérimentales. En fait, s’il n’y avait pas eu ce grand développement de la physique expérimentale, ces graphiques de biochimie ne seraient pas connus aujourd’hui. La raison est que l’outil le plus utile de tous pour analyser ces thèmes fantastiquement complexes, est de marquer les atomes qui sont utilisés dans les réactions. Ainsi, si nous pouvons introduire dans le cycle un peu de gaz carbonique qui possède une « marque verte » sur lui, et mesurer après trois secondes où se trouve la marque verte, et le mesurer à nouveau après dix secondes, etc., nous pouvons suivre le cours des réactions. Que sont ces « marques vertes » ? Ce sont des isotopes différents. Nous rappelons que les propriétés chimiques des atomes sont déterminées par le nombre d’électrons, et non par la masse du noyau. Mais il peut y avoir, par exemple, dans le carbone, six neutrons ou sept neutrons ensemble, avec les dix protons que tous les noyaux de carbone possèdent. Chimiquement, les deux atomes C¹² et C¹³ sont les mêmes, mais ils différent en poids et ils ont des propriétés nucléaires différentes, ainsi on peut les distinguer. En utilisant ces isotopes de poids diffèrents, ou même des isotopes radioactifs tels que C¹⁴, qui fournissent un moyen plus sensible de suivre de très petites quantités, il est possible de suivre les réactions.

Retournons maintenant à la description des enzymes et des protéines. Toutes les protéines ne sont pas des enzymes, mais tous les enzymes sont des protéines. Il y a de nombreuses protéines, telles que les protéines dans les muscles, les protéines spécifiques qui se trouvent par exemple dans le cartilage, les cheveux, la peau, etc., qui ne sont pas elles-mêmes des enzymes. Cependant les protéines sont des substances très caractéristiques de la vie : d’abord elles forment tous les enzymes, et deuxièmement, elles forment la plupart du reste des matériaux vivants. Les protéines ont une structure très simple et très intéressante. Elles sont une série, ou chaîne, de différents acides aminés. Il y a vingt acides aminés différents, et tous peuvent se combiner les uns avec les autres pour former des chaînes dans lesquelles l’épine dorsale est CO-NH, etc. Les protéines ne sont rien d’autre que des chaînes des divers représentants de ces vingt acides aminés, chacun de ces acides aminés a probablement une fonction spéciale. Certains, par exemple, ont un atome de soufre en un certain endroit ; lorsque deux atomes de soufre se trouvent dans la même protéine, ils forment une liaison, c’est-à-dire qu’ils lient la chaîne ensemble en deux points et forment une boucle. Un autre possède des atomes d’oxygène en plus qui en font une substance acide, un autre a un caractère basique. Certains d’entre eux ont de grands groupes attachés à un côté, de telle sorte qu’ils occupent un grand volume. L’un des amino-acides, appelé proline, n’est pas réellement un acide aminé, mais un imino-acide. Il y a une légère différence, avec pour résultat que, lorsque la proline est dans une chaîne, il apparaît un coude dans cette chaîne. Si nous voulions fabriquer une protéine particulière, nous donnerions ces instructions : plaçons un de ces crochets soufre en cet endroit ; ensuite ajoutons quelque chose pour occuper de la place ; ensuite attachons quelque chose pour introduire un coude dans la chaîne. De cette manière, nous aurons une chaîne d’apparence compliquée d’un seul tenant et ayant une certaine structure complexe ; cela est probablement la manière selon laquelle tous les divers enzymes sont construits. Un des grands succès des temps récents (depuis 1960) fut de découvrir enfin l’arrangement atomique spatial exact de certaines protéines, qui comportent entre cinquante-six et soixante acides aminés consécutifs. Plus d’un millier d’atomes (plus exactement deux milliers, si nous comptons les atomes d’hydrogène) ont été localisés au sein d’une structure complexe pour deux protéines. La première étant l’hémoglobine. Malheureusement il faut bien dire au sujet de cette découverte, que nous ne distinguons rien de spécial dans cette structure ; nous ne comprenons pas pourquoi cela fonctionne de cette manière. Bien sûr, c’est ce problème-là qu’il faut maintenant entreprendre de résoudre.

Un autre problème est de connaître comment les enzymes savent ce qu’ils doivent être. Une mouche aux yeux rouges fabriquera un bébé mouche aux yeux rouges, et ainsi l’information nécessaire à la structure complète des enzymes pour faire du pigment rouge doit être passée d’une mouche à la suivante. Cela est réalisé grâce à une substance présente dans le noyau de la cellule, qui n’est pas une protéine, et qui est appelée ADN (abréviation pour acide désoxyribo-nucléique). C’est la substance clé qui est transférée d’une cellule à une autre (par exemple, les cellules de spermatozoïdes sont formées essentiellement d’ADN) et qui transporte l’information sur la manière de fabriquer les enzymes. L’ADN est la « matrice ». À quoi cette « matrice » ressemble-t-elle et comment fonctionne-t-elle ? D’abord la « matrice » doit être capable de se reproduire elle-même. Deuxièmement, elle doit être capable d’instruire la protéine. Nous pouvons penser que la reproduction a lieu comme une reproduction de cellules. Les cellules deviennent simplement plus grosses et puis se divisent en deux. Doit-il en être ainsi avec les molécules d’ADN, de telle sorte qu’elles grossiraient également et se diviseraient en deux ? Chaque atome ne peut certainement pas grossir et se diviser en deux ! Non, ce n’est pas possible de reproduire une molécule sans faire intervenir un procédé plus astucieux.

Fig. 3-2. Diagramme schématisé de l’ADN.

La structure de la substance ADN fut étudiée pendant longtemps, d’abord chimiquement pour en trouver la composition, et ensuite par les rayons X pour en trouver la structure dans l’espace. Le résultat fut la découverte remarquable suivante : la molécule d’ADN est un ensemble de deux chaînes enroulées l’une autour de l’autre. L’épine dorsale de chacune de ces chaînes, qui sont analogues aux chaînes de protéines, mais chimiquement assez différentes, est une série de sucres et de groupes phosphate, comme il est montré à la Fig. 3-2. Nous pouvons voir à présent comment la chaîne peut contenir des instructions, car si nous pouvions diviser cette chaîne en son milieu, nous trouverions une série B A A D C... et chaque objet vivant pourrait disposer d’une série différente. Ainsi il se peut que, d’une certaine manière, les instructions spécifiques pour la fabrication des protéines soient contenues dans les séries spécifiques d’ADN.

Certaines paires de liens transversaux sont attachées à chaque sucre sur chaque ligne et relient les deux chaînes. Cependant, ces liens ne sont pas tous du même type ; il y en a quatre sortes appelées adénine, thymine, cytosine et guanine, mais appelons-les A, B, C et D. La chose intéressante est que seules certaines paires peuvent se former, par exemple, A avec B et C avec D. Ces paires sont placées sur les deux chaînes d’une manière telle qu’elles « s’ajustent ensemble », et disposent d’une grande énergie d’interaction. Cependant, C ne s’ajuste pas avec A, et B ne s’ajuste pas avec C ; elles ne s’ajusteront que par paires A avec B et C avec D. De ce fait, si l’une est C, l’autre doit être B, etc. Quelles que puissent être les lettres sur une chaîne, chacune doit avoir sa lettre spécifique complémentaire sur l’autre chaîne.

Qu’en est-il alors de la reproduction ? Supposons que nous séparions cette chaîne en deux. Comment pouvons-nous en former une autre identique à la première ? Si dans la substance de la cellule, il y a un département de fabrication qui fournit du phosphate, du sucre et les unités A, B, C, D..., non liées sur une chaîne, les seules qui s’attacheront à notre demi-chaîne seront celles qui conviennent, les complémentaires de B A A D C..., à savoir A B B C D... Ainsi, ce qui se passe est que la chaîne se divise en son milieu, pendant la division cellulaire, une moitié se rend en définitive dans une cellule, l’autre moitié dans l’autre cellule ; après la séparation, une nouvelle chaîne complémentaire est formée par chaque demi-chaîne.

Vient ensuite la question de savoir précisément comment l’ordre des unités A, B, C et D détermine l’arrangement des acides aminés dans la protéin. C’est le problème central de la biologie moderne et il reste encore non résolu. Les premiers indices ou parcelles d’information sont cependant les suivantes :

il y a dans la cellule de minuscules particules appelées ribosomes, et on sait maintenant que c’est l’endroit où les protéines sont faites. Mais les ribosomes ne sont pas dans le noyau où se trouve l’ADN avec ses instructions. Il y a quelque chose qui ne va pas. Cependant, on sait également que de petites molécules s’échappent de l’ADN — pas aussi longues que la grande molécule d’ADN qui transporte elle-même toute l’information, mais semblables à une petite section de cette molécule. Elles sont appelées ARN, mais ce n’est pas là l’essentiel. C’est une sorte de copie de l’ADN, une copie abrégée. L’ARN qui, d’une certaine manière, transporte un message indiquant quel type de protéine il faut fabriquer, se rend jusqu’au ribosome ; cela est connu. Lorsqu’il y parvient, la protéine est synthétisée au niveau du ribosome. C’est également connu. Cependant, les détails de la manière dont les acides aminés pénètrent et sont arrangés en accord avec le code qui se trouve sur l’ARN, sont, pour le moment, encore inconnus. Nous ne savons pas comment le lire. Si nous connaissions, par exemple, un « agencement » tel que A, B, C, C, A, nous ne pourrions pas vous dire quelle protéine va être fabriquée.

Il n’y a certainement pas de sujet ou de domaine qui fasse, à l’heure actuelle, davantage de progrès sur autant de fronts que la biologie, et s’il fallait nommer l’hypothèse la plus puissante de toutes, celle qui nous guide perpétuellement dans notre tentative pour comprendre la vie, nous dirions que tous les objets sont formés d’atomes, et que tout ce que les objets vivants peuvent faire peut être compris à partir des mouvements d’agitation et de vibration des atomes.

3-4 Astronomie

Dans cette explication rapide du monde entier, nous devons maintenant considérer l’astronomie. L’astronomie est plus ancienne que la physique. En fait, c’est elle qui fit démarrer la physique en montrant la belle simplicité du mouvement des étoiles et des planètes dont la compréhension fut le commencement de la physique. Mais la plus remarquable découverte en astronomie est que les étoiles sont faites d’atomes du même type que ceux qui se trouvent sur la terre¹. Comment cela fut-il découvert ? Les atomes libèrent de la lumière qui possède des fréquences bien définies, quelque chose comme le timbre d’un instrument de musique qui a des tons ou des fréquences sonores définies. Lorsque nous écoutons plusieurs tons différents, nous pouvons les séparer, mais lorsque nous regardons de nos yeux un mélange de couleurs, nous ne pouvons dire les parties dont il est composé, parce que, en cette manière, l’œil est beaucoup moins adapté à cette analyse que l’oreille. Cependant, avec un spectroscope nous pouvons analyser les fréquences des ondes de lumière et, en ce sens, nous pouvons discerner la musique véritable des atomes qui se trouvent dans les différentes étoiles. En fait, deux des éléments chimiques furent découverts sur une étoile avant de l’être sur la terre. L’hélium fut découvert sur le soleil, d’où son nom, et le technetium fut découvert dans certaines étoiles froides. Cela, bien sûr, nous permet de faire des progrès dans la compréhension des étoiles, parce qu’elles sont faites du même type d’atomes qui se trouvent sur la terre. Nous connaissons maintenant beaucoup de choses sur les atomes, surtout en ce qui concerne leur comportement dans des conditions de températures élevées, en l’absence de très grandes densités, ce qui fait que nous pouvons analyser par la mécanique statistique le comportement de la matière stellaire. Bien que nous ne puissions reproduire les mêmes conditions sur la terre, à l’aide des lois physiques de base, nous pouvons dire souvent ce qui va se passer avec précision ou d’une manière très approchée. Ainsi la physique aide l’astronomie. Aussi étrange que cela puisse paraître, nous comprenons bien mieux la distribution de la matière à l’intérieur du soleil que nous ne la comprenons à l’intérieur de la terre. Ce qui se passe à l’intérieur d’une étoile est mieux compris qu’on ne pourrait s’y attendre en considérant la difficulté d’être obligé de regarder un petit point de lumière au travers d’un télescope, car nous pouvons calculer ce que les atomes dans les étoiles devraient faire dans la plupart des circonstances.

Une des découvertes les plus impressionnantes fut l’origine de l’énergie des étoiles, qui les fait continuer de brûler. Un des hommes qui découvrit cela était sorti la nuit suivante avec sa fiancée, la nuit qui suivait le moment où il réalisa que des réactions nucléaires doivent avoir lieu dans les étoiles afin qu’elles puissent briller. Elle dit : « Regarde comme c’est joli, toutes ces étoiles scintillantes ! » Il dit : « Oui, et à l’heure présente je suis le seul homme au monde qui sache pourquoi elles brillent. » Elle ne fit que rire de lui. Elle n’était pas impressionnée d’être sortie avec le seul homme qui savait alors pourquoi les étoiles brillaient. Eh bien ! il est triste d’être seul, mais c’est bien ainsi que cela se passe dans notre monde.

C’est la « combustion » nucléaire de l’hydrogène qui fournit l’énergie au soleil ; l’hydrogène est transformé en hélium. De plus, la fabrication, en dernier lieu, des divers éléments chimiques se poursuit dans les centres des étoiles à partir de l’hydrogène. La matière dont nous sommes faits fut « cuite » une fois dans une étoile, puis éjectée. Comment le savons-nous ? Parce qu’il y en a des indices. Les proportions des différents isotopes — combien de C¹², combien de C¹³, etc. ne changent jamais dans les réactions chimiques, car les réactions chimiques sont très exactement les mêmes pour les deux. Les proportions sont purement le résultat de réactions nucléaires. En regardant les proportions des isotopes dans la cendre morte et froide que nous sommes, nous pouvons découvrir à quoi ressemblait le fourneau dans lequel la matière dont nous sommes faits fut formée. Ce fourneau était semblable aux étoiles, et il est ainsi très probable que nos éléments furent « fabriqués » dans les étoiles et dispersés dans les explosions que nous appelons novae et super-novae. L’astronomie est si proche de la physique que nous étudierons plusieurs problèmes astronomiques au fur et à mesure que nous avancerons.

3-5 Géologie

Nous en venons maintenant à ce qu’on appelle les sciences de la terre ou la géologie. D’abord la météorologie et le temps. Bien sûr, les instruments de météorologie sont des instruments de physique, et le développement de la physique expérimentale rendit ces instruments possibles comme nous l’avons déjà expliqué. Cependant la théorie de la météorologie n’a jamais été élaborée d’une manière satisfaisante par le physicien. « Bien, direz-vous, il n’y a rien d’autre que de l’air, et nous connaissons les équations des mouvements de l’air. » Oui, c’est le cas. « Aussi, si nous connaissons aujourd’hui les conditions de l’air, pourquoi ne pouvons-nous pas prédire les conditions de l’air demain ? » Premièrement, nous ne connaissons pas réellement quelles sont les conditions d’aujourd’hui, parce que l’air tourbillonne et s’enroule partout. Il semble être très capricieux, et même instable. Si jamais vous avez regardé l’eau s’écouler, lisse, sur un barrage, et puis se transformer en éclaboussures et gouttelettes lorsqu’elle tombe, vous comprendrez ce que je veux dire par instable. Vous connaissez l’état de l’eau avant qu’elle ne passe sur le déversoir ; elle est parfaitement lisse ; mais au moment où elle commence à tomber, où commencent les gouttes ? Qu’est-ce qui détermine quelle taille auront les paquets d’eau et où seront-ils ? On n’en sait rien, parce que l’eau est instable. Même une masse d’air se déplaçant calmement et passant sur une montagne se transforme en de complexes tourbillons et remous. Dans de nombreux domaines nous trouvons cette situation de mouvement turbulent que nous ne savons pas analyser à l’heure actuelle. Quittons rapidement le sujet du temps pour aborder la géologie !

La question de base qui se pose à la géologie est de savoir ce qui fait que la terre est comme elle est. Les processus les plus évidents se manifestent à nos propres yeux, les processus d’érosion des rivières, des vents, etc. Il est assez facile de les comprendre, mais pour chaque petite quantité d’érosion, il y a une égale quantité de quelque chose d’autre qui se passe. Les montagnes ne sont pas plus basses en moyenne aujourd’hui qu’elles ne l’étaient dans le passé. Il doit y avoir des processus de formation des montagnes. Vous trouverez, si vous étudiez la géologie, qu’il y a des processus de formation de montagne et du volcanisme que personne ne comprend, mais c’est la moitié de la géologie. Le phénomène des volcans est encore réellement incompris. Ce qui provoque un tremblement de terre est en fin de compte incompris. On comprend que si quelque chose pousse quelque chose d’autre, cette chose se casse et va glisser — cela c’est clair. Mais qui pousse, et pourquoi ? La théorie dit qu’il y a des courants à l’intérieur de la terre — des courants qui circulent à cause de la différence de température entre l’intérieur et l’extérieur — des courants qui, dans leurs mouvements, poussent la surface légèrement. Ainsi, s’il y a deux circulations opposées proches l’une de l’autre, la matière va se rassembler dans la région où elles se rencontrent, et formera des ceintures de montagnes qui sont dans des conditions de tensions inconfortables et produisent ainsi des volcans et des tremblements de terre.

Qu’en est-il de l’intérieur de la terre ? On sait beaucoup de choses sur la vitesse des ondes de tremblements de terre au travers de la terre et la distribution de densité de la terre. Cependant les physiciens ont été incapables d’obtenir une bonne théorie de la densité que peut atteindre une substance à des pressions comme celles attendues au centre de la terre. En d’autres termes, nous ne pouvons pas très bien prédire les propriétés de la matière dans ces circonstances. Nous en savons beaucoup moins sur la terre que nous n’en savons sur les conditions de la matière dans les étoiles. Les mathématiques correspondantes semblent jusqu’à présent un peu trop compliquées, mais peut-être qu’il ne faudra plus tellement de temps avant que quelqu’un ne réalise que c’est un problème important, et le résolve réellement. L’autre aspect, bien sûr, est que même si nous connaissions la densité, nous ne pouvons en déduire les courants qui circulent. De même, nous ne pouvons réellement calculer les propriétés des roches à haute pression. Nous ne pouvons dire à quelle vitesse les roches doivent « céder » ; tout cela doit être déterminé expérimentalement.

3-6 Psychologie

Considérons maintenant la science de la psychologie. Incidemment la psychanalyse n’est pas une science ; c’est au mieux un procédé médical, peut-être même une médication de sorcière. Elle dispose d’une théorie selon laquelle des tas d’« esprits » différents causent la maladie, etc. Le sorcier pense théoriquement qu’une maladie telle que la malaria est causée par un esprit qui vient dans l’air ; elle n’est pas soignée en secouant sur elle un serpent, mais la quinine peut guérir la malaria. Donc, si vous êtes malade, je vous conseille d’aller voir le sorcier, car c’est l’homme dans la tribu qui en sait le plus sur la maladie ; d’un autre côté, sa connaissance n’est pas une science. La psychanalyse n’a pas été vérifiée soigneusement par l’expérience, et il n’y a pas moyen de trouver une liste du nombre des cas dans lesquels elle s’applique et du nombre des cas où elle ne s’applique pas, etc.

Les autres branches de la psychologie, qui comportent des choses telles que la physiologie de la sensation — ce qui se passe dans l’œil et ce qui se passe dans le cerveau — sont, si vous voulez, moins intéressantes. Cependant certains progrès faibles mais réels ont été réalisés en les étudiant. Un des problèmes techniques les plus profonds peut faire ou ne pas faire partie de la psychologie. Le problème central de l’esprit, n’est-ce pas, ou du système nerveux est celui-ci : lorsqu’un animal apprend quelque chose, il peut faire quelque chose de différent de ce qu’il pouvait faire précédemment, et les cellules de son cerveau doivent avoir également changé, si elles sont formées d’atomes. De quelle manière est-ce différent ? Nous ne savons pas où regarder, ou ce que nous devons chercher lorsque quelque chose est enregistré dans la mémoire. Nous ne savons pas ce que cela signifie, et quel changement se produit dans le système nerveux lorsqu’un fait est appris. C’est un problème très important qui n’a pas du tout encore été résolu. Supposons cependant qu’il existe un certain type d’objet à mémoire, le cerveau est une masse si énorme de fils interconnectés et de nerfs, que probablement on ne peut pas analyser cela d’une manière directe. On trouve un système analogue dans les machines à calculer et les éléments de ces machines, en ceci qu’ils ont une grande quantité de lignes, et qu’ils ont certains types d’éléments analogues, peut-être, a la synapse, ou à une relation d’un nerf à l’autre. Cela est un sujet très intéressant, que nous n’avons pas le temps de discuter plus avant — les relations entre la pensée et les machines à calculer. On doit remarquer, bien sûr, que ce sujet ne nous dira que très peu sur la complexité du comportement humain ordinaire. Tous les êtres humains sont si différents. Il faudra encore longtemps avant qu’on en soit là. Nous devons partir de beaucoup plus loin. Si nous pouvions simplement prédire comment un chien fonctionne, nous serions déjà parvenus extrêmement loin. Les chiens sont plus faciles à comprendre, mais personne aujourd’hui ne sait comment fonctionne un chien.

3-7 Comment en est-on arrivé là ?

Afin que la physique puisse être utile aux autres sciences d’une manière théorique, et autrement que par l’invention d’instruments, la science en question doit fournir à la physique une description de l’objet dans un langage physique. Elles peuvent demander « pourquoi une grenouille saute-t-elle ? », et le physicien ne peut pas répondre. Si elles lui disent ce qu’est une grenouille, qu’il y a tant de molécules, qu’il y a un nerf à cet endroit, etc., c’est différent. Si elles nous disent plus ou moins ce à quoi ressemblent la terre et les étoiles, alors nous pouvons leur répondre. Pour qu’une théorie physique soit de quelque utilité, nous devons savoir où les atomes sont situés. Afin de comprendre la chimie, nous devons savoir exactement quel atome est présent, sans cela nous ne pouvons pas l’analyser. Ce n’est qu’une des limitations bien sûr.

Un autre type de problème dans les sciences sœurs n’existe pas en physique ; nous pouvons l’appeler, à défaut d’un meilleur terme, la question historique. Comment en est-on arrivé là ? Si nous comprenons tout en biologie, nous voudrions savoir comment les choses qui sont là, sur la terre, y sont arrivées. Il y a la théorie de l’évolution, une partie importante de la biologie. En géologie, nous voulons savoir non seulement comment les montagnes se forment, mais aussi comment la terre entière fut formée au début, l’origine du système solaire, etc. Cela, bien sûr, nous pousse à découvrir quel type de matière il y avait dans le monde. Comment les étoiles ont-elles évolué ? Quelles étaient les conditions initiales ? C’est là le problème de l’histoire astronomique. On sait déjà beaucoup de choses sur la formation des étoiles, la formation des éléments dont nous sommes faits, et même un petit peu sur l’origine de l’univers.

Il n’y a pas de question historique à l’étude en physique à l’heure actuelle. Nous ne nous posons pas cette question : « Voici les lois de la physique, comment en est-on arrivé là ? » Nous n’imaginons pas, en ce moment, que les lois de la physique sont de quelque manière en train de changer avec le temps, qu’elles étaient différentes dans le passé de ce qu’elles sont maintenant. Bien sûr elles peuvent l’être, et au moment où nous trouverons qu’elles le sont, la question historique de la physique viendra se confondre avec le reste de l’histoire de l’univers et les physiciens alors parleront des mêmes problèmes que les astronomes, les géologues, et les biologistes.

Il y a finalement un problème physique très ancien commun à de nombreux domaines, et qui n’a pas été résolu. Le problème n’est pas de trouver de nouvelles particules fondamentales, mais quelque chose qui a été délaissé depuis longtemps déjà — plus d’une centaine d’années. Personne en physique n’a réellement été capable de l’analyser mathématiquement d’une manière satisfaisante, malgré son importance pour les sciences sœurs. C’est l’analyse de la circulation des fluides turbulents. Si nous regardons l’évolution d’une étoile, il arrive un point où nous pouvons déduire que la convection va commencer, et après nous ne pouvons plus rien dire de ce qu’il adviendra. Quelques millions d’années plus tard, l’étoile explose, mais nous ne pouvons pas en donner la raison. Nous ne pouvons pas analyser le temps. Nous ne connaissons pas les structures des mouvements à l’intérieur de la terre. La forme la plus simple du problème est de prendre un très long tuyau, de pousser de l’eau à grande vitesse au travers de ce tuyau. Nous demandons : quelle pression est nécessaire pour pousser une quantité donnée d’eau au travers de ce tuyau ? Personne ne peut l’analyser à partir des principes de base et des propriétés de l’eau. Si l’eau s’écoule très lentement, ou si nous utilisons un fluide épais tel que du miel, alors nous pouvons le résoudre facilement. Vous trouverez ça dans vos manuels. Ce que nous ne savons pas faire, c’est travailler avec de l’eau réelle, mouillée, traversant le tuyau. C’est le problème central que nous devons résoudre un jour, et nous ne l’avons pas encore fait.

Un poète disait une fois : « Tout l’univers est dans un verre de vin. » Vous ne saurez probablement jamais quel sens il attribuait à ces paroles, car les poètes n’écrivent pas pour être compris. Mais il est vrai que si vous regardez un verre de vin de suffisamment près, vous découvrez l’univers entier. Il y a des phénomènes physiques : le liquide tourbillonnant, qui s’évapore selon les vents et le temps, les réflexions dans le verre, et notre imagination ajoute les atomes. Le verre est une distillation des roches terrestres et dans sa composition nous découvrons les secrets de l’âge de l’univers et de l’évolution des étoiles. Quel étonnant tableau d’éléments chimiques trouve-t-on dans le vin ? Comment sont-ils venus là ? Il y a les ferments, les enzymes, les substrats, et les produits. Ainsi dans le vin on trouve cette importante généralité : toute la vie est fermentation. Personne ne peut découvrir la chimie du vin sans découvrir, comme le fit Louis Pasteur, la cause de la plupart des maladies. Combien vivifiant est ce vin, imprimant son existence dans la conscience de celui qui le regarde ! Si nos petits esprits, pour certaines commodités, divisent ce verre de vin, cet univers, en parties — la physique, la biologie, la géologie, l’astronomie, la psychologie, etc. —, souvenez-vous que la nature ne connaît pas cela ! Aussi remettons tout ensemble, n’oubliant pas en fin de compte sa destination. Qu’il nous donne un dernier plaisir : buvons-le et oublions tout le reste.

1. À quelle vitesse je traverse tout cela ! Que d’informations sont contenues dans chaque phrase de cette brève histoire. « Les étoiles sont faites des mêmes atomes que la terre. » D’habitude, je choisis un petit sujet tel que celui-ci comme thème d’un cours. Les poètes disent que la science ternit quelque peu la beauté des étoiles — de simples amas d’atomes de gaz. Rien n’est « simple ». Je peux, moi aussi, voir les étoiles la nuit dans le désert, et en éprouver une sensation. Mais en vois-je moins ou plus ? L’immense voûte céleste exalte mon imagination — fixé sur ce carrousel mon petit œil peut saisir de la lumière vieille d’un million d’années. Une vaste structure — dont je suis une part — peut-être même la matière dont je suis fait, fut issue de certaines étoiles oubliées comme celle qui est en train de rayonner là. Ou bien, regardons-les avec le grand œil de Palomar, s’éloignant toutes rapidement d’un certain point de départ commun où elles se trouvaient peut-être toutes rassemblées. Quelle est la structure, ou la signification, ou le pourquoi ? Cela ne fait point de mal au mystère d’en connaître un petit peu sur lui. Car la vérité est bien plus merveilleuse que ce que les artistes ont pu imaginer dans le passé ! Pourquoi les poètes du présent n’en parlent-ils pas ? Quels hommes sont ces poètes qui peuvent parler de Jupiter lorsqu’il prenait la forme d’un homme, mais qui se taisent si c’est une immense sphère de méthane et d’ammoniaque en rotation ?

Chapitre 4

Conservation de l’énergie

4-1 Qu’est-ce que l’énergie

Dans ce chapitre, nous commençons notre étude plus détaillée de différents aspects de la physique, ayant terminé notre description des choses en général. Afin d’illustrer les idées et les types de raisonnement qui peuvent être utilisés en physique théorique, nous allons maintenant examiner l’une des lois les plus fondamentales de la physique, la conservation de l’énergie.

C’est un fait, ou si vous voulez une loi, qui gouverne tous les phénomènes naturels connus à ce jour. Il n’y a pas d’exception connue à cette loi — elle est exacte pour autant que nous sachions. La loi est appelée conservation de l’énergie. Elle affirme qu’il y a une certaine quantité que nous appelons énergie, qui ne change pas dans les multiples modifications que peut subir la nature. C’est une idée très abstraite, car c’est un principe mathématique ; ce principe dit qu’il existe une quantité numérique, qui ne change pas, lorsque quelque chose se passe. Ce n’est pas la description d’un mécanisme, ou de quoi que ce soit de concret ; c’est simplement ce fait étrange que nous puissions calculer un certain nombre et que, lorsque nous avons terminé d’observer l’évolution de la nature et que nous recalculons ce nombre, il soit le même. (Un peu comme ce fou sur un carré blanc qui, après un certain nombre de mouvements — aux détails inconnus — est toujours sur un carré blanc. C’est une loi de cette nature.) Puisque c’est une idée abstraite, nous illustrerons sa signification par une analogie.

Imaginons un enfant, par exemple « Denis la Menace », qui possède des cubes absolument indestructibles, et qui ne peuvent pas être divisés en morceaux. Tous les cubes sont identiques. Supposons qu’il ait 28 cubes. Sa mère le met dans une chambre au début de la journée avec ses 28 cubes. À la fin de la journée, étant curieuse, elle compte les cubes avec attention et découvre une loi phénoménale — quoi qu’il fasse avec ses cubes, il en reste toujours 28 ! Cela se répète plusieurs jours durant, jusqu’au jour où il n’y a que 27 cubes, mais un peu de recherche montre qu’il y en a un sous le tapis — elle doit regarder partout pour s’assurer que le nombre de cubes n’a pas changé. Un jour, cependant, le nombre semble changer — il n’y a que 26 cubes. Une recherche attentive montre que la fenêtre était ouverte, et en regardant dehors, elle retrouve les deux autres cubes. Un autre jour, un compte précis indique qu’il y en a 30 ! Cela lui causa une consternation considérable, jusqu’au moment où elle réalisa que Bruce était venu en visite, amenant ses cubes avec lui, et qu’il en laissa quelques-uns à la maison de Denis. Après s’être débarassée de ces cubes supplémentaires, elle ferme la fenêtre, ne laisse pas rentrer Bruce et tout, alors, se passe bien, jusqu’au moment où recomptant elle ne trouve que 25 cubes. Néanmoins, il y a une boîte dans la chambre, une boîte de jouets, et la mère essaye d’ouvrir la boîte, mais le garçon dit : « Non, n’ouvre pas la boîte à jouets », et se met à crier. La mère n’a pas le droit d’ouvrir la boîte à jouets. Étant extrêmement curieuse et quelque peu ingénieuse, elle invente un stratagème ! Elle sait qu’un cube pèse cent grammes, aussi pèse-t-elle la boîte au moment où elle voit 28 cubes, et elle trouve 500 grammes. À la vérification suivante, elle repèse la boîte, soustrait 500 grammes et divise par 100. Elle découvre la chose suivante :

Puis de nouvelles déviations apparaissent, mais une étude précise indique que le niveau de l’eau sale de la baignoire s’est modifié. L’enfant jette les cubes dans l’eau, et elle ne peut les voir parce que cette eau est trop sale, mais elle peut savoir combien de cubes se trouvent dans l’eau, en ajoutant un autre terme à sa formule. Puisque la hauteur initiale de l’eau était de 15 centimètres, et que chaque cube élève le niveau d’un demi-centimètre, cette nouvelle formule sera :

Dans l’augmentation progressive de la complexité de son univers, elle trouve toute une série de termes représentant des manières de calculer combien de cubes se trouvent dans des endroits où il ne lui est pas permis de regarder. En conclusion, dans son cas, elle trouve une formule complexe, une quantité qui doit être calculée, et qui reste toujours la même.

Quelle est l’analogie entre cela et la conservation de l’énergie ? L’aspect le plus remarquable qui doit être écarté de ce schéma est qu’il n’y a pas de cubes. Éliminez les premiers termes dans (4-1) et (4-2) et vous allez découvrir que vous calculez des choses plus ou moins abstraites. L’analogie est réalisée sur les points suivants. D’abord, lorsque nous calculons l’énergie, une certaine quantité de cette énergie quitte quelquefois le système et s’en va, ou d’autres fois un peu d’énergie rentre dans le système. Afin de vérifier la conservation de l’énergie, nous devons avoir soin de ne pas en ajouter ni en enlever. Ensuite, l’énergie apparaît sous un très grand nombre de formes différentes, et il existe une formule pour chacune. Ce sont : l’énergie gravitationnelle, l’énergie cinétique, l’énergie thermique, l’énergie élastique, l’énergie électrique, l’énergie chimique, l’énergie de rayonnement, l’énergie nucléaire, l’énergie de masse. Si nous additionnons les formules pour chacune de ces contributions, il n’y aura pas de changement à l’exception de l’énergie qui rentre et qui sort.

Il est important de réaliser que dans la physique d’aujourd’hui, nous n’avons aucune connaissance de ce qu’est l’énergie. Nous n’avons pas de représentation comme quoi l’énergie viendrait en petits paquets d’une certaine quantité. Ce n’est pas ainsi. Cependant des formules permettent de calculer une certaine quantité numérique et lorsque nous les ajoutons toutes ensemble, cela donne « 28 » — toujours le même nombre. C’est une chose abstraite en cela qu’elle ne nous donne pas le mécanisme ou les raisons des diverses formules.

4-2 Énergie potentielle gravitationnelle

La conservation de l’énergie ne peut être comprise que si nous avons la formule pour toutes ses formes. Je voudrais discuter la formule de l’énergie gravitationnelle aux environs de la surface de la Terre et je voudrais établir cette formule d’une manière qui n’a rien à voir avec sa déduction historique, mais qui est simplement une méthode de raisonnement inventée pour cette leçon particulière, afin de vous illustrer ce fait remarquable qu’une grande quantité d’informations sur la nature peut être obtenue à partir de faits peu nombreux et d’un raisonnement serré. C’est une illustration du type de travail que les physiciens théoriciens ont l’habitude de réaliser. Cette dérivation est menée d’après une très excellente idée de M. Carnot sur le rendement des machines à vapeur¹.

Considérons des machines à soulever des poids — des machines qui ont la propriété de soulever un poids en abaissant un autre. Faisons également une hypothèse : qu’avec ces machines à soulever des poids, il n’y ait pas possibilité d’avoir un mouvement perpétuel. (En fait qu’il n’y ait pas du tout de mouvement perpétuel est un énoncé général de la loi de la conservation de l’énergie.) Nous devons être attentifs en définissant le mouvement perpétuel. Essayons de le faire tout d’abord pour des machines à soulever des poids. Si, lorsque nous avons soulevé et abaissé un certain nombre de poids et ramené la machine à sa situation initiale, nous trouvons que le résultat total est d’avoir levé un poids, alors nous avons une machine à mouvement perpétuel, car nous pouvons utiliser ce poids soulevé pour faire fonctionner quelque chose d’autre. C’est dire qu’il faut que la machine soit ramenée à sa situation initiale exacte, et de plus qu’elle soit un système complètement clos — quelle n’ait pas reçu de l’énergie pour soulever ce poids d’une certaine source extérieure — comme les cubes de Bruce.

Fig. 4-1. Une machine simple à soulever des poids.

Une machine de ce genre, extrêmement simple, est montrée à la Fig. 4-1. Cette machine soulève des poids « forts » de trois unités. Nous plaçons trois unités sur un des plateaux, et une unité sur l’autre. Cependant, afin de la faire effectivement fonctionner, nous devons retirer un tout petit poids du plateau de gauche. Par ailleurs, nous pouvons soulever un poids d’une unité en abaissant le poids de trois unités, si nous trichons un peu en enlevant un petit peu de poids de l’autre plateau. Bien sûr, nous réalisons qu’avec toute machine réelle nous devons ajouter une certaine quantité en plus pour la faire fonctionner. Cela nous l’oublions temporairement. Les machines idéales, bien qu’elles n’existent pas, ne nécessitent rien en plus. Une machine que nous utilisons effectivement peut être, en un sens, presque réversible : c’est-à-dire, si elle soulève un poids de trois, en abaissant un poids de un, alors elle soulèvera un poids très voisin de un de la même quantité en abaissant le poids de trois.

Nous imaginons qu’il existe deux catégories de machines, celles qui ne sont pas réversibles, parmi lesquelles se trouvent toutes les machines réelles, et celles qui sont réversibles, et que bien sûr on ne peut pas réellement réaliser, quelle que soit notre précaution dans la conception du coussinet, des leviers, etc. Nous supposons cependant qu’il existe un tel objet — une machine réversible — qui abaisse une unité de poids (un kilo ou toute autre unité) d’une unité de distance, et en même temps soulève trois unités de poids. Appelons cette machine réversible, la Machine A. Supposons que cette machine réversible particulière soulève le poids de trois unités d’une distance X. Supposons alors que nous ayons une autre machine, la Machine B, qui n’est pas nécessairement réversible, et qui abaisse également une unité de poids d’une unité de distance, mais qui soulève trois unités d’une distance Y. Nous pouvons prouver que Y n’est pas plus grand que X , c’est-à-dire qu’il est impossible de construire une machine qui soulèvera un poids d’une hauteur plus élevée que celle à laquelle il sera soulevé par une machine réversible. Voyons pourquoi. Supposons que Y soit plus grand que X. Nous prenons un poids d’une unité, et nous l’abaissons d’une unité de hauteur avec la Machine B, et celle-ci soulève le poids de trois unités d’une hauteur Y. Alors nous pouvons descendre le poids de Y à X, produisant de l’énergie disponible, puis nous utilisons la Machine réversible A en sens inverse pour abaisser le poids de trois unités sur une distance X et lever le poids d’une unité, d’une unité de hauteur. Cela ramènera le poids d’une unité à sa position initiale, et laissera les deux machines prêtes à être utilisées à nouveau ! Si Y est plus grand que X, nous aurions donc un mouvement perpétuel, ce que nous avons supposé impossible. Avec ces hypothèses, nous avons donc déduit que Y n’est pas plus grand que X, de telle sorte que de toutes les machines qui peuvent être envisagées, la machine réversible est la meilleure.

Nous pouvons voir également que toutes les machines réversibles doivent soulever exactement à la même hauteur. Supposons que B soit également réversible. La démonstration que Y n’est pas plus grand que X reste toujours aussi valable, mais nous pouvons également retourner cette démonstration utilisant les machines dans l’ordre opposé, et prouver que X n’est pas plus grand que Y. Cela est une observation très remarquable, car elle nous permet de déterminer la hauteur à laquelle différentes machines vont soulever quelque chose sans considérer le mécanisme intérieur. Nous savons d’emblée que si quelqu’un construit un ensemble extrêmement élaboré de leviers qui soulèvent trois unités sur une certaine distance en abaissant une unité d’une unité de distance, et que nous le comparons avec un simple levier qui fait la même chose, et qui est fondamentalement réversible, son instrument ne soulèvera pas plus haut, peut-être même moins haut. Si sa machine est réversible, nous savons également exactement à quelle hauteur elle soulèvera. Pour résumer : toute machine réversible, quel que soit son mode opératoire, qui fait descendre un kilo d’un mètre et soulève un poids de trois kilos, le soulève toujours de la même distance, X. Cela est clairement une loi universelle de très grande utilité. La question suivante est, bien sûr : que vaut X ?

Supposons que nous ayons une machine réversible qui va soulever trois pour un à cette hauteur X. Nous mettons trois balles sur des étagères fixes, comme il est indiqué à la Fig. 4-2. Une autre balle est placée sur un plateau à une distance de un mètre au-dessus du sol. La machine peut soulever trois balles, et en baisser une d’une distance unité. Maintenant, nous nous sommes arrangés de telle sorte que la plate-forme mobile qui peut porter les trois balles possède un plancher et deux étagères, distants exactement de X, et de plus, que les étagères qui contiennent les balles au départ soient écartées de la distance X, (a). D’abord nous faisons rouler les balles horizontalement des étagères vers les cases mobiles, (b), et nous supposons que cela ne prend pas d’énergie car nous ne modifions pas la hauteur. La machine réversible fonctionne alors : elle descend la balle unique jusqu’en bas, et elle soulève les cases d’une distance X, (c). Mais nous avons astucieusement construit les étagères de telle sorte que les balles sont à nouveau de plain-pied avec les cases. Alors nous déchargeons les balles vers les étagères, (d) ; ayant déchargé les balles, nous pouvons ramener la machine à son état initial. Nous avons maintenant trois balles sur les trois étagères supérieures et une tout en bas. Mais ce qui est étrange c’est que, pour ainsi dire, nous n’en avons pas soulevé deux du tout, car, après tout, il y avait déjà une balle sur chaque étagère 2 et 3. L’effet résultant a été de soulever une balle d’une distance de 3 X. Si maintenant 3 X est plus grand qu’un mètre, alors nous pouvons abaisser la balle pour ramener la machine dans sa condition initiale (f), et nous pouvons faire fonctionner l’appareil à nouveau. Ainsi 3 X ne peut pas excéder un mètre, car si 3 X dépasse un mètre, nous pouvons réaliser un mouvement perpétuel. De même, nous pouvons montrer qu’un mètre ne peut pas dépasser 3 X, en faisant fonctionner la machine en sens inverse, puisque c’est une machine réversible. 3 X n’est donc ni plus grand ni plus petit qu’un mètre et nous découvrons alors, uniquement par le raisonnement, la loi selon laquelle de mètre. La généralisation est claire : un kilo tombe d’une certaine distance en faisant fonctionner une machine réversible ; la machine peut alors soulever p kilos de cette distance divisée par p. Une autre manière d’énoncer le résultat est de dire que trois kilos multipliés par la hauteur soulevée, qui dans notre problème est X, est égal à un kilo multiplié par la distance abaissée, qui dans ce cas est un mètre. Si nous prenons tous les poids et les multiplions par les hauteurs auxquelles ils se trouvent maintenant au-dessus du plancher, laissons la machine agir et multiplions tous les poids par toutes les nouvelles hauteurs, il n’y aura pas de modification. (Nous devons généraliser l’exemple où nous avons déplacé un seul poids au cas où lorsque nous en abaissons un, nous en soulevons plusieurs différents — mais cela est facile.)

Fig. 4-2. Une machine réversible.

Nous appelons la somme des poids que multiplient les hauteurs, l’énergie potentielle gravitationnelle — l’énergie qu’un objet possède à cause de sa situation dans l’espace par rapport à la terre. La formule de l’énergie gravitationnelle, aussi longtemps que nous ne sommes pas trop éloignés de la terre (les forces diminuent lorsque nous nous élevons) est alors

C’est une très belle suite de raisonnements. Le seul problème est que ce n’est peut-être pas correct. (Après tout, la nature n’est pas obligée de nous suivre dans nos raisonnements.) Le mouvement perpétuel, par exemple, est peut-être possible. Certaines des hypothèses peuvent être fausses, ou nous avons pu faire une erreur dans le raisonnement, aussi faut-il toujours vérifier. En fait, il apparaît expérimentalement que c’est juste.

Le nom général de l’énergie qui est liée à la position d’un objet relativement à quelque chose d’autre, est énergie potentielle. Dans ce cas particulier bien sûr, nous l’appelons énergie potentielle gravitationnelle. Si c’est une question de forces électriques contre lesquelles nous travaillons, au lieu de forces de gravitation, si nous « soulevons » des charges, les écartant d’autres charges avec de nombreux leviers, le contenu de l’énergie est alors appelé énergie potentielle électrique. Le principe général est que le changement d’énergie est égal à la force que multiplie la distance sur laquelle la force est appliquée, et que cela est une modification de l’énergie en général :

Nous reviendrons à plusieurs de ces autres types d’énergie au fur et à mesure de notre cours.

Fig. 4-3. Plan incliné.

Le principe de la conservation de l’énergie est très utile pour déduire ce qui peut se passer dans de nombreuses circonstances. Au lycée nous avons appris de nombreuses lois sur les poulies et leviers utilisés de différentes manières. Nous pouvons maintenant voir que ces « lois » sont toutes la même chose, et que nous n’avions pas besoin de nous souvenir de 75 règles pour trouver le résultat. Un exemple simple est celui d’un plan incliné qui est, heureusement, un triangle trois-quatre-cinq (Fig. 4-3). Nous suspendons un poids d’un kilo sur le plan incliné avec une poulie, et sur l’autre côté de la poulie un poids W. Nous voulons savoir quel doit être le poids de W pour équilibrer le kilo sur le plan. Comment pouvons-nous prédire cela ? Si nous disons que l’équilibre est réalisé, que c’est réversible et que les poids peuvent donc se déplacer vers le haut ou vers le bas, nous pouvons considérer la situation suivante. Dans la situation initiale, (a), le poids d’un kilo est en bas et le poids W est en haut. Lorsque W est descendu d’une manière réversible, nous avons un poids d’un kilo au sommet et le poids W à une distance égale à la distance en biais, (b), ou cinq mètres, du plan où il était auparavant. Nous avons soulevé le poids d’un kilo de trois mètres seulement et nous avons baissé le poids W de cinq mètres. Ainsi d’un kilo. Remarquez que nous avons déduit ceci de la conservation de l’énergie, et non des composantes de force. L’astuce cependant est toute relative. On peut résoudre ce problème d’une manière encore plus brillante, découverte par Stevin et inscrite sur sa pierre tombale. La Fig. 4-4 explique que ce doit être  d’un kilo, car la chaîne ne tourne pas. Il est évident que la partie la plus basse de la chaîne est d’elle-même équilibrée, de telle sorte que la poussée des cinq poids sur un des côtés doit équilibrer la poussée des trois poids sur l’autre, et le raisonnement serait identique pour tout autre rapport de côtés. Vous voyez, en regardant ce diagramme, que W doit être 35 d’un kilo. (Si on place une épitaphe comme celle-ci sur votre pierre tombale, c’est que vous êtes doué.)

Fig. 4-4. Épitaphe de Stevinus.

Illustrons maintenant le principe de l’énergie avec un problème plus compliqué, le problème du vérin montré à la Fig. 4-5. Une poignée de 50 centimètres de long est utilisée pour tourner la vis, qui possède 4 pas par centimètre. Nous voudrions savoir quelle force doit être appliquée à la poignée pour soulever une tonne (1 000 kg). Si nous voulons soulever la tonne de 2,5 cm par exemple, nous devons tourner la poignée environ dix fois. Lorsqu’elle fait un tour, elle parcourt approximativement 314 centimètres. La poignée doit donc parcourir 3 140 centimètres, et si nous avions utilisé de nombreuses poulies, etc., nous aurions soulevé notre tonne avec un poids W inconnu plus faible appliqué à l’extrémité de la poignée. Ainsi nous trouvons que W est environ 0,8 kg. Cela est un résultat de la conservation de l’énergie.

Fig. 4-5. Un vérin.

Prenons maintenant l’exemple quelque peu plus compliqué indiqué à la Fig. 4-6. Un barreau ou une barre de 2,4 m de long est supporté à une extrémité. Au milieu de la barre se trouve un poids de 30 kg, et à une distance de 0,6 m du support, il y a un poids de 50 kg. Avec quelle force devons-nous soulever l’extrémité de la barre afin qu’elle soit en équilibre, négligeant le poids de la barre elle-même ? Supposons que nous placions une poulie à une extrémité, et que nous accrochions un poids à la poulie. Quelle devrait être la grandeur de W pour réaliser l’équilibre ? Nous imaginons que le poids tombe de n’importe quelle distance arbitraire — pour nous faciliter la tâche, supposons qu’il descend de 10 cm —, de quelle hauteur les deux charges sont-elles soulevées ? Celle du centre s’élève de 5 cm, et le poids au quart de la longueur totale de l’extrémité fixe se soulèvera de 2,5 cm. Le principe que la somme des produits des hauteurs par les poids ne change pas nous indique alors que le poids W multiplié par 10 cm vers le bas, plus 30 kg que multiplie 5 cm vers le haut, plus 50 kg que multiplie 2,5 cm doit donner une somme totale nulle :

Ainsi nous devons prendre un poids de 27,5 kg pour équilibrer le barreau. De cette manière, nous pouvons trouver les lois de « l’équilibre » — la statique d’arrangements en ponts compliqués, etc. Cette approche est appelée le principe des travaux virtuels, car pour appliquer ce raisonnement nous avons dû imaginer que la structure se déplace un petit peu — même si elle ne se déplace pas réellement ou même si elle ne peut pas être déplacée. Nous utilisons un très petit mouvement imaginaire pour appliquer le principe de la conservation de l’énergie.

Fig. 4-6. Barreau chargé supporté à une extrémité.

4-3 Énergie cinétique

Afin d’illustrer un autre type d’énergie, nous considérons un pendule (Fig. 4-7). Si nous l’écartons en tirant et lâchons, la masse oscillera. Dans son mouvement elle perd de la hauteur en allant de l’une ou l’autre extrémité vers le centre. Où va l’énergie potentielle ? L’énergie gravitationnelle disparaît lorsqu’elle est en bas ; néanmoins, la masse va de nouveau remonter. L’énergie gravitationnelle doit avoir pris une autre forme. C’est évidemment par l’effet de son mouvement qu’elle est à nouveau en mesure de monter, ainsi nous avons conversion de l’énergie gravitationnelle en une autre forme lorsque le pendule atteint le bas.

Fig. 4-7. Pendule.

Nous devons trouver une formule pour l’énergie du mouvement. Nous rappelant nos raisonnements sur les machines réversibles, nous pouvons facilement voir que dans le mouvement de la masse au point le plus bas, il doit y avoir une quantité d’énergie qui lui permet de monter à une certaine hauteur, et qui n’a rien à voir avec le mécanisme par lequel elle va monter, ou la trajectoire qu’elle suivra. Nous avons ainsi une formule d’équivalence, quelque chose comme celle que nous avions écrite pour les cubes de l’enfant. Nous disposons d’une autre forme pour représenter l’énergie. Il est facile de dire ce que c’est. L’énergie cinétique en bas est égale au poids que multiplie la hauteur à laquelle il peut aller, selon la valeur de sa vitesse : E.C. = WH. Nous avons besoin de la formule qui nous dit la hauteur, par une certaine loi qui s’exprime en fonction du mouvement des objets. Si nous lançons quelque chose à une certaine vitesse, par exemple droit vers le haut, il atteindra une certaine hauteur ; nous ne savons pas laquelle pour le moment mais cela dépend de la vitesse — il y a une formule pour cela. Alors pour trouver la formule de l’énergie cinétique d’un objet se déplaçant à la vitesse V, nous devons calculer la hauteur qu’il peut atteindre, et multiplier par le poids. Nous trouverons bientôt que nous pouvons l’écrire de cette manière :

Bien sûr, le fait que le mouvement possède de l’énergie n’a rien à voir avec le fait que nous sommes dans un champ gravitationnel. Quelle que soit l’origine du mouvement, cela ne fait pas de différence. C’est une formule générale valable pour toutes les vitesses. (4.3) et (4.6) sont toutes deux des formules approchées ; la première parce qu’elle est incorrecte lorsque les hauteurs sont grandes, c’est-à-dire lorsque les hauteurs sont si élevées que la gravitation s’affaiblit ; la deuxième parce qu’il doit y avoir une correction relativiste aux grandes vitesses. Cependant, lorsqu’en définitive nous aurons obtenu la formule exacte de l’énergie, la loi de conservation de l’énergie sera alors correcte.

4-4 Autres formes de l’énergie

Nous pouvons ainsi continuer d’illustrer l’existence de l’énergie sous d’autres formes. Considérons d’abord l’énergie élastique. Si nous tirons un ressort vers le bas, nous devons effectuer du travail, car lorsque cela est réalisé, nous pouvons soulever des poids avec le ressort. Ainsi, lorsqu’il est allongé, il a la possibilité de faire un certain travail. Si nous voulions évaluer les sommes des poids que multiplient les hauteurs, nous ne vérifierions pas la loi — nous devons ajouter quelque chose d’autre pour tenir compte du fait que le ressort est sous tension. L’énergie élastique est cette formule pour un ressort lorsqu’il est tendu. Quelle quantité d’énergie cela fait-il ? Si nous laissons partir le ressort, l’énergie élastique est convertie en énergie cinétique, lorsque celui-ci passe à son point d’équilibre, et on assiste à un va-et vient entre la compression et l’extension du ressort et l’énergie cinétique du mouvement. (Il y a aussi de l’énergie gravitationnelle entrant et sortant, mais nous pouvons réaliser cette expérience « de côté » si nous préférons.) Il continue ainsi jusqu’au moment du freinage par pertes. — Ah ! nous avons triché tout au long en mettant des petits poids pour déplacer les objets ou en disant que les machines sont réversibles, ou qu’elles fonctionnent pour toujours, mais nous pouvons voir qu’elles s’arrêtent bien, finalement. Où se trouve l’énergie lorsque le ressort a terminé son mouvement de va-et-vient vertical ? Cela introduit une nouvelle forme de l’énergie : l’énergie thermique.

À l’intérieur d’un ressort ou d’un levier, il y a des cristaux qui sont constitués d’un très grand nombre d’atomes, et avec un grand soin et une grande délicatesse dans l’arrangement des différentes parties, on peut essayer d’ajuster les objets de telle sorte que lorsque quelque chose roule sur quelque chose d’autre, aucun des atomes ne s’agite. Mais on doit prendre grand soin. Habituellement, lorsque les objets roulent, c’est chaotique et agité à cause des irrégularités du matériau et les atomes à l’intérieur se mettent à remuer. Nous perdons ainsi la trace de cette énergie ; nous trouvons que les atomes s’agitent à l’intérieur d’une manière aléatoire et confuse après que le mouvement s’est ralenti. Nous rêvons ! Comment savons-nous que c’est encore de l’énergie cinétique ? Il apparaît qu’avec un thermomètre vous pouvez trouver, en fait, que le ressort ou le levier est plus chaud, et qu’il y a réellement augmentation de l’énergie cinétique d’une certaine quantité. Nous appelons cette forme d’énergie, l’énergie thermique, mais nous savons que ce n’est pas vraiment une nouvelle forme, c’est simplement de l’énergie cinétique d’un mouvement interne. (Une des difficultés dans toutes ces expériences avec de la matière, que nous réalisons sur une grande échelle, est que nous ne pouvons réellement démontrer la conservation de l’énergie et que nous ne pouvons pas réellement fabriquer nos machines réversibles, car chaque fois que nous voulons déplacer une grande quantité de matière, il est impossible de ne pas perturber du tout les atomes, et de ce fait un certain mouvement aléatoire s’introduit dans le système atomique. Nous ne pouvons pas le voir, mais nous pouvons le mesurer avec des thermomètres, etc.)

Il y a beaucoup d’autres formes d’énergie, et bien sûr, nous ne pouvons maintenant les décrire plus en détail. Il y a l’énergie électrique qui est en relation avec l’attraction et la répulsion entre charges électriques. Il y a l’énergie de rayonnement, l’énergie de la lumière, que nous savons être une forme de l’énergie électrique, car la lumière peut être représentée comme des oscillations du champ électromagnétique. Il y a l’énergie chimique, l’énergie qui est libérée dans les réactions chimiques. En fait, l’énergie élastique est, dans une certaine mesure, semblable à l’énergie chimique, car l’énergie chimique est l’énergie d’attraction des atomes l’un vers l’autre, et il est de même pour l’énergie élastique. La façon moderne de voir est la suivante : l’énergie chimique possède deux parts, l’énergie cinétique des électrons à l’intérieur des atomes, ainsi une partie est cinétique, et l’énergie électrique d’interaction des électrons et des protons — le reste de ce fait est électrique. Nous arrivons ensuite à l’énergie nucléaire, l’énergie qui est en relation avec l’arrangement des particules à l’intérieur du noyau, et nous avons des formules pour elle, mais nous ne possédons pas les lois fondamentales. Nous savons que ce n’est ni électrique, ni gravitationnel, ni purement chimique, mais nous ne savons pas exactement ce que c’est. Il semble que ce soit encore une autre forme d’énergie. Finalement, en association avec la théorie de la relativité, il y a une modification des lois de l’énergie cinétique, ou quel que soit le nom que vous voudrez lui donner, de telle sorte que l’énergie cinétique est combinée avec une autre énergie appelée énergie de masse. Un objet a de l’énergie du fait de sa simple existence. Si je dispose d’un positron et d’un électron, se tenant tranquilles, ne faisant rien — ne vous préoccupez pas de la gravitation, ni de rien d’autre — et qu’ils se rapprochent, et disparaissent, une énergie de rayonnement sera libérée, en quantité bien définie, et cette quantité peut être calculée. Tout ce que nous devons savoir est la masse de l’objet. Cela ne dépend pas de ce que c’est — nous faisons disparaître deux objets, et nous obtenons une certaine quantité d’énergie. La formule fut trouvée d’abord par Einstein ; c’est E = mc².

À partir de notre discussion, il est évident que la loi de conservation de l’énergie est extrêmement utile pour analyser les phénomènes sans connaître toutes les formules, comme nous l’avons illustré par quelques exemples. Si nous disposions des formules pour toutes les sortes d’énergie, nous pourrions analyser comment de nombreux processus doivent fonctionner sans avoir à entrer dans les détails. De ce fait les lois de conservation sont très intéressantes. Il se pose naturellement la question de savoir s’il y a d’autres lois de conservation en physique. Il y a deux autres lois de conservation qui sont analogues à la conservation de l’énergie. L’une d’entre elles est appelée la conservation de la quantité de mouvement. L’autre est appelée la conservation du moment cinétique. Nous en dirons davantage plus loin. En dernière analyse nous ne comprenons pas profondément les lois de conservation. Nous ne comprenons pas la conservation de l’énergie. Nous ne comprenons pas l’énergie, comme étant un certain nombre de petits paquets. Vous avez pu entendre dire que les photons apparaissent en grains discrets, et que l’énergie d’un photon est la constante de Planck que multiplie la fréquence. Cela est vrai, mais puisque la fréquence de la lumière peut être n’importe quoi, il n’y a pas de loi qui dise que cette énergie doit être une certaine quantité définie. Au contraire des cubes de Denis, il peut y avoir n’importe quelle quantité d’énergie, dans l’état actuel de nos connaissances. Ainsi nous ne comprenons pas pour le moment cette énergie, au sens où l’on pourrait compter quelque chose, mais simplement comme une quantité mathématique, ce qui est un état de choses abstrait et assez particulier. En mécanique quantique, il apparaît que la conservation de l’énergie est très étroitement reliée à une autre propriété importante de l’univers, les choses ne dépendent pas du temps absolu. Nous pouvons préparer une expérience à un moment donné et l’essayer, puis répéter plus tard la même expérience, on obtient le même résultat. Nous ne savons pas si cela est rigoureusement vrai ou non. Si nous supposons que c’est vrai, et ajoutons les principes de la mécanique quantique, nous pouvons en déduire le principe de la conservation de l’énergie. C’est une chose assez subtile et intéressante, et ce n’est pas très facile à expliquer. Les autres lois de conservation sont également liées entre elles. La conservation de la quantité de mouvement est associée en mécanique quantique avec la proposition que les résultats seront toujours les mêmes, quel que soit l’endroit où est faite l’expérience. De même que l’invariance dans l’espace est liée à la conservation de la quantité de mouvement, l’invariance dans le temps est liée à la conservation de l’énergie, et finalement, si nous tournons notre appareil, cela aussi n’a aucun effet, et ainsi l’invariance de l’univers par rapport à l’orientation angulaire est liée à la conservation du moment cinétique. À côté d’elles, il y a trois autres lois de conservation qui sont, pour autant que nous puissions dire à l’heure actuelle, exactes et qui sont beaucoup plus faciles à comprendre parce qu’elles ressemblent à un comptage de cubes.

La première de ces trois lois est la conservation de la charge, cela signifie simplement que vous pouvez compter le nombre de charges électriques positives moins celui des charges électriques négatives, et que le nombre obtenu ne se modifie jamais. Vous pouvez vous débarrasser d’une charge positive avec une charge négative, mais vous ne créez jamais un excès de charges positives par rapport aux charges négatives. Deux autres lois sont analogues à celle-ci — l’une est appelée la conservation des baryons. Il y a un certain nombre de particules étranges, un neutron et un proton par exemple, qui sont appelées baryons. Dans toute réaction de la nature, quelle qu’elle soit, si nous comptons combien de baryons interviennent dans un processus, le nombre² de baryons qui en sort sera exactement le même. On connaît une autre loi, la conservation des leptons. Nous pouvons dire que les particules appelées leptons sont : I’électron, le méson μ et le neutrino. Il y a un anti-électron qui est un positron, c’est-à-dire un lepton comptant – 1. Quand on compte le nombre total de leptons dans une réaction, on trouve, au moins pour autant que nous sachions à l’heure actuelle, que le nombre de leptons qui rentrent et qui sortent ne change jamais.

Ce sont là les six lois de conservation, trois d’entre elles subtiles, liées à l’espace et au temps, et trois d’entre elles simples, au sens où on compte quelque chose.

Par rapport à la conservation de l’énergie, nous devrions remarquer que l’énergie disponible est un autre problème — les atomes de l’eau de mer s’agitent beaucoup parce que la mer est à une certaine température, mais il est impossible de les faire aller ensemble dans un mouvement défini sans prendre de l’énergie en un autre endroit. C’est dire que malgré la conservation de l’énergie, l’énergie disponible pour l’utilisation humaine n’est pas conservée si facilement. Les lois qui gouvernent la disponibilité d’énergie sont appelées les lois de la thermodynamique, et introduisent un concept appelé l’entropie pour les processus thermodynamiques irréversibles.

Finalement, faisons une remarque sur le problème des sources d’énergie aujourd’hui. Les sources d’énergie sont le soleil, la pluie, le charbon, l’uranium et l’hydrogène. Le soleil provoque la pluie et fabrique également le charbon, tout cela provient donc du soleil. Bien que l’énergie soit conservée, la nature ne semble pas intéressée par cela : elle libère beaucoup d’énergie venant du soleil, mais seule une part sur deux milliards tombe sur la terre. La nature suit la conservation de l’énergie mais ne s’en préoccupe guère ; elle dilapide une grande partie de son énergie dans toutes les directions. Nous avons déjà obtenu de l’énergie à partir de l’uranium ; nous pouvons également obtenir de l’énergie à partir de l’hydrogène, mais pour le moment seulement dans des conditions explosives et dangereuses. Si on pouvait la contrôler dans des réactions thermonucléaires, il apparaît que l’énergie qui pourrait être obtenue de dix litres d’eau par seconde, serait égale à toute la puissance électrique fabriquée aux États-Unis. Avec 600 litres d’eau courante par minute, vous avez assez de carburant pour fournir toute l’énergie qui est utilisée aux États-Unis aujourd’hui ! Ainsi, c’est au physicien de trouver comment nous libérer des nécessités d’avoir de l’énergie. Cela peut être fait.

1. Notre but ici n’est pas tellement le résultat (4.3), que vous devez en fait déjà connaître, que la possibilité d’y parvenir par un raisonnement théorique.

2. Comptant les anti-baryons comme – 1 baryon.

Chapitre 5

La théorie de la gravitation

5-1 Mouvements planétaires

Dans ce chapitre nous discuterons une des généralisations de l’esprit humain ayant la plus grande portée. Pendant que nous admirons l’esprit humain, nous devrions prendre quelques instants pour considérer avec une respectueuse crainte une nature en mesure de suivre si généralement et complètement un principe aussi élégamment simple que la loi de gravitation. Qu’est-ce que cette loi de gravitation ? C’est que tout objet dans l’univers attire tout autre objet avec une force qui, pour n’importe lequel des deux corps, est proportionnelle à la masse de chacun et varie inversement avec le carré de la distance entre eux. Cet énoncé peut être exprimé mathématiquement par l’équation

Si à cela nous ajoutons le fait qu’un objet répond à une force en accélérant dans la direction de cette force d’une quantité qui est inversement proportionnelle à la masse de l’objet, nous aurons dit tout ce qui est nécessaire à un mathématicien de talent suffisant, pour qu’il puisse déduire toutes les conséquences de ces deux principes. Cependant, comme nous supposerons que maintenant vous n’atteignez pas encore ce degré de talent, nous envisagerons les conséquences plus en détail, et nous ne vous laisserons pas avec ces deux simples principes. Nous allons brièvement relater l’histoire de la découverte de la loi de gravitation et discuterons certaines de ses conséquences, ses effets sur l’histoire, les mystères qu’une telle loi occasionne et certains raffinements que lui a apportés Einstein ; nous discuterons également la relation de cette loi aux autres lois de la physique. Tout cela ne peut être fait dans un chapitre, mais ces sujets seront traités en temps voulu dans les chapitres qui suivront.

L’histoire commence avec les anciens observant les mouvements des planètes parmi les étoiles et déduisant finalement qu’elles se déplaçaient autour du soleil, un fait qui fut redécouvert plus tard par Copernic. Un peu plus de travail fut nécessaire pour découvrir comment ces planètes se déplaçaient exactement autour du soleil et avec quel mouvement exact. Au début du XVe siècle, il y eut de grandes discussions pour savoir si elles tournaient vraiment ou non autour du soleil. Tycho Brahé eut une idée différente de tout ce qui avait pu être proposé par les anciens : son idée était que ces débats sur la nature des mouvements des planètes seraient tranchés au mieux si les positions réelles des planètes dans le ciel étaient mesurées avec suffisamment de précision. Si les mesures indiquaient exactement comment les planètes se déplaçaient, alors peut-être serait-il possible d’établir l’un ou l’autre des points de vue. C’était une idée extraordinaire que pour trouver quelque chose il est préférable de réaliser quelques expériences soigneuses plutôt que de développer de profonds arguments philosophiques. Poursuivant cette idée, Tycho Brahé étudia les positions des planètes pendant plusieurs années dans son observatoire sur l’Ile de Hyen, près de Copenhague. Il réalisa des tables volumineuses qui furent alors étudiées par le mathématicien Kepler après la mort de Tycho. Kepler découvrit à partir des données certaines lois concernant le mouvement planétaire, des lois très belles et très remarquables mais simples.

5-2 Lois de Kepler

D’abord, Kepler trouva que chaque planète se déplace autour du soleil selon une trajectoire appelée une ellipse, avec le soleil à l’un des foyers de cette ellipse. Une ellipse n’est pas simplement un ovale, mais c’est une courbe bien caractérisée et très précise qui peut être obtenue en utilisant deux petits clous, un à chaque foyer, un morceau de ficelle et un crayon ; mathématiquement parlant, c’est le lieu de tous les points dont la somme des distances à deux points fixes (les foyers) est une constante. Ou si vous voulez, c’est un cercle aplati (Fig. 5-1).

Fig. 5-1. Une ellipse.

La seconde observation de Kepler fut que les planètes ne tournent pas autour du soleil à une vitesse uniforme, mais se déplacent plus rapidement lorsqu’elles sont plus proches du soleil, et plus lentement lorsqu’elles en sont plus éloignées, selon précisément ceci : supposons qu’une planète soit observée à deux instants successifs quelconques, disons à une semaine d’intervalle, et que le rayon vecteur¹ soit tracé jusqu’à la planète pour chaque position observée. L’arc de l’orbite parcouru par la planète pendant la semaine, et les deux rayons vecteurs, délimitent une certaine surface plane, la surface hachurée indiquée sur la Fig. 5-2. Si deux observations semblables sont faites à une semaine de distance, en une autre partie de l’orbite plus éloignée du soleil (où la planète se déplace plus lentement), la surface analogue est exactement la même que dans le premier cas. Ainsi, selon la deuxième loi, la vitesse orbitale de chaque planète est telle que le rayon « balaye » des surfaces égales dans des temps égaux.

Fig. 5-2. La loi des aires de Kepler.

Pour finir, une troisième loi fut découverte par Kepler ; cette loi est d’une catégorie différente de celle des deux premières, car elle ne concerne pas uniquement une seule planète, mais relie les planètes entre elles. Cette loi dit que lorsque la période orbitale et la taille de l’orbite de deux planètes sont comparées, les périodes sont proportionnelles à la puissance 3/2 de la dimension de l’orbite. Dans cet énoncé la période est l’intervalle de temps qu’il faut à une planète pour faire complètement le tour de son orbite, et la dimension est mesurée par la longueur du plus grand diamètre de l’orbite elliptique connu techniquement sous le nom d’axe principal. Plus simplement, si les planètes se déplacent selon des cercles, comme elles le font quasiment, le temps nécessaire pour faire le tour d’un cercle est proportionnel à la puissance 3/2 du diamètre (ou du rayon). Ainsi les trois lois de Kepler sont :

I. Chaque planète se déplace autour du soleil selon une ellipse avec le soleil à l’un des foyers.

II. Le rayon vecteur allant du soleil à la planète balaye des surfaces égales pendant des intervalles de temps égaux.

III. Les carrés des périodes de n’importe laquelle des deux planètes sont proportionnels aux cubes de la demi-longueur des axes principaux de leurs orbites respectives : T~a3/2.

5-3 Développement de la dynamique

Tandis que Kepler découvrait ces lois, Galilée étudiait les lois du mouvement. Le problème était de savoir ce qui fait tourner les planètes. (À ce moment-là, une théorie proposée était que les planètes tournaient, parce que derrière elles il y avait des anges invisibles battant de leurs ailes et poussant les planètes. Vous allez voir que cette théorie est maintenant modifiée ! Il apparaît que pour maintenir les planètes dans leur mouvement de rotation, les anges invisibles doivent voler dans une direction assez différente et qu’ils n’ont pas d’ailes. Pour le reste, c’est une théorie assez semblable !) Galilée découvrit un fait très remarquable sur le mouvement, qui est essentiel pour comprendre ces lois. C’est le principe d’inertie — si quelque chose se déplace qui ne touche rien et n’est absolument pas perturbé, il continuera perpétuellement, naviguant à une vitesse uniforme en ligne droite. (Pourquoi continue-t-il ainsi ? Nous ne savons pas, mais c’est en tous les cas ce qui se passe.)

Newton modifia cette idée, disant que la seule manière de changer le mouvement d’un corps est d’utiliser une force. Si le corps accélère, une force a été appliquée dans la direction du mouvement. D’autre part, si la direction du mouvement change, une force a été appliquée latéralement. Newton ajoutait donc l’idée qu’une force est nécessaire pour changer la vitesse ou la direction du mouvement du corps. Par exemple, si une pierre est attachée à une ficelle et tournoie circulairement, il faut une force pour la maintenir sur le cercle. Il nous faut tirer sur la ficelle. En fait, la loi est que l’accélération produite par la force est inversement proportionnelle à la masse, ou que la force est proportionnelle à la masse que multiplie l’accélération. Plus un objet est massif, plus grande sera la force nécessaire pour produire une certaine accélération. (La masse peut être mesurée en mettant d’autres pierres à l’extrémité de la même ficelle et en les faisant tourner sur le même cercle à la même vitesse. De cette manière, on trouve qu’il faut plus ou moins de force, l’objet le plus massif nécessitant le plus de force.) L’idée brillante qui résulte de ces considérations est qu’il n’est pas besoin de force tangentielle pour maintenir une planète sur son orbite (les anges ne doivent pas voler tangentiellement), car la planète naviguerait dans cette direction de toute manière. S’il n’y avait rien pour la perturber, la planète s’écarterait en ligne droite. Mais le mouvement réel dévie de la droite, suivant laquelle le corps se déplacerait s’il n’y avait pas de force, la déviation étant essentiellement à angle droit du mouvement, non dans la direction du mouvement. En d’autres termes, à cause du principe de l’inertie, la force nécessaire pour contrôler le mouvement d’une planète autour du soleil n’est pas une force autour du soleil mais vers le soleil. (Si c’est une force vers le soleil, le soleil peut être l’ange, bien sûr !)

5-4 Loi de la gravitation de Newton

De sa meilleure compréhension de la théorie du mouvement, Newton réalisa que le soleil pouvait être le siège ou l’organisation de forces qui gouvernent le mouvement des planètes. Newton se démontra à lui-même (et peut-être serons-nous capables de le prouver bientôt) que le fait même que des surfaces égales soient balayées dans des temps égaux est un signe indicateur précis de la proposition que toutes les déviations sont précisément radiales — et que la loi des aires est une conséquence directe de l’idée que toutes les forces sont dirigées exactement vers le soleil.

Ensuite, en analysant la troisième loi de Kepler, il est possible de montrer que plus la planète est éloignée, plus faibles sont les forces. Si deux planètes, à des distances différentes du soleil, sont comparées, l’analyse montre que les forces sont inversement proportionnelles au carré des distances respectives. En combinant les deux lois, Newton conclut qu’il doit y avoir une force, inversement proportionnelle au carré de la distance, dirigée selon la droite reliant les deux objets.

Étant homme à savoir découvrir les lois générales, Newton supposa, bien sûr, que cette relation s’applique de façon plus générale qu’au simple cas du soleil attirant les planètes. Il était déjà connu, par exemple, que la planète Jupiter possède des lunes se déplaçant autour d’elle de la même manière que notre lune tourne autour de la terre, et Newton se sentit convaincu que chaque planète maintient ses lunes grâce à une force. Il connaissait déjà la force nous maintenant sur la terre, aussi il proposa que c’était une force universelle — que toute chose attire toute autre chose.

Le problème suivant était de savoir si l’attraction par la terre de ses habitants était la « même » que son attraction de la lune, c’est-à-dire inversement proportionnelle au carré de la distance. Si un objet à la surface de la terre tombe de 5 mètres dans la première seconde après être parti du repos, de combien la lune doit-elle tomber dans le même temps ? Nous pourrions dire que la lune ne tombe pas du tout. Mais s’il n’y avait pas de force agissant sur la lune, elle s’écarterait en ligne droite, tandis qu’au lieu de cela elle se déplace sur un cercle, ce qui fait qu’en réalité elle tombe de là où elle aurait été s’il n’y avait pas eu de force du tout. Nous pouvons calculer à partir du rayon de l’orbite de la lune (qui est de l’ordre de 384 000 kilomètres) et du temps qu’il faut pour faire le tour de la terre (approximativement 29 jours), de combien la lune se déplace sur son orbite en une seconde, et nous pouvons alors calculer de combien elle tombe en une seconde². Cette distance apparaît comme étant approximativement 1,3 mm par seconde. Cela s’explique très bien par la loi de l’inverse carré, car le rayon de la terre est de 6 400 kilomètres, et si quelque chose qui est à 6 400 kilomètres du centre de la terre tombe de 5 mètres en une seconde, quelque chose à 384 000 kilomètres, soit 60 fois plus loin, ne doit tomber seulement que de 1/3 600 de 5 mètres, ce qui est approximativement 1,3 mm. Voulant mettre cette théorie de la gravitation à l’épreuve par des calculs du même type, Newton fit ses calculs avec beaucoup de soin et trouva un désaccord si grand qu’il considéra que la théorie était contredite par les faits, et ne publia pas ses résultats. Six ans plus tard une nouvelle mesure de la dimension de la terre montra que les astronomes avaient utilisé une distance à la lune inexacte. Lorsque Newton entendit parler de cela, il refit ses calculs avec les nombres corrects, et obtint un excellent accord.

Cette idée que la lune « tombe » risque de créer une confusion parce que, comme vous voyez, elle ne se rapproche absolument pas. Cette idée est suffisamment intéressante pour mériter une explication supplémentaire : la lune tombe en ce sens qu’elle s’écarte en tombant de la ligne droite qu’elle suivrait s’il n’y avait pas de forces. Prenons un exemple à la surface de la terre. Un objet lâché près de la surface de la terre va tomber de 5 mètres pendant la première seconde. Un objet jeté horizontalement tomberait également de 5 mètres ; quand bien même il se déplace horizontalement, il tombe toujours des mêmes 5 mètres dans le même temps. La Fig. 5-3 montre un appareil qui en permet la démonstration. Sur la piste horizontale se trouve une balle qui va être poussée vers l’avant à une petite distance de là. À la même hauteur se trouve une balle qui va tomber verticalement et un interrupteur électrique a été monté de telle sorte que, au moment où la première balle quitte la piste, la seconde balle est lâchée. Qu’elles parviennent à la même profondeur et au même moment est manifesté par le fait qu’elles se cognent en l’air. Un objet comme une balle de fusil, tiré horizontalement, peut parcourir une longue distance en une seconde — peut-être 700 mètres — mais il tombera toujours de 5 mètres s’il est lancé horizontalement. Que se passe-t-il si nous tirons un projectile de plus en plus vite ? N’oublions pas que la surface de la terre est courbe. Si nous tirons suffisamment vite, alors en tombant de 5 mètres il peut se retrouver exactement à la même hauteur au-dessus du sol que celle à laquelle il était auparavant. Comment cela peut-il se faire ? Il tombe toujours, mais la terre s’incurve de telle sorte qu’il tombe « autour » de la terre. La question est de savoir quelle distance doit-il parcourir en une seconde de telle sorte que la terre soit descendue de 5 mètres en dessous de l’horizon ? Sur la Fig. 5-4 nous voyons la terre avec son rayon de 6 400 kilomètres et la trajectoire tangentielle rectiligne que la balle suivrait s’il n’y avait pas de force. Si nous utilisons un de ces merveilleux théorèmes de géométrie qui dit que notre tangente est la moyenne géométrique entre les deux parties du diamètre coupé par une corde égale, nous voyons que la distance horizontale parcourue est la moyenne géométrique entre les 5 mètres de chute et le diamètre de 12 800 kilomètres de la terre. La racine carrée de (5/1 000) × 12 800 donne à peu près 8 kilomètres. Ainsi nous voyons que si notre balle se déplace à 8 kilomètres par seconde, elle tombera toujours vers la terre à la même vitesse de 5 mètres chaque seconde, mais ne se rapprochera jamais davantage parce que la terre continue de s’éloigner d’elle en s’incurvant.

Fig. 5-3. Appareil permettant de démontrer l’indépendance des mouvements horizontal et vertical.

C’était ainsi que Monsieur Gagarine se maintenait dans l’espace en parcourant 40 000 kilomètres autour de la terre à la vitesse d’environ 8 kilomètres par seconde. (Il prenait un peu plus de temps parce qu’il était un petit peu plus haut.)

Fig. 5-4. Accélération vers le centre d’une trajectoire circulaire. D’après la géométrie plane, x/s = (2 R − S)/x ≈ 2 R/x, où R est le rayon de la terre 6 400 kilomètres ; x est la distance « parcourue horizontalement » en une seconde ;et S est la distance « tombée » en une seconde (5 mètres).

Toute grande découverte d’une nouvelle loi est utile seulement si nous pouvons en tirer davantage que ce que nous y mettons. Newton utilisa la seconde et la troisième des lois de Kepler pour déduire sa loi de gravitation. Qu’a-t-il prédit ? D’abord, son analyse du mouvement de la lune était une prédiction car elle reliait la chute des objets à la surface de la terre avec celle de la lune. Ensuite, l’orbite est-elle une ellipse ? Nous verrons dans un chapitre ultérieur comment il est possible de calculer exactement le mouvement, et de ce fait on peut prouver que ce doit être une ellipse³, aussi n’est-il pas nécessaire d’ajouter des choses supplémentaires pour expliquer la première loi de Kepler. Ainsi Newton réalisa sa première prédiction importante.

La loi de la gravitation explique de nombreux phénomènes qui n’étaient pas compris auparavant. Par exemple, l’attraction de la lune sur la terre cause les marées, jusque-là mystérieuses. La lune tire l’eau vers le haut, sous elle, et provoque les marées — des gens y avaient pensé avant, mais ils n’étaient pas aussi intelligents que Newton, et ainsi ils pensaient qu’il ne devait y avoir qu’une seule marée par jour. Le raisonnement était que la lune attire l’eau vers le haut sous elle, créant une marée haute et une marée basse, et puisque la terre tourne au-dessous, cela fait que la marée en un endroit s’élève et s’abaisse en vingt-quatre heures. En fait les marées montent et descendent en douze heures. Une autre école de pensée affirma que la marée haute devait être de l’autre côté de la terre parce que ainsi, raisonnaient-ils, la lune attire la terre en l’éloignant de l’eau ! Ces deux théories sont fausses. En fait cela fonctionne ainsi : l’attraction de la lune sur la terre et sur l’eau est « équilibrée » au centre. Mais l’eau qui est plus proche de la lune est tirée davantage que la moyenne et l’eau qui est plus éloignée d’elle est tirée moins que la moyenne. Par ailleurs, l’eau peut s’écouler tandis que la terre plus rigide ne le peut pas. La vraie description est une combinaison de ces deux choses.

Fig. 5-5. Le système terre-lune avec les marées.

Que voulons-nous dire par « équilibrée » ? Qu’est-ce qui équilibre ? Si la lune tire toute la terre vers elle, pourquoi la terre ne tombe-t-elle pas « droit » sur la lune ? Car la terre joue le même jeu que la lune, elle se déplace sur un cercle autour d’un point qui est à l’intérieur de la terre et non en son centre. La lune ne tourne pas seulement autour de la terre, la terre et la lune ensemble tournent autour d’une position centrale, chacune tombant vers cette position commune, comme il est montré sur la Fig. 5-5. Ce mouvement autour d’un centre commun est ce qui équilibre la chute de chacun. Ainsi la terre ne se déplace pas sur une ligne droite non plus ; elle se déplace sur un cercle. L’eau du côté éloigné n’est pas « en équilibre » parce que l’attraction de la lune à cet endroit est plus faible qu’au centre de la terre, où elle équilibre exactement la « force centrifuge ». Le résultat de ce déséquilibre est que l’eau s’élève, s’écartant du centre de la terre. Sur la face proche, l’attraction de la lune est plus forte et le déséquilibre se trouve dans la direction opposée dans l’espace, mais à nouveau en s’éloignant du centre de la terre. Le résultat net est que nous obtenons deux renflements de marées.

5-5 Gravitation universelle

Que pouvons-nous comprendre d’autre, une fois que nous avons compris la gravitation ? Chacun sait que la terre est ronde. Pourquoi la terre est-elle ronde ? C’est facile ; c’est dû à la gravitation. On peut comprendre que la terre est ronde simplement parce que toute chose attire toute autre chose, et de ce fait elle s’est attirée elle-même autant qu’elle a pu ! Si même nous allons plus loin, la terre n’est pas exactement une sphère car elle tourne, et cela introduit des effets centrifuges qui tendent à s’opposer à la gravitation près de l’équateur. Il s’ensuit que la terre doit être elliptique, et nous obtenons même la forme correcte de l’ellipse. Nous pouvons donc déduire que le soleil, la lune et la terre doivent être (pratiquement) des sphères, simplement à partir de la loi de gravitation.

Que pouvons-nous faire d’autre avec la loi de gravitation ? Si nous regardons les lunes de Jupiter, nous pouvons tout comprendre sur la manière dont elles se déplacent autour de cette planète. Incidemment, il y a eu une fois une certaine difficulté avec les lunes de Jupiter qui vaut la peine qu’on la remarque. Ces satellites furent étudiés avec beaucoup de soins par Roemer, qui remarqua que les lunes semblaient quelquefois être en avance et d’autres fois en retard. (On peut trouver leurs horaires normaux en attendant un très long moment et en trouvant combien il faut de temps en moyenne aux lunes pour faire un tour.) Elles étaient en avance lorsque Jupiter était particulièrement proche de la terre et elles étaient en retard lorsque Jupiter était éloigné de la terre. Cela aurait été une chose très difficile à expliquer selon la loi de gravitation — cela aurait été en fait la mort de cette magnifique théorie s’il n’y avait pas eu d’autre explication. Lorsqu’une loi ne s’applique pas, ne serait-ce qu’en un seul endroit où elle le devrait, elle est tout simplement fausse. Mais la raison de ce désaccord était très simple et belle : il faut un peu de temps pour voir les lunes de Jupiter, à cause du temps qu’il faut à la lumière pour se rendre de Jupiter à la terre. Lorsque Jupiter est plus proche de la terre, ce temps est moins long, et lorsqu’il est plus éloigné de la terre, ce temps est plus long. C’est pourquoi les lunes apparaissent en moyenne un petit peu en avance ou un petit peu en retard, selon qu’elles sont plus ou moins proches de la terre. Ce phénomène a montré que la lumière ne se propage pas instantanément et a fourni la première estimation de la vitesse de la lumière. Cela fut fait en 1656.

Si toutes les planètes se tirent et se poussent les unes des autres, la force qui contrôle, disons Jupiter dans son parcours autour du soleil, n’est pas simplement la force provenant du soleil ; il y a aussi une attraction de, disons, Saturne. Cette force n’est pas réellement intense puisque le soleil est beaucoup plus massif que Saturne, mais il existe une certaine attraction, ainsi l’orbite de Jupiter ne doit pas être une ellipse parfaite et de fait ce n’en est pas une ; elle est légèrement différente et « oscille » autour de l’orbite elliptique correcte. Un tel mouvement est un peu plus compliqué. Des essais furent tentés pour analyser les mouvements de Jupiter, Saturne et Uranus sur la base de la loi de gravitation. Les effets de chacune de ces planètes sur chaque autre furent calculés pour voir si oui ou non les minuscules déviations et irrégularités dans ces mouvements peuvent être complètement comprises à partir de cette simple loi. Voilà que pour Jupiter et Saturne, tout allait bien, mais Uranus était « singulière ». Elle se comportait d’une manière très particulière. Elle ne se déplaçait pas selon une ellipse exacte, mais cela était compréhensible à cause de l’attraction de Jupiter et Saturne. Cependant, même en tenant compte de ces attractions Uranus ne se déplaçait toujours pas correctement, ainsi les lois de gravitation étaient en danger d’être rejetées, une possibilité qui ne pouvait pas être éliminée. Deux hommes, Adams et Leverrier, en Angleterre et en France, parvinrent indépendamment à une autre possibilité : peut-être y a-t-il une autre planète, noire et invisible, que les hommes n’ont pas encore vue. Cette planète N pourrait attirer Uranus. Ils calculèrent où devrait se trouver une telle planète afin de créer les perturbations observées. Ils envoyèrent des messages aux observatoires respectifs, disant : « Messieurs, pointez votre télescope à telle et telle place et vous allez voir une nouvelle planète. » Que l’on fasse la moindre attention à vous ou non dépend souvent des personnes avec qui vous travaillez. On écouta Leverrier ; les astronomes regardèrent et la planète N était là ! L’autre observatoire regarda alors également, très rapidement, dans les quelques jours suivants et l’aperçut aussi.

Fig. 5-6. Un système d’étoile double.

Cette découverte montra que les lois de Newton sont absolument exactes dans le système solaire ; mais s’étendent-elles au-delà des distances relativement petites aux planètes les plus proches ? La première vérification se trouve dans la question : est-ce que les étoiles s’attirent l’une l’autre, comme les planètes ? Nous en avons une preuve catégorique dans les étoiles doubles. La Fig. 5-6 montre une étoile double — deux étoiles très proches l’une de l’autre (il y a également une troisième étoile sur la photo, ainsi nous saurons que la photographie n’a pas été tournée). Les étoiles sont également montrées comme elles apparaissaient plusieurs années plus tard. Nous voyons que relativement à l’étoile « fixe », l’axe de la paire a tourné, c’est-à-dire que les deux étoiles tournent l’une autour de l’autre. Tournent-elles selon les lois de Newton ? Des mesures soigneuses des positions relatives d’un tel système à deux étoiles sont indiquées sur la Fig. 5-7. Là nous voyons une belle ellipse, les mesures commençant en 1862 et faisant le tour jusqu’en 1904 (à l’heure présente elles doivent avoir fait un tour de plus). Tout coïncide avec les lois de Newton à l’exception de l’étoile Sirius A qui ne se trouve pas au foyer. Pourquoi cela ? Parce que le plan de l’ellipse n’est pas dans le « plan du ciel ». Nous ne regardons pas à angles droits du plan de l’orbite et lorsqu’une ellipse est regardée de biais, elle reste une ellipse, mais le foyer n’est plus à la même place. Ainsi nous pouvons analyser les étoiles doubles, tournant l’une autour de l’autre, selon les impératifs de la loi de gravitation.

Fig. 5-7. Orbite de Sirius B par rapport à Sirius A.

Que la loi de gravitation soit vraie à des distances encore plus grandes est montré sur la Fig. 5-8. Si quelqu’un ne peut pas voir la gravitation à l’œuvre ici, c’est qu’il est sans âme. Cette figure montre une des choses les plus magnifiques dans le ciel — un amas globulaire d’étoiles. Tous les points sont des étoiles. Bien qu’elles apparaissent comme si elles étaient des solides entassés vers le centre, cela est dû à l’imperfection de nos instruments. En réalité les distances entre les étoiles les plus au centre sont très grandes, et elles ne se cognent que très rarement. Il y a davantage d’étoiles à l’intérieur qu’à l’extérieur, et lorsque nous nous éloignons du centre, il y en a de moins en moins. Il est évident qu’il y a une attraction entre les étoiles. Il est clair que la gravitation existe à des dimensions énormes, peut- être 100 000 fois la taille du système solaire. Allons encore plus loin, et regardons une galaxie entière montrée sur la Fig. 5-9. La forme de cette galaxie indique une tendance évidente de sa matière à s’agglomérer. Bien sûr, nous ne pouvons pas prouver que la loi est ici précisément celle de l’inverse carré, mais seulement qu’il y a encore une attraction à cette dimension énorme qui maintient tout ensemble. On peut dire : « Bien, tout cela est très intelligent, mais pourquoi n’est-ce pas simplement enforme de boule ? » Parce que la galaxie est en rotation et possède un moment cinétique qu’elle ne peut céder lorsqu’elle se contracte ; elle doit se contracter essentiellement dans un plan. (Incidemment, si vous cherchez un bon problème, les détails exacts de la manière dont les bras sont formés et de ce qui détermine les formes de ces galaxies, n’ont pas encore été calculés.) Il est cependant clair que la forme de la galaxie est due à la gravitation, même si les complexités de sa structure ne nous ont pas encore permis de l’analyser complètement. L’échelle dans une galaxie est peut-être de 50 000 à 100 000 années-lumière. La distance de la terre au soleil est de 8 1/3 minutes-lumière, ainsi vous pouvez voir combien ces dimensions sont grandes.

Fig. 5-8. Un amas globulaire d’étoiles.

Fig. 5-9. Une galaxie.

La gravitation manifeste son existence à des dimensions encore plus grandes, comme il est indiqué sur la Fig. 5-10, qui montre plusieurs « petites » choses agglomérées ensemble. Cela est un amas de galaxies tout à fait semblable à un amas d’étoiles. Ainsi les galaxies s’attirent à de telles distances qu’elles aussi sont rassemblées en amas. Peut-être que la gravitation existe même sur des distances de dizaines de millions d’années-lumière ; pour autant que nous sachions maintenant, la gravitation semble s’étendre à l’infini inversement avec le carré de la distance.

Fig. 5-10. Un amas de galaxies.

Fig. 5-11. Un nuage de poussière interstellaire.

Fig. 5-12. La formation de nouvelles étoiles ?

Non seulement pouvons-nous comprendre les nébuleuses, mais à partir de la loi de gravitation nous pouvons même avoir quelques idées sur l’origine des étoiles. Si nous avons un grand nuage de poussière et de gaz comme il est indiqué sur la Fig. 5-11, les attractions gravitationnelles des morceaux de poussière entre eux peuvent les faire former de petits blocs. Difficilement visibles dans la figure se trouvent des « petites » taches noires qui peuvent être le commencement de l’accumulation de poussière et de gaz qui, à cause de leur gravitation, commencent à former des étoiles. Que nous ayons déjà vu une étoile en train de se former ou non est encore discutable. La Fig. 5-12 montre l’unique pièce à conviction qui pourrait nous suggérer que nous l’avons vue.`A gauche il y a une photo d’une région de gaz avec certaines étoiles au milieu prises en 1947, et à droite une autre photo prise seulement sept années plus tard, qui montre deux nouvelles taches brillantes. Du gaz s’est-il accumulé, est-ce que la gravitation a agi suffisamment fortement sur lui et l’a rassemblé dans une boule suffisamment grande de sorte que les réactions nucléaires stellaires commencent en son sein et la transforment en étoile ? Peut-être oui, et peut-être non. Il n’est pas raisonnable qu’en simplement sept années nous ayons eu une telle chance de pouvoir voir une étoile prendre une forme visible ; il est encore beaucoup moins probable que nous ayons pu en voir deux.

5-6 L’expérience de Cavendish

La gravitation, de ce fait, s’étend sur des distances énormes. Mais s’il y a une force entre toute paire d’objets, nous devrions être capables de mesurer la force entre nos propres objets. Au lieu d’être obligés de regarder les étoiles aller les unes autour des autres, pourquoi ne pouvons-nous pas prendre une balle de plomb et une bille et regarder la bille aller vers la balle de plomb ? La difficulté de cette expérience, lorsqu’on la réalise d’une manière aussi simple, est l’extrême faiblesse ou délicatesse de la force. Cela doit être fait avec énormément de soins, ce qui signifie qu’il faut couvrir l’appareil pour en écarter l’air, s’assurer qu’il n’est pas électriquement chargé ; alors la force peut être mesurée. Elle fut mesurée pour la première fois par Cavendish avec un appareil qui est schématiquement indiqué sur la Fig. 5-13. Cela démontra pour la première fois la force directe entre deux balles de plomb grandes et fixes, et deux balles de plomb plus petites aux extrémités d’un bras supporté par une fibre très fine appelée fibre de torsion. En mesurant de combien la fibre se tord, on peut mesurer l’intensité de la force, vérifier qu’elle est inversement proportionnelle au carré de la distance, et déterminer son intensité. Ainsi peut-on déterminer avec précision la coefficient G dans la formule

Toutes les masses et distances sont connues. Vous dites : « Nous le savions déjà pour la terre. » Oui, mais nous ne connaissions pas la masse de la terre. En connaissant G à partir de cette expérience et en sachant avec quelle force la terre attire, nous pouvons indirectement apprendre quelle est l’importance de la masse de la terre ! Cette expérience a été appelée « pesée de la terre ». Cavendish affirma qu’il pesait la terre, mais ce qu’il mesurait était le coefficient G de la loi de gravitation. C’est la seule manière par laquelle la masse de la terre peut être déterminée. G fut trouvé égal à

6,670 × 10− 11 newton ⋅ m² /kg².

Il est difficile d’exagérer l’importance de l’effet sur l’histoire de la science produit par ce grand succès de la théorie de la gravitation. Comparez la confusion, l’absence de confiance, les connaissances incomplètes qui régnaient dans les années antérieures, avec leurs débats sans fin et leurs paradoxes, comparez tout cela avec la clarté et la simplicité de cette loi — ce fait que toutes les lunes et les planètes et les étoiles disposent d’une loi aussi simple qui les gouverne et, de plus, que l’homme puisse la comprendre et en déduire comment les planètes doivent se déplacer ! Cela est la raison du succès des sciences dans les années qui suivirent, car on a eu l’espoir que les autres phénomènes du monde pourraient également suivre des lois aussi belles et aussi simples.

Fig. 5-13. Un diagramme simplifié de l’appareil utilisé par Cavendish pour vérifier la loi de la gravitation universelle pour de petits objets et pour mesurer la constante de gravitation G.

5-7 Qu’est-ce que la gravitation ?

Mais est-ce bien une loi si simple ? Qu’en est-il de son mécanisme ? Tout ce que nous avons fait est de décrire comment la terre se déplace autour du soleil, mais nous n’avons pas dit ce qui la fait se déplacer. Newton ne fit pas d’hypothèses sur cela ; il fut satisfait de trouver ce qui se passait, sans pénétrer dans le mécanisme. Personne depuis n’a donné aucun mécanisme. Il est caractéristique des lois physiques qu’elles aient ce caractère abstrait. La loi de conservation de l’énergie est un théorème concernant les quantités qui doivent être calculées et ajoutées, sans aucune référence au mécanisme, et de même les grandes lois de la mécanique sont des lois mathématiques quantitatives pour lesquelles aucun mécanisme n’est disponible. Pourquoi pouvons-nous utiliser les mathématiques pour décrire la nature sans un mécanisme derrière elle ? Personne ne le sait. Il nous faut continuer ainsi parce que c’est la voie qui est la plus fructueuse.

Plusieurs mécanismes pour la gravitation ont été suggérés. Il est intéressant de considérer l’un d’entre eux, envisagé de temps à autre par plusieurs personnes. Au début on est tout à fait excité et heureux lorsqu’on le « découvre », mais on trouve rapidement qu’il n’est pas correct. Il fut découvert pour la première fois aux environs de 1750. Supposons qu’il y ait beaucoup de particules se déplaçant dans l’espace à une très grande vitesse dans toutes les directions et n’étant seulement que légèrement absorbées en traversant la matière. Lorsqu’elles sont absorbées, elles donnent une impulsion à la terre. Cependant, puisqu’il y en a autant se déplaçant dans un sens que dans l’autre, les impulsions s’équilibrent. Mais lorsque le soleil est proche, les particules venant vers la terre au travers du soleil sont partiellement absorbées, ce qui fait qu’il y en a moins qui viennent du soleil que du côté opposé. De ce fait, la terre sent une impulsion résultante dirigée vers le soleil, et il ne faut pas longtemps pour voir qu’elle est inversement proportionnelle au carré de la distance — à cause de la variation de l’angle solide que le soleil sous-tend lorsque nous varions la distance. Qu’y a-t-il de faux dans le mécanisme ? Il contient certaines conséquences nouvelles qui ne sont pas vraies. Cette idée particulière a l’inconvénient suivant : la terre tournant autour du soleil va frapper davantage de particules qui viennent à sa rencontre sur sa face avant que sur sa face arrière (lorsque vous courez dans la pluie, la pluie sur votre figure est plus intense que celle sur l’arrière de votre tête !). De ce fait, il y aurait davantage d’impulsion donnée à la terre sur le devant, et la terre sentirait une résistance au mouvement et se ralentirait sur son orbite. On peut calculer combien de temps il faudrait à la terre pour s’arrêter sous l’effet de cette résistance et cela ne laisserait pas assez de temps à la terre pour être toujours sur son orbite, aussi ce mécanisme ne fonctionne-t-il pas. Aucun mécanisme n’a jamais été inventé qui « explique » la gravitation sans prédire du même coup d’autres phénomènes qui n’existent pas.

Nous discuterons ensuite du rapport possible de la gravitation aux autres forces. Il n’y a pas à l’heure actuelle d’explication de la gravitation en termes d’autres forces. Ce n’est pas un aspect de l’électricité ou quelque chose du même genre, ce qui fait que nous n’avons aucune explication. Cependant la gravitation et les autres forces sont très semblables, et il est intéressant de remarquer les analogies. Par exemple la force de l’électricité entre deux objets chargés ressemble tout à fait à la loi de gravitation : la force de l’électricité est une constante, avec un signe moins, que multiplie le produit des charges et qui varie inversement comme le carré de la distance. Elle est dans la direction opposée — ce qui est semblable se repousse. Mais n’est-il pas déjà très remarquable que les deux lois comportent la même fonction de la distance ? Peut-être la gravitation et l’électricité sont-elles beaucoup plus étroitement reliées que nous ne le pensons. Plusieurs tentatives ont été essayées de les unifier ; ce qu’on appelle la théorie des champs unifiés n’est qu’une tentative très élégante de combiner l’électricité et la gravitation ; mais ce qui est intéressant dans la comparaison entre la gravitation et l’électricité, c’est l’intensité relative de ces forces. Toute théorie qui les contient toutes les deux doit également permettre une prévision sur l’intensité de la gravitation.

Si nous prenons dans certaines unités naturelles la répulsion de deux électrons (la charge universelle de la nature) due à l’électricité, et l’attraction des deux électrons due à leurs masses, nous pouvons mesurer le rapport de la répulsion électrique à l’attraction gravitationnelle. Le rapport est indépendant de la distance et une constante fondamentale de la nature. Le rapport est indiqué sur la Fig. 5-14. L’attraction gravitationnelle relativement à la répulsion électrique entre deux électrons est 1 divisé par 4,17 × 10⁴² ! La question est : d’où provient un nombre aussi grand ? Il n’est pas accidentel comme le rapport du volume de la terre au volume d’une puce. Nous avons considéré deux aspects naturels de la même chose, un électron. Ce nombre fantastique est une constante naturelle, aussi contient-il quelque chose de très profond dans sa nature. D’où peut provenir un nombre aussi énorme ? Certains disent que nous trouverons un jour « l’équation universelle », et de cette équation une des racines sera le nombre. Il est très difficile de trouver une équation pour laquelle un nombre aussi fantastique soit une racine naturelle. D’autres possibilités ont été avancées ; l’une est de le relier à l’âge de l’univers. Manifestement, nous devons trouver un autre nombre aussi grand quelque part. Mais voulons-nous dire l’âge de l’univers en années ? Non, parce que les années ne sont pas « naturelles » ; elles furent inventées par l’homme. À titre d’exemple de quelque chose de naturel, considérons le temps qu’il faut à la lumière pour traverser un proton, 10–24 seconde. Si nous comparons ce temps avec l’âge de l’univers, 2 × 10¹⁰ ans, la réponse est 10–42. Il en sort à peu près le même nombre de zéros, aussi a-t-on proposé que la constante gravitationnelle soit reliée à l’âge de l’univers. Si cela était le cas, la constante gravitationnelle devrait changer avec le temps, car au fur et à mesure que l’univers vieillit, le rapport de l’âge de l’univers au temps qu’il faut à la lumière pour traverser un proton augmenterait progressivement. Est-il possible que la constante gravitationnelle change avec le temps ? Bien sûr les changements seraient si petits qu’il est très difficile d’en être sûr.

Fig. 5-14. Les intensités relatives des interactions électriques et gravitationnelles entre deux électrons.

Une vérification à laquelle nous pouvons penser est de déterminer quel aurait été l’effet de ce changement pendant les 10⁹ dernières années, qui est approximativement le temps écoulé depuis l’apparition de la vie sur la terre jusqu’à maintenant, et un dixième de l’âge de l’univers.

À cette époque, il faudrait augmenter la constante de gravitation d’environ 10 pour cent. Il apparaît que si nous considérons la structure du soleil — l’équilibre entre le poids de sa matière et la vitesse à laquelle l’énergie radiative est créée en son sein —, nous pouvons déduire que si la gravitation était 10 pour cent plus forte, le soleil aurait été beaucoup plus que 10 pour cent plus lumineux — la puissance six de la constante de gravitation ! Si nous calculons ce qui arrive à l’orbite de la terre lorsque la gravitation change, nous trouvons que la terre était alors plus proche. Au total la terre aurait été d’environ 100 degrés centigrades plus chaude, et toute l’eau ne se serait pas trouvée dans la mer, mais sous forme de vapeur dans l’air, et ainsi la vie n’aurait pas pu commencer dans la mer. Aussi nous ne croyons pas que la constante de gravitation se modifie avec l’âge de l’univers. Mais de tels arguments comme celui que nous venons juste de donner ne sont pas très convaincants, et le débat n’est pas complètement clos.

C’est un fait que la force de gravitation est proportionnelle à la masse, la quantité qui est fondamentalement une mesure de l’inertie — de la difficulté de maintenir quelque chose qui tourne sur un cercle. Ainsi deux objets, l’un lourd et l’autre léger, tournant autour d’un objet beaucoup plus grand sur le même cercle à la même vitesse par l’effet de la gravitation, resteront ensemble parce que tourner sur un cercle nécessite une force qui est plus importante pour une masse plus grande. C’est-à-dire que la gravitation est plus importante pour une masse donnée dans l’exacte proportion qui veut que deux objets tournent ensemble. Si un des objets était plus proche que l’autre, il resterait plus proche ; c’est un parfait équilibre. De ce fait, Gagarine ou Titov auront trouvé les objets « sans poids » à l’intérieur de leur vaisseau spatial ; s’il leur arrive de laisser partir un morceau de craie, par exemple, il se déplacera autour de la terre selon exactement la même manière que le vaisseau spatial dans son ensemble, et ainsi il leur semblera qu’il reste suspendu devant eux dans l’espace. Il est extrêmement intéressant que cette force soit exactement proportionnelle à la masse avec une grande précision, car si elle n’était pas exactement proportionnelle, il y aurait certains effets dans lesquels l’inertie et le poids seraient différents. L’absence d’un tel effet a été vérifiée avec une très grande précision par une expérience réalisée d’abord par Eötvös en 1909 et plus récemment par Dicke. Pour toutes les substances essayées, les masses et les poids sont exactement proportionnels à raison d’une part dans 1 000 000 000, ou moins. C’est une expérience remarquable.

5-8 Gravitation et relativité

Un autre sujet méritant une discussion est la modification apportée par Einstein à la loi de gravitation de Newton. Malgré toute l’excitation qu’elle engendra, la loi de la gravitation de Newton n’est pas correcte ! Elle fut modifiée par Einstein pour tenir compte de la théorie de la relativité. Selon Newton, l’effet gravitationnel est instantané, c’est-à-dire que si nous devions déplacer une masse, nous sentirions immédiatement une nouvelle force à cause de la nouvelle position de cette masse ; par de tels moyens nous pourrions envoyer des signaux à une vitesse infinie. Einstein avança des arguments qui suggèrent que nous ne pouvons pas envoyer des signaux plus rapidement que la vitesse de la lumière, ainsi la loi de gravitation doit être fausse. En la corrigeant de telle sorte que l’on tient compte des retards, nous obtenons une nouvelle loi appelée la loi de gravitation d’Einstein. Une caractéristique de cette nouvelle loi qui est assez facile à comprendre est celle-ci : dans la théorie de la relativité d’Einstein, toute chose qui possède de l’énergie possède de la masse — au sens où elle est attirée gravitationnellement. Même la lumière qui a une énergie, possède une « masse ». Lorsqu’un faisceau lumineux qui contient de l’énergie passe près du soleil, le soleil attire le faisceau. Ainsi la lumière ne se déplace pas en ligne droite, mais elle est déviée. Pendant l’éclipse du soleil, par exemple, les étoiles qui sont autour du soleil doivent apparaître déplacées de l’endroit où elles se trouveraient si le soleil n’était pas là, et cela a été observé.

Finalement, comparons la gravitation avec d’autres théories. Dans les années récentes, nous avons découvert que toutes les masses sont faites de minuscules particules et qu’il y a plusieurs types d’interactions telles que les forces nucléaires, etc. Aucune de ces forces électriques ou nucléaires n’a jusqu’à présent permis d’expliquer la gravitation. Les aspects quantiques de la nature n’ont pas encore été appliqués à la gravitation. Lorsque l’échelle est si petite qu’il nous faut les effets quantiques, les effets gravitationnels sont si faibles que le besoin d’une théorie quantique de la gravitation ne s’est pas encore développé. D’un autre côté, pour trouver une cohérence dans nos théories physiques, il serait important de voir si la loi de Newton transformée en loi d’Einstein peut être à nouveau modifiée pour être en accord avec le principe d’incertitude. Cette dernière modification n’a pas encore été achevée.

1. Un rayon vecteur est une droite tracée à partir du soleil jusqu’à un point quelconque sur l’orbite de la planète.

2. C’est-à-dire de combien le cercle de l’orbite lunaire descend-il par rapport à la droite tangente à ce cercle au point où la lune se trouvait une seconde auparavant.

3. La démonstration n’est pas donnée dans ce cours.

Chapitre 6

Le comportement quantique

6-1 Mécanique atomique

La « mécanique quantique » est la description du comportement de la matière et de la lumière dans tous leurs détails et, en particulier, de tout ce qui se passe à l’échelle atomique. À très petite échelle, les choses ne se comportent en rien comme ce dont vous avez une expérience directe. Elles ne se comportent pas comme des ondes, elles ne se comportent pas comme des particules, elles ne se comportent pas comme des nuages, ni comme des boules de billard, ni comme des poids sur une corde, ni comme rien que vous ayez jamais vu.

Newton pensait que la lumière était faite de particules, mais on découvrit ensuite qu’elle se comportait comme une onde. Plus tard, cependant (au début du XXe siècle), on trouvera que la lumière se comportait quelquefois comme une particule. Historiquement, l’électron, par exemple, fut d’abord supposé se comporter comme une particule, puis on trouva qu’il se comportait en plusieurs points comme une onde. Il ne se comporte donc réellement ni comme l’une, ni comme l’autre. À l’heure actuelle nous avons abandonné ce dilemme et nous disons : « Il n’est ni l’une ni l’autre. »

Il y a heureusement une issue : les électrons se comportent exactement comme la lumière. Le comportement quantique des objets atomiques (électrons, protons, neutrons, photons, etc.) est le même pour tous, ce sont tous des « ondes-particules » ou comme vous voudrez les appeler. Ainsi, ce que nous apprenons sur les propriétés de l’électron (et que nous utiliserons pour nos exemples) s’appliquera également à toutes les « particules », y compris les photons de la lumière.

L’accumulation progressive d’information sur le comportement microscopique et atomique, durant le premier quart de ce siècle, donna quelques indications sur la façon dont les petits objets se comportent, mais produisit une confusion croissante qui fut finalement résolue en 1926 et 1927 par Schrödinger, Heisenberg et Born. Ils obtinrent finalement une description cohé- rente du comportement de la matière à petite échelle. dans ce chapitre nous allons nous occuper des caractéristiques principales de cette description.

Le comportement atomique étant tout à fait différent de notre expérience quotidienne, il est très difficile de s’y habituer et il apparaît singulier et mystérieux à tout le monde — aussi bien au physicien expérimenté qu’au novice. Même les experts ne le comprennent pas de la façon dont ils le voudraient et c’est parfaitement normal qu’il en soit ainsi, puisque toute expérience humaine directe, et toute intuition humaine s’appliquent à de grands objets. Nous savons ce que font les grands objets mais à petite échelle les choses ne font rien de la même façon. C’est pourquoi nous ne pouvons plus rien apprendre d’elles par notre expérience immédiate, mais seulement en faisant appel à l’abstraction et à l’imagination.

Dans ce chapitre, nous allons aborder immédiatement le point fondamental de ce comportement mystérieux sous son aspect le plus étrange. Nous avons choisi d’examiner un phénomène qui est impossible, absolument impossible à expliquer de façon classique et qui contient le cœur de la mécanique quantique. En réalité, il en contient même l’unique mystère. Nous ne pouvons pas faire disparaître le mystère en « expliquant » pourquoi les choses sont ainsi. Nous vous dirons seulement comment les choses se passent. Et, en vous le disant, nous vous aurons donné les particularités fondamentales de toute la mécanique quantique.

6-2 Une expérience avec des balles de fusil

Pour essayer de comprendre le comportement quantique des électrons, nous allons, grâce à un dispositif expérimental particulier, comparer et opposer leur comportement avec celui, plus familier, de particules telles que des balles de fusil et avec le comportement d’ondes telles que des ondes à la surface de l’eau. Nous considérons d’abord le comportement de balles de fusil dans le montage expérimental indiqué schématiquement sur la Fig. 6-1. Nous avons un fusil qui tire une série de coups. Ce n’est pas une très bonne arme du fait qu’elle disperse les balles (aléatoirement) avec une très large dispersion angulaire comme l’indique la figure. En face du fusil, nous avons disposé une paroi (faite d’une plaque de blindage) qui est percée de deux trous juste assez grands pour laisser passer une balle. Au-delà de cette paroi il y a une plaque d’arrêt (disons une épaisse plaque de bois) qui doit « absorber » les balles qui l’atteignent. Devant ce mur nous plaçons un objet que nous appellerons un « détecteur » de balles. Cela pourrait être une boîte contenant du sable. Toute balle qui entre dans le détecteur y est stoppée et reste dans la boîte. Quand nous le souhaitons, nous pouvons vider la boîte et compter le nombre de balles qui ont été attrapées. Le détecteur peut être déplacé d’avant en arrière le long de ce que nous appellerons l’axe x. Avec cet appareil nous pouvons trouver expérimentalement la réponse à la question : « Quelle est la probabilité pour qu’une balle qui est passée à travers un trou de la paroi puisse arriver sur la plaque d’arrêt à la distance x du centre ? » Tout d’abord vous devez bien comprendre qu’il nous faut parler en termes de probabilité — parce que nous ne pouvons pas dire où exactement ira un projectile particulier. Une balle qui atteint un trou peut très bien rebondir sur les bords du trou et achever sa course n’importe où. Nous entendons par « probabilité » la chance qu’a une balle d’atteindre le détecteur, ce que nous pouvons mesurer en comptant le nombre de balles qui arrivent dans le détecteur pendant un certain intervalle de temps et en prenant le rapport de ce nombre au nombre total qui a atteint la plaque d’arrêt dans ce même temps. Ou bien, si nous supposons que le fusil tire toujours à la même cadence pendant les mesures, la probabilité que nous cherchons est exactement proportionnelle au nombre de balles qui atteignent le détecteur pendant une unité de temps conventionnelle.

Fig. 6-1. Expérience d’interférence avec des balles de fusil.

Pour les besoins de notre démonstration, nous allons imaginer une expérience quelque peu idéalisée dans laquelle les balles ne sont pas de vraies balles, mais des balles indestructibles qui ne peuvent se couper en deux. Dans cette expérience, nous constatons que les balles arrivent toujours d’un seul coup et, quand nous trouvons quelque chose dans le détecteur c’est toujours une balle tout entière. Si nous diminuons de beaucoup la cadence de tir de l’arme, nous constatons qu’à un moment donné ou bien rien n’arrive, ou bien une balle — et exactement une seule — atteint la plaque d’arrêt. Et de même, les dimensions de ce qui arrive ne dépendent évidemment pas de la cadence de tir. Nous dirons que « les balles arrivent toujours comme des projectiles identiques ». Ce que nous mesurons avec notre détecteur est la probabilité d’arrivée d’un projectile. Et nous mesurons la probabilité comme une fonction de x. Le résultat de telles mesures avec cet appareil (nous n’avons jamais fait l’expérience, nous sommes donc réellement en train d’imaginer les résultats) est indiqué sur le graphique (c) de la Fig. 6-1. Sur ce graphique les probabilités sont indiquées horizontalement et les x verticalement de façon que l’échelle des x corresponde à celle du schéma de l’appareil. Nous appelons la probabilité P₁₂ parce que les balles peuvent être passées à travers le trou 1 ou à travers le trou 2. Vous ne serez pas surpris du fait que P₁₂ est grande près du milieu du graphique et devient petite lorsque x est très grand. Vous pouvez cependant vous demander pourquoi P₁₂ a son maximum en x = 0. Nous pouvons comprendre ce fait en refaisant notre expérience, tout d’abord après avoir fermé le trou 2, puis en fermant le trou 1. Quand le trou 2 est fermé, les balles peuvent seulement passer à travers le trou 1 et nous obtenons la courbe P₁ de la partie (b) de la figure. Comme vous l’attendez, le maximum de P₁ a lieu pour une valeur de x qui est dans l’alignement du fusil et du trou 1. Quand le trou 1 est fermé, nous obtenons la courbe symétrique P₂ qui est tracée sur la figure. P2 est la distribution de probabilité des balles qui passent par le trou 2. En comparant les parties (b) et (c) de la Fig. 6-1, nous obtenons le résultat important :

Les probabilités s’additionnent tout simplement. L’effet obtenu avec les deux trous ouverts est égal à la somme des effets obtenus séparément avec un seul trou ouvert. Pour une raison que vous verrez plus tard, nous interpréterons ce résultat comme l’observation de « pas d’interférence ». Voilà qui suffit pour les balles de fusil. Elles arrivent d’un seul coup, et leur probabilité d’arrivée montre qu’il n’y a pas d’interférence.

6-3 Une expérience avec des ondes

Nous allons considérer maintenant une expérience avec des ondes dans l’eau. L’appareil est indiqué schématiquement sur la Fig. 6-2. Nous avons une cuve peu profonde remplie d’eau. Un petit objet que nous appelons « source d’ondes » est agité de haut en bas par un moteur et produit des ondes circulaires. À la droite de la source nous avons à nouveau un mur avec deux trous, et, au-delà, un deuxième mur. Pour simplifier, nous supposons que celui-ci est un « absorbeur », de sorte que les ondes qui arrivent sur ce mur ne sont pas réfléchies. Cela peut être réalisé en construisant une « plage » de sable en pente douce. En face de cette plage nous plaçons un détecteur qui peut être déplacé d’avant en arrière dans la direction x comme auparavant. Le détecteur est maintenant un système qui mesure « l’intensité » du mouvement de l’onde. Vous pouvez imaginer quelque chose qui mesure la hauteur de la vague, mais dont l’échelle est graduée proportionnellement au carré de la hauteur réelle de façon que la mesure soit proportionnelle à l’intensité de l’onde. Notre détecteur est donc proportionnel à l’énergie qui est transportée par l’onde — ou plutôt à la quantité d’énergie qui est apportée au détecteur.

Fig. 6-2. Expérience d’interférence avec des ondes produites dans l’eau.

Avec notre appareil à ondes, la première chose à remarquer est que l’intensité peut prendre n’importe quelle valeur. Si la source vibre un tout petit peu, le détecteur recueille juste une toute petite vague. Si le mouvement de la source est plus important, l’intensité détectée est plus grande. L’intensité de l’onde peut avoir n’importe quelle valeur. Nous ne pouvons pas dire qu’il y ait la moindre apparence de « discrétion » dans l’intensité de l’onde.

Mesurons maintenant l’intensité de l’onde pour différentes valeurs de x (en gardant les mêmes conditions de fonctionnement de la source). Nous obtenons la courbe I₁₂ de la partie (c) de la figure, courbe qui, à première vue, semble intéressante.

Nous avons déjà démontré comment on obtient des courbes d’allure semblable quand nous avons étudié les interférences d’ondes électriques au volume I. Dans notre cas nous observons que l’onde initiale est diffractée par les trous et que de nouvelles ondes circulaires sont émises par chaque trou. Si nous fermons un trou à la fois et si nous mesurons la distribution d’intensité à l’absorbeur, nous trouvons la courbe d’intensité très simple qui est dessinée dans la partie (b) de la figure. I₁ est l’intensité venant du trou 1 (celle que nous trouvons en faisant la mesure avec le trou 2 fermé) et I₂ est l’intensité de l’onde venant du trou 2 (celle qui est obtenue quand le trou 1 est fermé).

L’intensité I₁₂ observée quand les deux trous sont ouverts n’est certainement pas la somme de I₁ et I₂. Nous disons que c’est « l’interférence » des deux ondes. À certains endroits (là où la courbe I₁₂ a ses maximums) les ondes sont « en phase » et les valeurs de pointe des amplitudes s’ajoutent pour donner une grande amplitude, et par conséquent une grande intensité. À ces endroits-là nous disons que les ondes « interfèrent constructivement ». Il y aura une telle interférence constructive chaque fois que la distance du détecteur à un trou est plus grande (ou plus courte) que la distance à l’autre trou d’un nombre entier de longueurs d’onde.

Aux endroits où les deux ondes atteignent le détecteur avec une différence de phase de π (elles sont alors « en opposition de phase »), le mouvement de l’onde résultant au niveau du détecteur est la différence des deux amplitudes. Les ondes « interfèrent destructivement » et nous obtenons une petite valeur de l’intensité de l’onde. Nous nous attendons à trouver de telles valeurs là où la distance entre le trou 1 et le détecteur diffère de la distance entre le trou 2 et le détecteur d’un nombre impair de demi-longueurs d’onde. Les petites valeurs de I₁₂ dans la Fig. 6-2 correspondent aux endroits où les deux ondes interfèrent destructivement.

Vous vous rappellerez que la relation quantitative entre I₁, I₂ et I₁₂ peut être exprimée de la façon suivante : la hauteur instantanée de la vague au niveau du détecteur, pour l’onde venant du trou 1, peut être écrite comme (la partie réelle de) h₁ eiωt, où « l’amplitude » h₁ est en général un nombre complexe. L’intensité est proportionnelle à la moyenne quadratique de la hauteur, ou, quand on utilise les nombres complexes à |h₁|². De même, pour le trou 2, la hauteur est h₂ eiωt et l’intensité est proportionnelle à |h₂|². Quand les deux trous sont ouverts, les hauteurs de chaque vague s’ajoutent pour donner la hauteur (h₁ + h₂) eiωt et l’intensité |h₁ + h₂|². En oubliant pour l’instant la constante de proportionnalité, les relations correctes pour des ondes qui interfèrent sont

Vous remarquerez que ce résultat est tout à fait différent du résultat obtenu avec des balles de fusil (Éq. 6.1). Si nous développons |h₁ + h₂|² nous voyons que

où δ est la différence de phase entre h₁ et h₂. En termes d’intensité, nous pourrions écrire

Le dernier terme de (6.4) est le « terme d’interférence ». En voilà assez pour les ondes dans l’eau. L’intensité peut prendre n’importe quelle valeur, et elle révèle un phénomène d’interférence.

6-4 Une expérience avec des électrons

Imaginons maintenant une expérience semblable avec des électrons, ainsi que le montre schématiquement la Fig. 6-3. Nous construisons un canon à électrons avec un fil de tungstène chauffé par un courant électrique et entouré d’une boîte de métal percée d’un trou. Si le fil est à un voltage négatif par rapport à la boîte, les électrons émis par le fil seront accélérés vers les parois et quelques-uns d’entre eux passeront à travers le trou. Tous les électrons qui sortiront du canon auront (à peu près) la même énergie. En face du canon, il y a à nouveau une paroi (juste une mince feuille de métal) percée de deux trous. Au-delà de cette paroi, une autre plaque servira de « plaque d’arrêt ». En face de cette plaque nous plaçons un détecteur mobile. Le détecteur peut être un compteur Geiger, ou encore mieux, un multiplicateur d’électrons connecté à un haut-parleur.

Fig. 6-3. Expérience d’interférence avec des électrons.

Disons tout de suite que vous ne devez pas tenter d’effectuer cette expérience (alors que vous pourriez l’avoir fait avec les deux précédentes). L’expérience n’a jamais été faite de cette façon. La difficulté vient de ce que l’appareil devrait être réalisé à une échelle incroyablement petite pour montrer les effets qui nous intéressent. Nous sommes en train de faire une « expérience de pensée » que nous avons choisie parce qu’elle permet un raisonnement facile. Nous connaissons les résultats qui seraient obtenus parce qu’il y a beaucoup d’expériences qui ont été faites dans lesquelles l’échelle et les proportions ont été choisies pour montrer les effets que nous allons décrire.

La première chose que nous remarquons avec notre expérience sur les électrons est que nous entendons des « clic » aigus, provenant du détecteur (c’est-à-dire du haut-parleur). Et tous les « clic » sont semblables. Il n’y a pas de « demi-clic ».

Nous devons aussi remarquer que les « clic » arrivent de façon complètement erratique. Quelque chose comme : clic... clic-clic... clic...... clic... clic-clic... clic..., etc., exactement comme fait un compteur Geiger, ce que vous avez sans aucun doute déjà entendu. Si nous comptons tous les « clic » qui se produisent pendant un temps suffisant — disons quelques minutes — et si nous comptons de nouveau pendant un autre intervalle de temps égal, nous trouvons que les deux nombres sont très proches l’un de l’autre. Nous devons donc parler du rythme moyen auquel les « clic » sont entendus (en moyenne tant et tant de « clic » par minute).

Lorsque nous déplaçons le détecteur, le rythme avec lequel les « clic » se produisent est plus rapide ou plus lent, mais la grandeur (l’intensité du bruit) de chaque « clic » est toujours la même. Si nous abaissons la température du fil dans le canon, le rythme des « clic » diminue, mais chaque « clic » a encore le même son. De plus, si nous placions deux détecteurs différents devant la plaque d’arrêt, nous constaterions que l’un ou l’autre émettrait des « clic », mais jamais les deux à la fois (sauf si par hasard les deux « clic » étaient émis si peu de temps l’un après l’autre que notre oreille ne pût percevoir la différence). Nous concluons donc que tout ce qui arrive sur la plaque d’arrêt y arrive « en paquet ». Tous les « paquets » ont la même taille : ce sont seulement des « paquets » entiers qui arrivent, et ils arrivent d’un seul coup sur la plaque d’arrêt. Nous dirons : « Les électrons arrivent toujours en paquets identiques. »

Comme nous l’avons fait pour notre expérience avec des balles de fusil, nous pouvons maintenant nous mettre à chercher expérimentalement la réponse à la question : « Quelle est la probabilité relative pour qu’un “paquet” électronique arrive sur la plaque d’arrêt à différentes distances x du centre ? » Comme auparavant nous obtenons la probabilité relative en observant le rythme des « clic », tout en maintenant le canon dans les mêmes conditions de fonctionnement. La probabilité pour qu’un paquet arrive en un point particulier x est proportionnelle au rythme moyen des « clic » en x.

Le résultat de notre expérience est l’intéressante courbe P12 de la partie (b) de la Fig. 6-3. Oui ! Voilà ce que donnent les électrons.

6-5 Interférences des ondes d’électrons

Essayons maintenant d’analyser la courbe de la Fig. 6-3 pour voir si nous pouvons comprendre le comportement des électrons. La première chose que nous pouvons dire est que, comme ils viennent en paquets, chaque paquet, que nous pourrions tout aussi bien appeler un électron, est passé soit à travers le trou 1, soit à travers le trou 2. Écrivons cela sous la forme d’une « proposition » :

Proposition A : Chaque électron passe soit à travers le trou 1, soit à travers le trou 2.

En supposant la proposition À vraie, tous les électrons qui atteignent la plaque d’arrêt peuvent être divisés en deux classes : (1) ceux qui sont passés par le trou 1 et (2), ceux qui sont passés par le trou 2. La courbe que nous avons observée doit alors être la somme des effets des électrons qui sont passés à travers le trou 1 et des effets de ceux qui sont passés à travers le trou 2. Essayons de vérifier cette idée par une expérience. Tout d’abord nous ferons une mesure pour les électrons qui passent par le trou 1. Nous obturons le trou 2 et nous faisons notre compte des « clic » du détecteur. Du rythme de ces « clic », nous déduisons P₁. Le résultat de la mesure est indiqué par la courbe P₁ de la partie (b) de la Fig. 6-3. Le résultat semble tout à fait raisonnable. De façon semblable, nous mesurons P₂, la distribution de probabilité des électrons qui passent par le trou 2. Le résultat de cette mesure est aussi tracé sur la figure.

Il est clair que le résultat obtenu avec les deux trous ouverts P₁₂ n’est pas la somme des probabilités pour chaque trou seul P1 et P₂. Par analogie directe avec notre expérience d’ondes dans l’eau nous disons : « il y a interférence ».

Pour des électrons : P₁₂ ≠ P₁ + P₂.     (6.5)

Comment une telle interférence peut-elle se produire ? Nous pourrions peut-être dire : « Bien, cela signifie probablement qu’il n’est pas vrai que les paquets passent soit à travers le trou 1, soit à travers le trou 2, parce que, s’ils faisaient cela, les probabilités s’ajouteraient. Peut-être passent-ils d’une façon plus compliquée. Ils se coupent en deux et... » Mais non ! Ils ne le peuvent pas, ils arrivent toujours en paquets... « Bien, peut-être quelques-uns vont-ils à travers le trou 1, puis reviennent à travers 2, puis reviennent encore quelques fois, ou encore passent par un chemin plus compliqué... ainsi, en obturant le trou 2, nous modifions les chances pour qu’un électron qui a démarré par le trou 1 atteigne finalement la plaque d’arrêt... » Mais attention ! Il y a certains points où très peu d’électrons arrivent lorsque les deux trous sont ouverts, mais qui en reçoivent beaucoup si nous fermons un trou, par conséquent c’est comme si le fait de fermer un trou augmentait le nombre d’électrons venant de l’autre trou. Par contre, remarquez qu’au centre de la figure, P12 est deux fois plus grand que P₁ + P₂. Tout se passe comme si en fermant un trou on diminuait le nombre d’électrons qui passe par l’autre trou. Il semble difficile d’expliquer les deux effets par l’hypothèse que les électrons suivent des chemins compliqués.

Tout cela est tout à fait mystérieux. Et plus on y pense et plus cela paraît mystérieux. Beaucoup d’idées ont été élucubrées pour essayer d’expliquer la courbe P₁₂ en termes de chemins compliqués qu’emprunteraient les électrons pour passer à travers les trous. Aucune de ces idées n’a pleinement réussi. Aucune ne peut expliquer la bonne courbe pour P₁₂ en fonction de P₁ et P₂.

Cependant, et c’est assez surprenant, les mathématiques reliant P₁ et P₂ à P₁₂ sont extrêmement simples. Car P₁₂ est juste la courbe I₁₂ de la Fig. 6-2, et cette courbe-là était extrêmement simple. Ce qui atteint la plaque d’arrêt peut être décrit par deux nombres complexes que nous appellerons ϕ₁, et ϕ₂ (ce sont évidemment des fonctions de x). Le module de ϕ₁ donne l’effet avec seulement le trou 1 ouvert, c’est P₁ = |ϕ₁|². L’effet avec seulement le trou 2 ouvert est donné de la même façon. C’est-à-dire P₂ = |ϕ₂|². Et l’effet combiné des deux trous est exactement P₁₂ = |ϕ₁ + ϕ₂|². Les mathématiques sont donc les mêmes que celles que nous avions pour des ondes dans l’eau ! (Il est difficile de voir comment on pourrait obtenir un aussi simple résultat à partir d’une règle compliquée d’après laquelle les électrons passeraient et repasseraient à travers l’écran suivant quelque étrange trajectoire.)

Nous concluons ainsi : les électrons arrivent en paquets, comme des particules, et la probabilité d’arrivée de ces paquets est distribuée comme l’intensité d’une onde. C’est dans ce sens que les électrons se comportent « quelquefois comme des particules et quelquefois comme des ondes ».

Incidemment, lorsque nous avons traité les ondes classiques, nous avons défini l’intensité comme la moyenne dans le temps du carré de l’amplitude de l’onde et nous avons employé les nombres complexes comme un moyen mathématique simplifiant l’analyse. Mais, en mécanique quantique, il se trouve que les amplitudes doivent être représentées par des nombres complexes. Les parties réelles seules ne suffisent pas. Pour l’instant cela n’est qu’un détail technique puisque les formules ont exactement la même allure.

Puisque la probabilité d’arrivée avec les deux trous ouverts se calcule si simplement, bien qu’elle ne soit pas égale à (P₁ + P₂), il n’y a vraiment rien d’autre à ajouter. Mais le fait que la nature se comporte réellement ainsi implique un grand nombre de subtilités. Nous voudrions maintenant illustrer quelques-unes de ces subtilités. Tout d’abord, comme le nombre des électrons qui arrivent en un point donné n’est pas égal au nombre de ceux qui passent par le trou 1 plus le nombre de ceux qui passent par le trou 2, comme nous l’aurions conclu de la proposition A, nous devons conclure sans aucun doute que la proposition A est fausse. Il n’est pas vrai que les électrons passent soit à travers le trou 1, soit à travers le trou 2. Mais cette conclusion peut être vérifiée par une autre expérience.

6-6 En observant les électrons

Nous allons maintenant essayer l’expérience suivante. Nous ajoutons à notre appareil à électrons une forte source de lumière, placée derrière la paroi et entre les deux trous comme l’indique la Fig. 6-4. Nous savons que les charges électriques diffusent la lumière. Ainsi lorsqu’un électron traverse la paroi, de quelque façon que ce soit, et qu’il se dirige vers le détecteur, il diffuse de la lumière vers notre œil et nous pouvons voir où l’électron va. Si, par exemple, un électron passait à travers le trou 2, suivant le chemin indiqué sur la Fig. 6-4, nous verrions un éclair lumineux provenant du voisinage du point A. Si un électron passait à travers le trou 1, nous nous attendrions à voir un éclair provenant du voisinage du trou supérieur. S’il arrivait que nous apercevions de la lumière des deux endroits à la fois, l’électron s’étant coupé en deux... Mais faisons plutôt l’expérience !

Voilà ce que nous voyons : chaque fois que nous entendons un « clic » provenant de notre détecteur d’électrons (devant la plaque d’arrêt), nous voyons aussi un éclair de lumière provenant soit du trou 1, soit du trou 2, mais jamais des deux à la fois ! Et nous obtenons le même résultat quelle que soit la façon dont nous plaçons le détecteur. De cette observation, nous concluons que, lorsque nous observons les électrons, nous trouvons qu’ils passent à travers l’un ou l’autre trou. Expérimentalement la proposition A est nécessairement vraie.

Alors, qu’y a-t-il de faux dans notre argument contre la proposition A ? Pourquoi P₁₂ n’est-il pas exactement égal à P₁ + P₂ ? Revenons à l’expérience ! Suivons les électrons et essayons de trouver ce qu’ils font. Pour chaque position (en x) du détecteur nous compterons les électrons qui arrivent et nous noterons aussi par quel trou ils sont passés en observant les éclairs. Nous noterons les faits de la façon suivante : chaque fois que nous entendrons un « clic » nous compterons un coup dans la colonne 1, si nous voyons un éclair près du trou 1, et, si nous voyons un éclair près du trou 2, nous compterons un coup dans la colonne 2. Chaque électron qui arrive est enregistré dans l’une des deux classes : ceux qui passent par le trou 1 et ceux qui passent par le trou 2. Du nombre enregistré dans la colonne 1 nous déduisons la probabilité P′₁ pour qu’un électron atteigne le détecteur à travers le trou 1 et, du nombre enregistré dans la colonne 2 nous déduisons P′₂ , la probabilité pour qu’un électron atteigne le détecteur par le trou 2. Si, maintenant, nous répétons une telle mesure pour de nombreuses valeurs de x, nous obtenons les courbes P′₁, et P′₂ que montre la partie (b) de la Fig. 6-4.

Fig. 6-4. Une autre expérience avec des électrons.

Bien, ce résultat n’est pas trop surprenant ! Nous obtenons pour P₁′ quelque chose de très similaire à ce que nous avons obtenu auparavant en fermant le trou 2 ; et P′₂ est semblable à ce que nous avons obtenu en fermant le trou 1. Il ne se passe donc rien de compliqué comme le fait de passer à travers les deux trous à la fois. Lorsque nous les observons, les électrons traversent la paroi exactement comme nous nous y attendions. Que les trous soient ouverts ou fermés, tous ceux que nous voyons venir par le trou 1 sont distribués de la même façon, que le trou 2 soit ouvert ou fermé.

Mais attendez ! Qu’obtenons-nous maintenant pour la probabilité totale, c’est-à-dire la probabilité pour qu’un électron atteigne le détecteur par n’importe quel chemin ? Nous avons déjà cette information. Faisons comme si nous n’avions jamais regardé les éclairs lumineux et mettons ensemble les « clic » du détecteur que nous avions séparés en deux colonnes. Nous n’avons qu’à additionner les nombres. Nous trouvons alors P′₁₂ = P₁ + P₂ pour la probabilité pour qu’un électron atteigne la plaque d’arrêt en passant par l’un ou l’autre trou. Cela signifie que depuis que nous avons réussi à observer par quel trou chaque électron passait, nous n’obtenons plus l’ancienne courbe d’interférence P₁₂ mais une nouvelle P′₁₂ où n’apparaît aucune interférence ! Si nous éteignons la lumière, la courbe P₁₂ est restaurée.

Il nous faut conclure que la répartition des électrons sur l’écran est différente lorsque nous les observons et lorsque nous ne les observons pas. C’est peut-être en allumant notre source de lumière que nous changeons tout. Les électrons doivent être très délicats et, en diffusant les électrons, la lumière leur donne sans doute un choc qui modifie leur mouvement. Nous savons qu’appliqué à une charge le champ électrique de la lumière exerce une force sur elle. Nous devrions peut-être nous attendre à ce que le mouvement soit modifié. Quoi qu’il en soit la lumière exerce une grande influence sur les électrons. En essayant d’« observer » les électrons, nous avons modifié leur mouvement. Autrement dit, le choc donné à l’électron lorsqu’il diffuse un photon est suffisant pour modifier son mouvement et le faire atterrir là où P₁₂ est minimum alors que, sans ce choc, il aurait été là où P₁₂ est maximum ; c’est pourquoi nous ne voyons plus d’effet du genre d’une interférence de deux ondes.

Vous pourriez rétorquer : « N’utilisez pas une source si brillante ! Diminuez la brillance ! Les ondes lumineuses seront alors plus faibles et ne perturberont plus autant les électrons. Sûrement, en diminuant de plus en plus la lumière, les ondes deviendront si faibles qu’elles ne donneront plus qu’un effet négligeable. » D’accord. Essayons. La première chose que nous observons est que les éclairs lumineux diffusés par les électrons ne deviennent pas plus faibles. Ce sont toujours les mêmes éclairs. La seule chose qui se produit lorsque l’on diminue la lumière est que, quelquefois, nous entendons un « clic » provenant du détecteur mais nous ne voyons pas d’éclair du tout. Les électrons sont passés sans être vus. Ce que nous sommes en train d’observer c’est que la lumière se comporte aussi comme les électrons ; nous savions qu’elle était « ondulatoire » et maintenant nous trouvons qu’elle est aussi « corpusculaire ». Elle arrive toujours — ou elle est toujours diffusée — par paquets que nous appelons « photons ». Lorsque nous diminuons l’intensité de la source nous ne changeons pas la taille des photons, mais seulement le rythme auquel ils sont émis. Cela explique pourquoi quelques électrons passent sans être vus lorsque notre source est faible. C’est qu’il n’y avait pas de photons dans le voisinage lorsque l’électron est passé.

Tout cela est un petit peu décourageant. S’il est vrai que, lorsque nous « voyons » un électron, nous voyons toujours le même éclair, alors les électrons que nous voyons sont toujours des électrons perturbés. Revenons à l’expérience avec une source faible. Maintenant, lorsque nous entendrons un « clic » dans le détecteur, nous l’inscrirons dans l’une des trois colonnes suivantes : dans la colonne (1) les électrons vus près du trou 1, dans la colonne (2) les électrons vus près du trou 2 et dans la colonne (3) les électrons que nous n’aurons pas vus. Quand nous faisons le bilan de nos données (en calculant les probabilités) nous trouvons les résultats suivants : les électrons « vus près du trou 1 » ont une distribution comme P′₁ ; ceux « vus près du trou 2 » ont une distribution comme P′₂ (si bien que les électrons « vus, soit près du trou 1, soit près du trou 2 » ont une distribution comme P′₁₂) ; et ceux « qui n’ont pas été vus du tout » ont une distribution « ondulatoire » exactement comme P₁₂ dans la Fig. 6-3 ! Si les électrons ne sont pas vus nous avons des interférences !

Tout cela est compréhensible. Lorsque nous ne voyons pas l’électron, aucun photon ne le perturbe, et quand nous le voyons c’est qu’un photon l’a perturbé. La perturbation a toujours la même grandeur car les photons de la lumière produisent tous des effets de même grandeur et l’effet de la diffusion des photons est suffisant pour empêcher tout effet d’interférence.

N’y a-t-il pas quelque moyen de voir les électrons sans les perturber ? Nous avons appris dans un précédent chapitre que l’impulsion transportée par un « photon » est inversement proportionnelle à sa longueur d’onde (p = h/λ). Il est certain que le choc donné à l’électron lorsque le photon est diffusé vers notre œil dépend de l’impulsion du photon. Ah ! Ah ! Mais alors, si nous voulions ne perturber l’électron que légèrement nous n’aurions pas dû diminuer l’intensité de la lumière, mais nous aurions dû diminuer sa fréquence (c’est-à-dire augmenter sa longueur d’onde). Utilisons de la lumière de couleur plus rouge. Nous pourrions même employer de l’infrarouge ou des ondes radioélectriques (comme celles du radar), et « voir » où l’électron va à l’aide d’un appareil qui peut « voir » de la lumière ayant ces grandes longueurs d’onde. Si nous utilisons de la lumière plus « douce », nous pouvons peut-être éviter de perturber autant les électrons.

Essayons l’expérience avec de plus grandes longueurs d’onde. Nous allons nous contenter de répéter notre expérience avec, chaque fois, une lumière ayant une plus grande longueur d’onde. Au début rien ne semble changer. Les résultats sont les mêmes. Puis quelque chose de terrible se produit. Vous vous rappelez que lorsque nous avons discuté le microscope, nous avons remarqué que la nature ondulatoire de la lumière entraînait une limitation de la distance minimum qu’il peut y avoir entre deux points pour qu’ils soient perçus comme deux points séparés. Cette distance est de l’ordre de la longueur d’onde de la lumière. De même maintenant, lorsque nous prenons une longueur d’onde plus grande que la distance entre nos trous, nous voyons un grand éclair indistinct lorsque la lumière est diffusée par les électrons. Nous ne pouvons plus dire par quel trou l’électron est passé ! Nous savons seulement qu’il est passé quelque part ! Et c’est juste avec de la lumière de cette couleur que nous trouvons que les chocs donnés à l’électron sont assez petits pour que P′₁₂ commence à ressembler à P₁₂ — c’est-à-dire pour que nous commencions à obtenir quelques effets d’interférence. Et c’est seulement pour des longueurs d’onde beaucoup plus grandes que la distance entre les trous (et, par conséquent, lorsque nous n’avons aucune chance de pouvoir dire par où un électron est passé), que la perturbation due à la lumière devient suffisamment petite pour que nous obtenions à nouveau la courbe P₁₂ de la Fig. 6-3.

Avec notre expérience, nous trouvons qu’il est impossible de régler une source de lumière de telle façon que l’on puisse dire par quel trou un électron est passé et, en même temps, pour qu’elle ne perturbe pas la figure d’interférence. Heisenberg a suggéré que ces lois de la nature, alors nouvelles, ne pouvaient être cohérentes que s’il existait une limitation fondamentale de nos capacités d’observation, limitation qui n’avait pas été reconnue jusque-là. Il proposa comme un principe général son principe d’incertitude que nous pouvons énoncer de la façon suivante, dans les termes de l’expérience précédente : « Il est impossible de construire un appareil pour déterminer par quel trou un électron est passé, sans que cet appareil ne perturbe suffisamment les électrons pour détruire la figure d’interférence. » Si un appareil est capable de déterminer par quel trou l’électron est passé il ne peut pas être assez délicat pour ne pas perturber de façon essentielle la figure d’interférence. Personne n’a jamais trouvé (ni même esquissé) un moyen d’éviter le principe d’incertitude. C’est pourquoi nous devons admettre qu’il décrit une caractéristique fondamentale de la nature.

La théorie complète de la mécanique quantique, que nous employons maintenant pour décrire les atomes et, en fait, toute matière, repose sur l’exactitude du principe d’incertitude. Comme la mécanique quantique est une théorie qui réussit, notre croyance dans le principe d’incertitude s’en trouve renforcée. Mais si jamais un moyen de « vaincre » le principe d’incertitude était trouvé, la mécanique quantique donnerait des résultats incohérents et devrait être rejetée en tant que théorie correcte de la nature.

« Bien, direz-vous, mais que devient la proposition A ? Est-il vrai ou non, qu’un électron passe soit à travers le trou 1, soit à travers le trou 2 ? » La seule réponse qui puisse vous être donnée est que nous avons prouvé par l’expérience qu’il nous faut raisonner d’une façon tout à fait spéciale si nous voulons éviter d’obtenir des choses incohérentes. Ce que nous devons dire (pour éviter de faire des prédictions fausses) est ce qui suit. Si l’on observe les trous, ou plus précisément si l’on dispose d’un appareil capable de déterminer si les électrons passent à travers le trou 1 ou le trou 2, alors on peut dire qu’ils passent soit à travers le trou 1 soit à travers le trou 2. Mais, quand on n’essaye pas de dire quel est le chemin emprunté par les électrons, et quand il n’y a rien dans l’expérience pour perturber les électrons, alors on ne peut pas dire qu’un électron soit passé à travers le trou 1 ou le trou 2. Si l’on dit cela et que l’on commence à faire des déductions de cet énoncé on aboutit à des conclusions erronées. Voilà sur quelle corde raide logique il nous faut marcher si nous voulons décrire la nature avec succès.

Fig. 6-5. Figure d’interférence obtenue avec des balles de fusil : (a) réelle (schématisée), (b) observée.

Si de même que les électrons, toute matière doit être décrite en termes d’ondes, que deviennent les balles de fusil de notre première expérience ? Pourquoi, dans ce cas, n’avons-nous vu aucune figure d’interférence ? Il s’avère que les longueurs d’onde des balles étaient si petites que les franges d’interférence étaient devenues très fines. Si fines en fait, qu’aucun détecteur de taille finie ne pouvait permettre de séparer les maximums et les minimums. Ce que nous avons vu n’était qu’une sorte de moyenne, qui est la courbe classique. Sur la Fig. 6-5 nous avons essayé d’indiquer schématiquement ce qui se produit avec des objets de grande taille. La partie (a) de la figure montre la distribution de probabilité que l’on pourrait prédire pour des balles de fusil, en utilisant la mécanique quantique. Les oscillations rapides sont supposées représenter la figure d’interférence que l’on obtient pour des ondes de très courte longueur d’onde. Comme tout détecteur physique couvre plusieurs oscillations de la courbe de probabilité, les mesures donnent la courbe régulière de la partie (b) de la figure.

6-7 Premiers principes de la mécanique quantique

Nous allons maintenant résumer les conclusions principales de nos expériences. Nous mettrons toutefois les résultats sous une forme telle qu’ils seront encore vrais pour une classe plus générale d’expériences. Nous pouvons écrire ce résumé plus simplement si nous définissons d’abord une « expérience idéale » dans laquelle il n’y a aucune influence aléatoire externe, telle qu’une agitation, que nous ne puissions prendre en compte exactement. Nous serions tout à fait précis si nous disions : « Une expérience idéale est une expérience dans laquelle toutes les conditions initiales et finales sont complètement spécifiées. » Ce que nous appellerons un événement est, en général, un ensemble particulier de conditions initiales et finales. (Par exemple) « un électron quitte le canon à électrons, arrive au détecteur et rien d’autre ne se passe ».) Venons-en maintenant à notre résumé.

Résumé

(1) La probabilité d’un événement dans une expérience idéale est donnée par le carré du module d’un nombre complexe ϕ qui est appelé l’amplitude de probabilité :

(2) Lorsqu’un événement peut se produire suivant l’une ou l’autre de plusieurs voies, l’amplitude de probabilité pour l’événement est donnée par la somme des amplitudes de probabilité correspondant à chaque voie, considérée isolément. Il y a interférence :

(3) Si l’on réalise une expérience capable de déterminer la voie suivant laquelle l’événement s’est effectivement produit, la probabilité de l’événement est la somme des probabilités pour chacune des voies. L’interférence est détruite :

On aimerait encore demander : « Comment cela marche-t-il ? Quel mécanisme y a-t-il derrière cette loi ? » Personne n’a jamais trouvé de mécanisme derrière la loi. Personne ne peut « expliquer » plus que nous n’avons « expliqué ». Personne ne vous donnera une description plus profonde de la situation. Nous n’avons pas la moindre idée d’un mécanisme plus fondamental dont on pourrait déduire les résultats précédents.

Nous voudrions souligner une différence très importante entre les mécaniques classique et quantique. Nous avons parlé de la probabilité pour qu’un électron arrive à un certain endroit, dans des circonstances données. Nous avons implicitement supposé qu’avec notre dispositif expérimental (ou même avec le meilleur dispositif possible) il est impossible de prédire exactement ce qui allait arriver. Nous pouvons seulement prévoir des probabilités ! Si cela était vrai, cela signifierait que la physique a renoncé à essayer de prédire exactement ce qui se passe dans des conditions données. Oui ! la physique a renoncé. Nous ne savons pas comment prédire ce qui arrive dans des conditions données, et nous croyons en fait que c’est impossible et que la seule chose qui peut être prédite est la probabilité des différents événements. Il faut admettre que cela est une restriction à notre ancien idéal de compréhension de la nature. C’est peut-être un pas en arrière, mais personne n’a trouvé le moyen de l’éviter.

Nous allons faire maintenant quelques remarques sur une suggestion qui a été faite quelquefois pour essayer d’éviter la description que nous avons donnée. « Peut-être les électrons ont-ils une sorte de structure interne — avec des variables internes — que nous ne connaissons pas encore. C’est peut-être pour cela que nous ne pouvons pas prédire ce qui va se produire. Si nous pouvions examiner de plus près l’électron, nous serions capables de dire où il terminera sa course. » Pour autant que nous le sachions cela est impossible. Nous serions encore en difficulté. Supposons que nous ayons fait l’hypothèse qu’il y a à l’intérieur de l’électron un mécanisme quelconque qui détermine où l’électron doit atterrir. Ce mécanisme doit aussi déterminer par quel trou il doit passer. Mais nous ne devons pas oublier que ce qui est à l’intérieur de l’électron ne doit pas dépendre de ce que nous faisons, et en particulier du fait que nous avons fermé ou ouvert l’un des trous. Par conséquent, si un électron a déjà décidé, avant de partir (a) quel trou il empruntera et (b) où il atterrira, nous devrions trouver P₁ pour les électrons qui ont choisi le trou 1, P2 pour les électrons qui ont choisi le trou 2, et nécessairement la somme P₁ + P₂ pour ceux qui sont passés par l’un ou l’autre trou. Il ne semble pas qu’il y ait un moyen d’échapper à cela. Or nous avons vérifié expérimentalement que ce n’est pas le cas et personne n’a jamais trouvé le moyen de résoudre cette énigme. C’est pourquoi, pour le moment, nous devons nous contenter de calculer des probabilités. Nous disons « pour le moment », mais nous soupçonnons très fortement qu’il risque d’en être toujours ainsi — qu’il est impossible de résoudre cette énigme — et que la nature est réellement ainsi.

6-8 Le principe d’incertitude

Initialement, Heisenberg énonça le principe d’incertitude ainsi : si vous faites des mesures d’un objet et si vous pouvez déterminer la composante en x de son impulsion avec une incertitude Δp, vous ne pouvez pas en même temps connaître sa position en x avec une incertitude moindre que Δx = h/Δp, où h est un nombre bien défini, donné par la nature. On l’appelle la « constante de Planck » et il vaut approximativement 6,63 × 10–34 joules-seconde. Le produit des incertitudes sur la position et l’impulsion d’une particule à un instant donné doit être supérieur à la constante de Planck. Cela est un cas particulier du principe d’incertitude qui a été énoncé ci-dessus de façon plus générale. L’énoncé le plus général étant qu’on ne peut pas construire un appareil capable de déterminer comment l’alternative entre plusieurs voies est résolue sans du même coup détruire la figure d’interférence.

Montrons sur un cas particulier que le type de relation donné par Heisenberg doit être vrai si l’on ne veut pas avoir d’ennuis. Nous imaginons une modification de l’expérience de la Fig. 6-3, dans laquelle la paroi avec deux trous est faite d’une plaque montée sur des roulements de telle façon qu’elle puisse se déplacer librement de haut en bas (dans la direction des x), comme le montre la Fig. 6-6. En observant le mouvement de la plaque soigneusement, on peut dire par quel trou un électron est passé. Imaginons ce qui se passe lorsque le détecteur est placé en x = 0. Nous nous attendons à ce qu’un électron qui est passé par le trou 1 soit défléchi vers le bas par la plaque de façon à atteindre le détecteur. Comme la composante verticale de l’impulsion de l’électron est modifiée, la plaque doit reculer avec une impulsion identique dans la direction opposée. La plaque recevra donc un petit choc vers le haut. Si l’électron passe par le trou inférieur, la plaque devra ressentir un choc vers le bas. Il est clair que pour chaque position du détecteur, l’impulsion reçue par la plaque aura une valeur différente lors du passage par le trou 1 ou lors du passage par le trou 2. Bien ! Sans aucunement perturber les électrons, juste en observant la plaque, nous pouvons dire quel a été le chemin emprunté par l’électron.

Fig. 6-6. Une expérience dans laquelle on mesure le recul de la paroi.

Mais pour faire tout cela il est nécessaire de savoir quelle était l’impulsion de la plaque avant que l’électron ne la traverse. Ainsi, quand nous mesurons l’impulsion après le passage de l’électron, nous pouvons calculer de combien l’impulsion de la plaque a changé. Mais rappelez-vous que suivant le principe d’incertitude nous ne pouvons pas connaître au même instant la position de la plaque avec une précision arbitraire. Or si nous ne pouvons pas savoir où exactement est la plaque, nous ne pouvons pas dire exactement où se trouvent les trous. Ils sont dans des positions différentes à chaque passage d’un électron. Cela signifie que le centre de notre figure d’interférence a une position différente pour chaque électron. Les oscillations de la figure d’interférence seront donc étalées. Nous allons montrer quantitativement dans le chapitre suivant que si nous mesurons l’impulsion de la plaque avec assez de précision pour déterminer d’après la mesure du recul quel trou a été traversé, alors l’incertitude sur la position en x de la plaque sera suffisante, d’après le principe d’incertitude, pour déplacer la figure observée de haut en bas en x d’une distance égale à celle d’un maximum au plus proche minimum. Un tel déplacement aléatoire est justement suffisant pour étaler les franges de telle façon que l’on n’observe plus aucune interférence.

Le principe d’incertitude « protège » la mécanique quantique. Heisenberg a reconnu que s’il était possible de mesurer l’impulsion et la position simultanément avec une plus grande précision, la mécanique quantique s’effondrerait. C’est pourquoi il posa en principe qu’une telle chose était impossible. Les gens se mirent alors au travail et tentèrent de trouver un moyen de mesurer la position et l’impulsion de toutes sortes d’objets — écrans, électrons, boules de billard, etc. — avec une plus grande précision. Mais personne n’y a jamais réussi. La mécanique quantique maintient sa position périlleuse mais jusqu’ici correcte.

Chapitre 7

Vecteurs

7-1 La symétrie en physique

Dans ce chapitre nous introduisons un sujet qui est connu techniquement en physique sous le nom de symétrie dans les lois de physique. Le mot « symétrie » est utilisé ici avec une signification particulière et doit par conséquent être défini. Quand pouvons-nous dire qu’une chose est symétrique — comment pouvons-nous définir cela ? Lorsqu’un dessin est symétrique, un des côtés est en quelque sorte le même que l’autre. Le professeur Hermann Weyl a donné cette définition de la symétrie : une chose est symétrique si on peut la soumettre à une certaine opération et qu’elle apparaisse exactement la même après l’opération. Par exemple, si nous regardons un vase symétrique par rapport à sa gauche et à sa droite, et que nous le tournions de 180 degrés autour de son axe vertical, il apparaît identique. Nous adopterons la définition de la symétrie sous la forme plus générale de Weyl, et c’est dans ces conditions que nous discuterons la symétrie des lois physiques.

Supposons que nous construisions en un certain endroit une machine complexe, avec beaucoup d’interactions compliquées et de balles rebondissant un peu partout avec des forces entre elles, etc. Supposons que nous construisions exactement le même type d’équipement en un autre endroit, réalisant l’équivalence pièce par pièce, avec les mêmes dimensions et la même orientation, tout étant identique à l’exception d’un déplacement latéral sur une certaine distance. Si les deux machines démarrent avec les mêmes conditions initiales, en exacte correspondance, nous demandons : est-ce que l’une des machines va se comporter exactement de la même manière que l’autre ? Va-t-elle suivre tout le mouvement selon un parallélisme rigoureux ? La réponse peut parfaitement être négative, car nous pouvons mettre notre machine à une mauvaise place, elle peut être à l’intérieur d’un mur et les interférences avec le mur peuvent être telles que la machine ne fonctionne pas.

Toutes nos idées en physique demandent, pour être appliquées, une certaine dose de bon sens ; ce ne sont pas des idées purement mathématiques ou abstraites. Il nous faut comprendre ce que nous entendons lorsque nous disons que les phénomènes sont les mêmes lorsque nous déplaçons l’appareil vers de nouvelles positions. Nous voulons dire que nous déplaçons tout ce que nous croyons en rapport avec le phénomène ; si le phénomène n’est pas le même, nous suggérons que quelque chose en rapport avec lui n’a pas été déplacé, et nous nous mettons à sa recherche. Si nous ne le trouvons pas, nous disons alors que les lois de la physique ne possèdent pas cette symétrie. D’un autre côté, nous pouvons le trouver — nous espérons le trouver — si les lois physiques possèdent cette symétrie ; en regardant, nous pouvons découvrir, par exemple, que le mur pousse l’appareil. La question fondamentale est alors : si nous définissons les choses suffisamment bien, si on tient compte de toutes les forces essentielles à l’intérieur de l’appareil, si tout ce qui est nécessaire au fonctionnement est déplacé d’un endroit à l’autre, est-ce que les lois seront les mêmes ? Est-ce que le mécanisme marchera de la même manière ?

Il est clair que nous voulons déplacer tout l’équipement et les influences essentielles, mais que nous ne voulons pas tout déplacer dans l’univers — les planètes, les étoiles, etc. — car nous retrouverons exactement le même phénomène pour la raison évidente que nous sommes exactement ramenés au point de départ. Non, nous ne pouvons pas tout déplacer. Mais il apparaît en pratique qu’avec un peu d’intelligence sur ce qu’il faut déplacer, la machine fonctionnera. En d’autres termes, si nous n’allons pas à l’intérieur d’un mur, si nous connaissons l’origine des forces extérieures et si nous nous arrangeons pour que celles-ci soient également déplacées, alors la machine fonctionnera bien de la même manière aux deux endroits.

7-2 Translations

Nous limiterons notre analyse simplement à la mécanique, sur laquelle nous avons acquis maintenant déjà suffisamment de connaissances. Dans les chapitres précédents nous avons vu que les lois de la mécanique peuvent être résumées par un ensemble de trois équations pour chaque particule :

Cela signifie qu’il existe une manière de mesurer x, y, et z sur trois axes perpendiculaires et les forces suivant ces directions, de telle sorte que ces lois soient vraies. Ces grandeurs doivent être mesurées à partir d’une certaine origine, mais où placer l’origine ? Tout ce que Newton pourrait nous dire pour commencer est qu’il y a un certain endroit à partir duquel nous pouvons mesurer, peut-être le centre de l’univers, de manière que les lois soient correctes. Mais nous pouvons montrer immédiatement que nous ne pouvons jamais trouver le centre de l’univers, car nous ne verrons pas de différence si nous utilisons une autre origine. En d’autres termes, supposons qu’il y ait deux personnes — Dupont qui a placé son origine en un endroit, et Durand dans un système parallèle dont l’origine est quelque part ailleurs (Fig. 7-1). Lorsque Dupont mesure la position d’un point dans l’espace, il le trouve en x, y, et z (nous laisserons habituellement z de côté parce que le représenter embrouille la figure). D’un autre côté, en mesurant le même point, Durand obtiendra une valeur différente de x (pour pouvoir la distinguer, nous l’appellerons x′), et en principe un y différent, bien que dans notre exemple ils soient numériquement égaux. Ainsi nous avons

Pour terminer notre analyse, nous devons savoir quelles forces sont obtenues par Durand. On suppose que la force agit selon une certaine droite, et par force dans la direction x, nous voulons dire la partie de la force totale qui se trouve dans la direction x, ce qui est la grandeur de la force que multiplie le cosinus de son angle avec l’axe des x. Nous voyons maintenant que Durand utiliserait exactement la même projection que Dupont, ce qui nous donne l’ensemble des équations

Ce seront les relations entre les quantités observées par Dupont et Durand.

Fig. 7-1. Deux systèmes de coordonnées parallèles.

La question est alors la suivante : si Dupont connaît les lois de Newton, ces lois seront-elles également correctes si Durand essaye de les écrire ? Obtient-on quelque chose de différent suivant le choix de l’origine à partir de laquelle nous mesurons les points ? En d’autres termes, en supposant que les équations (7.1) soient vraies, et que les équations (7.2) et (7.3) donnent les relations entre les mesures, est-il vrai ou non que

Pour vérifier ces équations, nous allons dériver deux fois la formule donnant x′. Premièrement

Nous supposerons maintenant que l’origine de Durand est fixe (ne se déplace pas) par rapport à celle de Dupont ; a est alors une constante et da/dt = 0, ainsi nous trouvons que

dx′/dt = dx/dt′

et donc

d²x′/dt² = d²x/dt² ;

nous savons donc que l’équation (7.4a) devient

m (d²x/dt²) = Fx′.

(Nous supposons également que les masses mesurées par Dupont et Durand sont égales.) Ainsi l’accélération que multiplie la masse est la même pour les deux individus. Nous avons également trouvé la formule de Fx′, car en substituant dans l’équation (7.1), nous trouvons que

Fx′ = Fx.

De ce fait, les lois vues par Durand apparaissent les mêmes ; il peut également écrire les lois de Newton, avec des coordonnées différentes, et elles seront encore correctes. Cela signifie qu’il n’y a pas de manière unique de définir l’origine du monde, car les lois apparaîtront les mêmes, quelles que soient les positions à partir desquelles elles sont observées.

Ce qui suit est également vrai : s’il y a un équipement en un endroit avec un certain type de machine à l’intérieur, le même équipement en un autre endroit se comportera de la même manière. Pourquoi ? Parce qu’une machine analysée par Durand a exactement les mêmes équations que l’autre, analysée par Dupont. Puisque les équations sont les mêmes, les phénomènes apparaissent les mêmes. Ainsi la preuve qu’un appareil dans une position nouvelle se comporte de la même manière que dans l’ancienne position est la même que la démonstration que les équations se reproduisent identiquement si on les déplace dans l’espace. De ce fait, nous disons que les lois de la physique sont symétriques pour les déplacements de translation, symétriques dans ce sens que les lois ne changent pas lorsque nous opérons une translation de coordonnées. Bien entendu, il est assez évident, intuitivement, que c’est vrai, mais c’est intéressant et amusant d’en discuter la démonstration mathématique.

7-3 Rotations

Ce qui précède est le début d’une série de propositions toujours plus compliquées concernant les symétries d’une loi physique. La proposition suivante est que la direction suivant laquelle nous choisissons les axes ne doit pas faire de différence. En d’autres termes, si nous construisons un équipement en un endroit et le regardons fonctionner, et si près de là, nous construisons le même type d’appareil mais le faisons tourner d’un certain angle, va-t-il fonctionner de la même manière ? Évidemment pas, si c’est l’horloge du grand-père par exemple ! Si une horloge à balancier se tient verticale, elle fonctionne correctement, mais si on la penche d’un certain angle, le balancier tombe sur le côté de l’armoire et tout s’arrête. Le théorème est alors faux dans le cas de l’horloge à balancier, tant que nous n’incorporons pas la terre qui attire le pendule. De ce fait, nous pouvons faire une prédiction sur les horloges à balancier, si nous croyons à la symétrie des lois physiques par rapport aux rotations : quelque chose d’autre en plus du mécanisme de l’horloge joue un rôle dans l’opération d’une horloge à balancier, quelque chose d’extérieur que nous devons chercher. Nous pouvons également prédire que les horloges à balancier ne fonctionneront pas de la même manière en des endroits différents relativement à cette mystérieuse source d’asymétrie — peut-être la terre. En fait, nous savons qu’une horloge à balancier, envoyée dans un satellite artificiel, par exemple, ne marchera plus du tout, car il n’y a pas de force effective, et sur Mars elle ira à une vitesse différente. Les horloges à balancier dépendent de quelque chose en plus de leur simple mécanisme interne, elles dépendent de quelque chose d’extérieur. Une fois que nous avons reconnu ce facteur, nous voyons que nous devons tourner la terre en même temps que l’appareil. Bien sûr, nous n’avons pas à nous préoccuper de cela, c’est facile à faire ; il suffit d’attendre quelques instants, la terre a tourné, et l’horloge continue de battre dans la nouvelle position de la même manière qu’auparavant. Quand nous tournons dans l’espace, nos angles changent constamment dans l’absolu ; ces changements ne semblent pas nous affecter beaucoup, car dans la nouvelle position il nous semble que nous soyons dans les mêmes conditions que l’ancienne. Cela peut nous embrouiller, car il est vrai que dans la nouvelle position tournée, les lois sont les mêmes que dans l’ancienne position non tournée, mais il n’est pas vrai que si nous tournons un objet, il suit les mêmes lois que si nous ne le tournons pas. Si nous réalisons des expériences suffisamment délicates, nous pouvons dire que la terre tourne, mais pas qu’elle a tourné. En d’autres termes, nous ne pouvons pas repérer sa position angulaire, mais nous pouvons dire qu’elle est en train de changer.

Fig. 7-2. Deux systèmes de coordonnées ayant des orientations angulaires différentes.

Fig. 7-3. Composantes d’une force dans les deux systèmes.

Nous pouvons maintenant discuter les effets de l’orientation angulaire sur les lois physiques. Essayons de voir si le même jeu avec Dupont et Durand peut se répéter. Cette fois, pour éviter des complications sans fin, nous supposerons que Dupont et Durand utilisent la même origine (nous avons déjà montré que les axes peuvent être déplacés par translation en un autre endroit). Supposons que les axes de Durand aient tourné relativement aux axes de Dupont d’un angle θ. Les deux systèmes de coordonnées sont indiqués sur la Fig. 7-2, qui est limitée à deux dimensions. Considérons un point P ayant les coordonnées (x, y) dans le système de Dupont et (x′, y′) dans le système de Durand. Nous commencerons, comme dans le cas précédent, par exprimer les coordonnées x′ et y′ en fonction de x, y et θ. Pour ce faire, nous abaissons d’abord les perpendiculaires de P sur tous les axes, et traçons AB perpendiculaire à PQ. L’étude de la figure nous montre que x′ peut être écrit comme la somme de deux longueurs le long de l’axe x′ et y′ comme la différence de deux longueurs le long de AB. Toutes ces longueurs sont exprimées en fonction de x, y et θ par les équations (7.5), auxquelles nous avons ajouté une équation pour la troisième dimension.

L’étape suivante consiste à calculer suivant la même méthode générale que précédemment la relation entre les forces vues par les deux observateurs. Supposons qu’une force F, déjà analysée en ses composantes Fx et Fy (vue par Dupont) agisse sur une particule de masse m, située au point P de la Fig. 7-2. Pour simplifier, déplaçons les deux ensembles d’axes de telle sorte que l’origine soit en P comme indiqué sur la Fig. 7-3. Les composantes de F vues par Durand le long de ses axes, sont Fx′ et Fy′. Fx a des composantes le long de x′ et de y′, et de la même manière Fy a des composantes le long de ces deux axes. Pour exprimer Fx′ en fonction de Fx et de Fy, nous additionnons leurs composantes le long de l’axe x′, et d’une manière semblable nous pouvons exprimer Fy′ en fonction de Fx, et Fy. Les résultats sont

Il est intéressant de remarquer une espèce d’accident d’une extrême importance : les formules (7.5) et (7.6) des coordonnées de P et des composantes de F respectivement, ont une forme identique.

On suppose comme précédemment que les lois de Newton sont vraies dans le système de Dupont, et qu’elles sont exprimées par les équations (7.1). La question est à nouveau de savoir si Durand peut appliquer les lois de Newton — est-ce que les résultats seront corrects pour son système d’axes tournés ? En d’autres termes, si nous supposons que les équations (7.5) et (7.6) donnent les relations entre les mesures, est-il vrai ou non que

Pour vérifier ces équations, nous calculons les termes de gauche et de droite indépendamment et comparons les résultats. Pour calculer les termes de gauche, nous multiplions les équations (7.5) par m, et dérivons deux fois par rapport au temps, en supposant l’angle θ constant. Cela donne

Nous calculons le terme de droite de l’équation (7.7) en substituant les équations (7.1) dans les équations (7.6). Cela donne

Regardez ! Les termes de droite des équations (7.8) et (7.9) sont identiques et, par conséquent, nous concluons que si les lois de Newton sont correctes dans un système d’axes, elles le sont également dans tout autre système. Ce résultat, maintenant établi à la fois pour la translation et la rotation des axes, a certaines conséquences : premièrement, personne ne peut dire que ses axes particuliers sont uniques, mais bien sûr ils peuvent être plus pratiques pour certains problèmes particuliers. Par exemple, il est commode d’avoir la gravitation le long d’un axe, mais ce n’est pas nécessaire physiquement. Deuxièmement, cela signifie que tout équipement qui se suffit à lui-même, avec toutes les sources de forces à l’intérieur de l’appareil, agira exactement de la même manière quand il sera tourné d’un certain angle.

7-4 Vecteurs

Non seulement les lois de Newton, mais pour autant que nous sachions, les autres lois de physique également, ont ces deux propriétés que nous appelons invariance (ou symétrie) pour la translation et la rotation des axes. Ces propriétés sont si importantes qu’une technique mathématique a été développée pour en tirer parti lorsqu’on écrit et que l’on utilise les lois de la physique.

L’analyse précitée comprend un travail mathématique considérable et fastidieux. Pour réduire les détails au minimum dans le calcul de semblables questions, on a mis au point une technique mathématique très puissante. Cette technique appelée le calcul vectoriel fournit le titre de ce chapitre ; à proprement parler, cependant, c’est un chapitre sur la symétrie des lois physiques. Par les méthodes utilisées précédemment nous étions capable, de faire tout ce qui était nécessaire pour obtenir les résultats que nous cherchions, mais en pratique nous aimerions faire les choses plus facilement et plus rapidement, c’est pourquoi nous employons la technique vectorielle.

Nous avions commencé en remarquant certaines caractéristiques de deux espèces de grandeurs qui sont importantes en physique. (En réalité il y en a plus de deux, mais limitons-nous au début à ces deux.) Nous appelons l’une des deux, comme par exemple le nombre de pommes de terre dans un sac, une grandeur ordinaire, ou une grandeur sans direction, ou un scalaire. La température est un exemple de ce genre de grandeur. D’autres grandeurs qui sont importantes en physique ont une direction, par exemple, la vitesse : nous devons garder trace de la manière dont un corps se déplace, et non pas uniquement de la valeur de sa vitesse. La quantité de mouvement et la force ont également une direction, comme le déplacement : lorsque quelqu’un va d’un endroit à un autre dans l’espace, nous pouvons garder trace de la distance parcourue, mais si nous voulons savoir également où il est allé, nous devons préciser la direction.

Toutes les grandeurs qui ont des directions, telles qu’un déplacement dans l’espace, sont appelées des vecteurs.

Un vecteur c’est trois nombres. Dans le but de représenter un déplacement dans l’espace, par exemple, de l’origine à un certain point particulier P de position (x, y et z), il nous faut réellement trois nombres, mais nous allons inventer un symbole mathématique, r, différent de tout autre symbole mathématique que nous avons utilisé jusqu’à présent¹. Ce n’est pas un seul nombre, il représente trois nombres : x, y et z. Il signifie trois nombres, mais en réalité il ne signifie pas qu’eux, parce que si nous utilisons un système de coordonnées différent, les trois nombres se modifieront en x′, y′ et z′. Cependant, nous voulons conserver un appareil mathématique simple et nous utiliserons le même symbole pour représenter les trois nombres (x, y, z) et les trois nombres (x′, y′, z′). C’est-à-dire que nous utilisons le même symbole pour représenter le premier ensemble de trois nombres pour un système de coordonnées, et le deuxième ensemble de trois nombres si nous changeons de système de coordonnées. Cela a l’avantage que lorsque nous changeons le système de coordonnées, nous n’avons pas besoin de changer les lettres de nos équations. Si nous écrivons une équation en termes de x, y et z, et que nous utilisons alors un autre système, nous devons les changer en x′, y′ et z′, mais nous pouvons simplement écrire r, avec la convention qu’il représente (x, y, z) si nous utilisons un des systèmes d’axes, ou (x′, y′, z′) si nous utilisons un autre système d’axes, etc. Les trois nombres qui décrivent la grandeur dans un certain système de coordonnées sont appelés les composantes du vecteur dans la direction des axes de coordonnées de ce système. C’est-à-dire : nous utilisons le même symbole pour les trois lettres qui correspondent au même objet vu par rapport à des axes différents. Le simple fait que nous puissions dire « le même objet » implique une intuition physique sur la réalité d’un déplacement dans l’espace, qui est indépendant des composantes à partir desquelles nous le mesurons. Ainsi le symbole r représentera la même chose, quelle que soit la manière dont nous tournons les axes.

Supposons maintenant qu’il y ait une autre grandeur physique dirigée — toute autre grandeur possédant également trois nombres qui lui sont associés — comme la force, et que lorsque nous changeons les axes, ces trois nombres se transforment en trois autres nombres, selon une certaine règle mathématique. Cela doit être la même règle qui transforme (x, y, z) en (x′, y′, z′). En d’autres termes, toute grandeur physique associée avec trois nombres qui se transforment comme le font les composantes d’un déplacement dans l’espace, est un vecteur. Une équation comme

F = r

sera donc vraie dans tout système de coordonnées si elle est vraie dans l’un d’entre eux. Cette équation, bien sûr, tient lieu des trois équations

Fx = x, Fy = y, Fz = z,

ou, alternativement, de

Fx′ = x′, Fy′ = y′, Fz′ = z′.

Le fait qu’une relation physique puisse être exprimée comme une équation vectorielle nous assure que la relation reste inchangée lors d’une simple rotation du système de coordonnées. C’est la raison pour laquelle les vecteurs sont si utiles en physique.

Examinons maintenant certaines des propriétés des vecteurs. Comme exemples de vecteurs nous pouvons mentionner la vitesse, la quantité de mouvement, la force et l’accélération. Pour plusieurs raisons il est commode de représenter une grandeur vectorielle par une flèche qui indique la direction dans laquelle elle agit. Pourquoi pouvons-nous représenter une force, par exemple, par la flèche ? Parce qu’elle possède la même possibilité de transformation mathématique qu’un « déplacement dans l’espace ». Nous représentons donc cette force sur un dessin comme si elle était un déplacement, utilisant une échelle de façon qu’une unité de force, ou un newton, corresponde à une certaine longueur convenable. Cela étant fait, toutes les forces peuvent être représentées par des longueurs, parce qu’une équation comme

F = kr,

où k est une certaine constante, est une équation parfaitement légitime. Ainsi nous pouvons représenter des forces par des segments de droite, ce qui est très commode, car une fois que nous avons tracé le segment, nous n’avons plus besoin des axes. Nous pouvons, bien sûr, rapidement calculer les trois composantes lorsqu’elles se modifient dans une rotation d’axes, car ce n’est qu’un problème géométrique.

7-5 Algèbre vectorielle

Nous devons maintenant décrire les lois, ou les règles, servant à combiner les vecteurs de diverses manières. La première de ces combinaisons est l’addition de deux vecteurs : supposons que a soit un vecteur dont les trois composantes sont (ax, ay, az), dans un système donné de coordonnées, et que b soit un autre vecteur de composantes (bx, by, bz). Inventons maintenant trois nouveaux nombres (ax + bx, ay + by, az + bz). Forment-ils un vecteur ? « Bien, pouvez-vous dire, ce sont trois nombres, et chaque ensemble de trois nombres forme un vecteur. » Non, chaque ensemble de trois nombres ne forme pas nécessairement un vecteur ! Pour qu’ils forment un vecteur, il doit non seulement y avoir trois nombres, mais ceux-ci doivent être associés à un système de coordonnées de telle manière que si nous tournons le système de coordonnées, les trois nombres se « transforment » chacun dans les autres, se « mélangent » avec tous les autres selon les lois précises que nous avons déjà décrites. La question est alors : si nous tournons le système de coordonnées de telle sorte que (ax, ay, az) devienne (ax′, ay′, az′) et (bx, by, bz) devienne (bx′, by′, bz′), en quoi se transforme (ax+bx, ay+by, az+bz) ? Devient-il ou non (ax′ + bx′, ay′ + by′, az′ + bz′) ? Bien sûr, la réponse est oui, parce que les transformations prototypes de l’équation (7.5) constituent ce que nous appelons une transformation linéaire. Si nous appliquons ces transformations à ax et bx, pour obtenir ax′ + bx′, nous trouvons que la transformée de ax + bx est en effet identique à ax′ + bx′. Lorsque a et b sont ainsi « ajoutés » ils forment un vecteur que nous pouvons appeler c. Nous pouvons écrire cela comme

c = a + b.

c a la propriété intéressante suivante que

c = b + a,

comme nous pouvons le voir immédiatement à partir de ses composantes. Alors,

a + (b + c) = (a + b) + c.

Nous pouvons ajouter les vecteurs dans n’importe quel ordre.

Quelle est la signification géométrique de a + b ? Supposons que a et b soient représentés par des segments sur un morceau de papier, à quoi c ressemblera-t-il ? Cela est indiqué sur la Fig. 7-4. Nous voyons que nous pouvons ajouter de la manière la plus commode les composantes de b à celles de a si nous plaçons le rectangle représentant les composantes de b à la suite, ainsi qu’il est indiqué, de celui représentant les composantes de a. Puisque b « s’adapte » juste dans son rectangle, comme le fait a dans le sien, cela est la même chose que de mettre la « queue » de b à la « tête » de a, la flèche allant de la « queue » de a à la « tête » de b représentant le vecteur c. Si nous additionnons a et b dans l’autre sens, nous plaçons la « queue » de a à la « tête » de b, et d’après les propriétés géométriques des parallélogrammes nous obtenons le même résultat pour c. Remarquons que les vecteurs peuvent s’additionner de cette manière sans référence à des axes coordonnés.

Fig. 7-4. Addition des vecteurs.

Supposez que nous multiplions un vecteur par un nombre a, quelle est la signification de cette opération ? Par définition nous dirons que cette opération produit un nouveau vecteur dont les composantes sont αax, αay, et αaz. Nous laissons à l’étudiant, à titre d’exercice, le soin de prouver que c’est bien un vecteur.

Considérons maintenant la soustraction vectorielle. Nous pouvons définir la soustraction de la même manière que l’addition, mais au lieu d’ajouter, nous soustrayons les composantes. Ou nous pouvons définir la soustraction en définissant un vecteur négatif, − b = − 1b, et nous ajoutons alors les composantes. On obtient la même chose. Le résultat est indiqué sur la Fig. 7-5. Cette figure montre d = a − b = a + (− b) ; nous remarquons également que la différence a − b peut être trouvée très facilement à partir de a et de b en utilisant la relation équivalente a = b + d. Ainsi la différence est même plus facile à trouver que la somme : nous traçons simplement le vecteur de a vers b, pour obtenir a−b !

Fig. 7-5. Soustraction de vecteurs.

Voyons maintenant la vitesse. Pourquoi la vitesse est-elle un vecteur ? Si la position est donnée par les trois coordonnées (x, y, z), quelle est la vitesse ? La vitesse est donnée par dx/dt, dy/dt, et dz/dt. Est-ce oui ou non un vecteur ? Nous pouvons le voir en dérivant les expressions de l’équation (7.5) pour vérifier si oui ou non dx′/dt se transforme de la manière correcte. Nous voyons que les composantes dx/dt et dy/dt se transforment selon les mêmes lois que x et y, et on peut dire ainsi que la dérivée par rapport au temps est bien un vecteur. La vitesse est donc un vecteur. Nous pouvons écrire la vitesse d’une manière intéressante comme

v = dr/dt.

On peut comprendre d’une manière plus descriptive ce qu’est la vitesse et pourquoi c’est un vecteur : de combien se déplace une particule dans un court intervalle de temps Δt ? Réponse : Δr, ainsi, si une particule est « ici » à un moment et « là » à un autre instant, alors la différence vectorielle des positions Δr = r₂ − r₁ , qui est dans la direction du mouvement indiqué sur la Fig. 7-6, divisée par l’intervalle de temps Δt = t₂ − t₁, est le vecteur « vitesse moyenne ».

Fig. 7-6. Le déplacement d’une particule pendant un petit intervalle de temps Δt = t₂ − t₁.

En d’autres termes, par vecteur vitesse nous voulons dire la limite, lorsque Δt tend vers zéro, de la différence entre les rayons vecteurs au temps t + Δt et au temps t, divisée par Δt :

Ainsi la vitesse est un vecteur parce qu’elle est la différence de deux vecteurs. C’est également la bonne définition de la vitesse parce que ses composantes sont dx/dt, dy/dt, et dz/dt. En fait, nous voyons à partir de cette démonstration que si nous dérivons tout vecteur par rapport au temps, nous produisons un nouveau vecteur. Ainsi nous avons plusieurs manières de produire de nouveaux vecteurs : (1) en multipliant par une constante, (2) en dérivant par rapport au temps, (3) en additionnant ou en soustrayant deux vecteurs.

7-6 Les lois de Newton en notations vectorielles

Afin d’écrire les lois de Newton sous une forme vectorielle, il nous faut simplement aller un petit peu plus loin, et définir le vecteur accélération. C’est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse, et il est facile de démontrer que ses composantes sont les dérivées seconde de x, y et z, par rapport à t :

Avec cette définition, nous pouvons alors écrire les lois de Newton de cette manière :

ma = F

ou

Le problème de prouver l’invariance des lois de Newton dans une notation des coordonnées est alors le suivant : prouvons que a est un vecteur ; c’est ce que nous venons justement de faire. Prouvons que F est un vecteur ; nous supposons qu’il l’est. Ainsi, si la force est un vecteur, et puisque nous savons que l’accélération en est un aussi, l’équation (7.13) sera la même dans tout système de coordonnées. En l’écrivant sous une forme qui ne contient pas explicitement les x, y et z, nous avons l’avantage qu’à partir de maintenant il n’est plus nécessaire d’écrire trois lois chaque fois que nous écrivons les équations de Newton ou d’autres lois de physique. Nous écrivons ce qui semble être une seule loi, mais qui est en réalité un groupe de trois lois dans tout système d’axes particuliers, parce que toute équation vectorielle contient l’affirmation que chacune des composantes est égale.

Fig. 7-7. Une trajectoire courbe.

Le fait que l’accélération soit le taux de changement de la vitesse vectorielle nous aide à calculer l’accélération dans certaines circonstances assez compliquées. Supposons, par exemple, qu’une particule soit en mouvement sur une certaine courbe compliquée (Fig. 7-7) et qu’à un certain instant t, elle ait une certaine vitesse v₁, mais que lorsque nous regardons les choses à un instant t₂ un petit peu plus tard, elle possède une vitesse différente v₂. Quelle est l’accélération ? Réponse : l’accélération est la différence des vitesses divisées par le petit intervalle de temps ; nous devons donc obtenir la différence des deux vitesses. Comment obtenons-nous cette différence ? Nous traçons le vecteur entre les extrémités de v₂ et v₁, pour soustraire ces vecteurs ; c’est-à-dire que nous traçons Δ comme étant la différence des deux vecteurs. Juste ? Non !

Cela ne peut marcher que lorsque les « queues » des deux vecteurs sont au même endroit ! Si nous plaçons le vecteur quelque part ailleurs et que nous traçons une ligne entre les extrémités, cela ne veut plus rien dire, alors faites attention ! Nous devons tracer un nouveau diagramme pour soustraire les vecteurs. Sur la Fig. 7-8, v₁ et v₂ sont tous les deux dessinés parallèles et égaux à leurs correspondants dans la Fig. 7-7, et nous pouvons maintenant discuter l’accélération. Bien sûr, l’accélération est simplement Δv/Δt. Il est intéressant de remarquer que nous pouvons décomposer la différence des vitesses en deux parts ; nous pouvons considérer que l’accélération a deux composantes, vΔ∥ dans une direction tangente à la trajectoire et Δv⊥ à angle droit de la trajectoire, comme indiqué sur la Fig. 7-8. L’accélération tangente à la trajectoire n’est bien sûr que le changement de longueur du vecteur, c’est-à-dire le changement de la célérité v :

L’autre composante de l’accélération, à angle droit de la courbe, est facile à calculer en utilisant les Fig. 7-7 et 7-8. Dans le court intervalle de temps Δt, le changement de l’angle entre v₁ et v2 sera le petit angle Δθ. Si la grandeur de la vitesse est appelée v, alors bien sûr

et l’accélération a sera

Il nous faut maintenant connaître Δθ/Δt, qui peut être trouvé de la façon suivante : si, au moment considéré, la courbe est remplacée approximativement par un cercle d’un certain rayon R, la distance s parcourue pendant un temps Δt est alors v Δt, v étant la vitesse.

Δθ=v (Δt/R), ou Δθ/Δt=v/R.

Ainsi nous trouvons

comme nous l’avions vu auparavant.

Fig. 7-8. Diagramme pour calculer l’accélération.

7-7 Produit scalaire de vecteurs

Allons maintenant un peu plus loin dans l’étude des propriétés des vecteurs. Il est facile de voir que la longueur d’un déplacement dans l’espace est la même dans tout système de coordonnées. Cela signifie que si un déplacement donné r est représenté par x, y, z dans un système de coordonnées, et par x′, y′, z′ dans un autre système de coordonnées, la distance r = |r | sera certainement la même dans les deux cas. Or

et également

Nous voulons vérifier que ces deux quantités sont égales. Il est beaucoup plus commode de ne pas s’ennuyer à prendre la racine carrée ; nous considérons donc le carré de ces distances ; voyons donc si

Il vaudrait mieux qu’il en soit ainsi — et si nous substituons l’équation (7.5), nous trouvons que c’est bien vérifié. Nous voyons ainsi qu’il y a d’autres types d’équations qui sont vraies pour tout couple de systèmes de coordonnées.

C’est quelque chose de nouveau. Nous pouvons produire une nouvelle grandeur en fonction de x, y et z, appelée fonction scalaire, une grandeur sans direction, mais qui est la même dans les deux systèmes. À partir d’un vecteur nous pouvons faire un scalaire. Il faut trouver une règle générale pour cela. La règle dans ce cas est facile à trouver : additionner les carrés des composantes. Définissons maintenant une nouvelle chose que nous appelons a ⋅ a. Ce n’est pas un vecteur, mais un scalaire ; c’est un nombre qui reste le même dans tous les systèmes de coordonnées, et il est défini comme étant la somme des carrés des trois composantes du vecteur :

Vous dites : « Mais dans quels axes ? » Cela ne dépend pas des axes, la réponse est la même pour tout ensemble d’axes. Nous avons ainsi un nouveau type de quantité, un nouvel invariant ou scalaire produit par un seul vecteur « élevé au carré ». Si nous définissons maintenant la quantité suivante pour n’importe lequel des deux vecteurs a et b :

nous trouvons que cette quantité, calculée dans le système avec l’indice prime et celui sans prime, reste également la même. Pour le montrer, nous remarquons que cela est vrai pour a ⋅ a, b ⋅ b, et c ⋅ c, où c = a + b. Donc la somme des carrés (ax + bx)² + (ay + by)² + (az + bz)² sera invariante :

Si on développe les deux côtés de cette équation, on trouvera des produits croisés du type de ceux apparaissant dans l’équation (7.19), en même temps que la somme des carrés des composantes de a et b. L’invariance des termes de la forme de l’équation (7.18) conduit donc à l’invariance des produits croisés.

La quantité a ⋅ b est appelée le produit scalaire des deux vecteurs, a et b, et elle a beaucoup de propriétés intéressantes et utiles. Par exemple, il est facile de prouver, que

Il existe également une manière géométrique simple de calculer a ⋅ b sans avoir à calculer les composantes de a et de b : a ⋅ b est le produit de la longueur de a par la longueur de b que multiplie le cosinus de l’angle entre eux. Pourquoi ? Supposons que nous choisissions un système de coordonnées spécial dans lequel l’axe x soit le long de a ; dans ces conditions, la seule composante de a sera ax, qui vaut bien sûr la longueur totale de a. Ainsi l’équation (7.19) se réduit dans ce cas à a ⋅ b = ax bx, cela étant la longueur de a que multiplie la composante de b dans la direction de a, c’est-à-dire b cos θ :

a ⋅ b = ab cos θ.

Nous avons prouvé que dans ce système de coordonnées spécial, a ⋅ b est égal à la longueur de a que multiplie la longueur de b que multiplie cos θ. Mais si c’est vrai dans un système de coordonnées, c’est vrai dans tous les autres, car a ⋅ b est indépendant du système de coordonnées ; c’est là notre démonstration.

Quel est l’intérêt du produit scalaire ? Y a-t-il des cas en physique où nous en avons besoin ? Oui, nous en avons besoin tout le temps. Par exemple, au Chapitre 4 l’énergie cinétique était appelée , mais si l’objet se déplace dans l’espace, ce doit être la vitesse élevée au carré dans la direction x, dans la direction y et dans la direction z, et ainsi la formule pour l’énergie cinétique selon l’analyse vectorielle est

L’énergie n’a pas de direction. La quantité de mouvement possède une direction ; c’est un vecteur et c’est la masse que multiplie le vecteur vitesse.

Un autre exemple d’un produit scalaire est le travail réalisé par une force lorsque quelque chose est poussé d’un point à un autre. Nous n’avons pas encore défini le travail, mais il est équivalent à un changement d’énergie, à des poids soulevés, lorsqu’une force F agit sur une distance s :

Il est quelquefois très commode de parler des composantes d’un vecteur dans une certaine direction (disons la direction verticale parce que c’est la direction de la gravitation). Pour cela, il est utile d’inventer ce que nous appelons un vecteur unité dans la direction que nous voulons étudier. Par vecteur unité, nous voulons dire un vecteur dont le produit scalaire avec lui-même soit égal à l’unité. Appelons ce vecteur unité i ; alors i ⋅ i = 1. Si nous voulons les composantes d’un certain vecteur dans la direction de i, nous voyons que le produit scalaire a ⋅ i sera a cos θ, c’est-à-dire la composante de a dans la direction de i. C’est une manière très agréable d’obtenir la composante ; en fait, cela nous permet d’obtenir toutes les composantes et d’écrire une formule assez amusante. Supposons que dans un certain système de coordonnées x, y, z, nous inventions trois vecteurs : i, un vecteur unité dans la direction x ; j, un vecteur unité dans la direction y ; et k, un vecteur unité dans la direction z. Remarquez d’abord que i ⋅ i = 1. Que vaut i ⋅ j ? Lorsque deux vecteurs sont perpendiculaires, leur produit scalaire est nul. Ainsi

Avec ces définitions tout vecteur peut maintenant être écrit de cette manière :

Nous pouvons passer ainsi des composantes d’un vecteur au vecteur lui-même.

Cette discussion des vecteurs n’est évidemment pas complète. Cependant, plutôt que d’essayer de poursuivre tout de suite plus avant dans ce sujet, nous allons d’abord apprendre à utiliser dans des situations physiques certaines idées que nous venons de discuter. Lorsque nous saurons vraiment dominer ces notions de base, nous trouverons alors qu’il est plus facile d’approfondir le sujet sans trop s’embrouiller. Nous verrons plus tard qu’il est utile de définir un autre type de produit de deux vecteurs, appelé le produit vectoriel, écrit a × b. Toutefois nous discuterons ces notions dans un chapitre ultérieur.

1. Imprimés, les vecteurs sont représentés par des lettres en caractères gras ; manuscrits, ils sont représentés avec une flèche :.

Chapitre 8

Symétrie dans les lois physiques

8-1 Opérations de symétrie

Le sujet de ce chapitre est ce que nous pouvons appeler la symétrie dans les lois physiques. Nous avons déjà traité certaines caractéristiques de la symétrie dans les lois physiques, au volume I, en relation avec le calcul vectoriel (Chapitre 7), la théorie de la relativité (Chapitre 16), et la rotation (Chapitre 20).

Pourquoi serions-nous intéressés par la symétrie ? Tout d’abord, la symétrie fascine l’esprit humain et tout le monde apprécie les objets ou les structures qui sont d’une certaine façon symétriques. C’est un fait intéressant que la nature manifeste souvent certains types de symétrie dans les objets que nous rencontrons dans le monde autour de nous. L’objet peut-être le plus symétrique que l’on puisse imaginer est une sphère et la nature est pleine de sphères — les étoiles les planètes, les gouttelettes d’eau dans les nuages. Les cristaux qu’on trouve dans les roches présentent un grand nombre de différentes variétés de symétrie, dont l’étude nous dit certaines choses importantes sur la structure des solides. Même les mondes animaux et végétaux témoignent d’un certain degré de symétrie, bien que la symétrie d’une fleur ou d’une abeille ne soit pas aussi parfaite et fondamentale que celle d’un cristal.

Mais notre intérêt principal ici n’est pas dans le fait que les objets de la nature soient souvent symétriques. Nous voulons plutôt examiner certaines des symétries encore plus remarquables de l’univers — les symétries qui existent dans les lois fondamentales elles-mêmes qui gouvernent le fonctionnement du monde physique.

D’abord, qu’est-ce que la symétrie ? Comment une loi physique peut-elle être « symétrique » ? Le problème de définir la symétrie est un problème intéressant et nous avons déjà remarqué que Weyl en avait donné une bonne définition, dont l’essentiel est qu’une chose est symétrique s’il existe quelque chose que nous puissions lui faire, de telle sorte qu’après l’avoir fait, elle apparaisse de la même manière qu’avant. Par exemple, un vase symétrique est d’un genre tel que si nous le regardons dans une glace ou que nous le tournions, il apparaîtra le même qu’auparavant. La question que nous voulons considérer ici est de savoir ce que nous pouvons faire aux phénomènes physiques ou aux conditions physiques dans une expérience, tout en conservant le résultat identique. Une liste des opérations connues selon lesquelles divers phénomènes physiques restent invariants est donnée au Tableau 8-1.

8-2 Symétrie dans l’espace et le temps

La première chose que nous pouvons tenter de faire est par exemple d’effectuer une translation du phénomène dans l’espace. Si nous réalisons une expérience en un certain endroit, et si nous construisons un autre appareil en un autre endroit dans l’espace (ou si nous y amenons le premier appareil), tout ce qui se passe dans le premier appareil, avec un certain ordre dans le temps, se reproduira de la même manière dans le deuxième, si nous avons réalisé les mêmes conditions, en ayant fait attention à toutes les restrictions que nous avons mentionnées précédemment : à savoir que toutes les caractéristiques de l’environnement qui le feraient ne pas se comporter de la même manière ont été aussi transportées — nous avions discuté de la manière dont nous devions définir ce que nous devions inclure dans de telles circonstances, et nous ne reviendrons pas maintenant sur ces détails.

Tableau 8-1
Opérations de symétrie

Translation dans l’espace

Translation dans le temps

Rotation d’un angle fixe

Vitesse uniforme en ligne (transformation de Lorentz)

Renversement du temps

Réflexion dans l’espace

Échange d’atomes identiques ou de particules identiques

Phase en mécanique quantique

Matière-anti-matière (conjugaison de la charge)

De la même manière, nous croyons également aujourd’hui que le déplacement dans le temps n’a aucun effet sur les lois physiques. (C’est-à-dire, pour autant que nous le sachions aujourd’hui ; tout ce que nous disons est juste pour autant que nous le sachions aujourd’hui !) Cela signifie que si nous construisons un certain appareil et le lançons à un certain moment, par exemple mardi à 10 heures du matin, et puis que nous construisons le même appareil et le lançons par exemple trois jours après dans la même condition, les deux appareils vont suivre les mêmes mouvements, exactement de la même manière en fonction du temps, indépendamment du moment de départ, pourvu à nouveau que, bien sûr, les caractéristiques importantes de l’environnement soient également modifiées dans le temps d’une manière appropriée. Cette symétrie signifie, bien entendu, que si quelqu’un a acheté une action de General Motors il y a trois mois, l’action subira le même sort que s’il l’avait achetée aujourd’hui !

Il y a lieu également de faire attention aux différences géographiques, car bien sûr, il y a des variations dans les caractéristiques de la surface de la terre. Ainsi, par exemple, si nous mesurons le champ magnétique dans une certaine région et déplaçons l’appareil vers une autre région, il peut ne pas fonctionner de la même manière parce que le champ magnétique n’est pas le même, mais nous disons que c’est parce que le champ magnétique est associé avec la terre. Nous pouvons imaginer que si nous déplacions toute la terre ainsi que l’équipement, cela n’aurait aucune influence sur le fonctionnement de l’appareil.

Un autre aspect que nous avions traité avec beaucoup de détails était la rotation dans l’espace : si nous tournons un appareil d’un certain angle, il fonctionne exactement de la même manière, pourvu que nous tournions toutes les autres choses qui se rapportent à lui. En fait, nous avons discuté dans le détail au Chapitre 7 le problème de la symétrie par rapport à la rotation dans l’espace, et nous avons inventé un système mathématique appelé le calcul vectoriel pour le traiter aussi proprement que possible.

À un niveau plus avancé, nous rencontrons une autre symétrie — la symétrie par rapport à une vitesse uniforme en ligne droite. — C’est-à-dire un effet assez remarquable — que si nous avons un appareil fonctionnant d’une certaine manière et que nous prenons le même appareil et le plaçons dans une voiture, et que nous déplaçons la voiture ainsi que l’environnement nécessaire, le tout à une vitesse uniforme et en ligne droite, alors en ce qui concerne les phénomènes à l’intérieur de la voiture, il n’y a aucune différence : toutes les lois de la physique apparaissent identiques. Nous savons même comment exprimer cela plus techniquement : les équations mathématiques des lois physiques doivent rester inchangées dans une transformation de Lorentz. En fait, c’est une étude des problèmes de la relativité qui attira plus précisément l’attention des physiciens sur la symétrie dans les lois physiques.

Toutes les symétries que l’on vient de mentionner étaient toutes de nature géométrique, le temps et l’espace étant plus ou moins la même chose, mais il y a d’autres symétries d’un type différent. Par exemple, il y a une symétrie qui décrit le fait que nous pouvons remplacer un atome par un autre du même genre ; en d’autres termes, il y a des atomes du même genre. Il est possible de trouver des groupes d’atomes tels que si nous échangeons une paire, cela n’a pas d’importance — les atomes sont identiques. Quoi que puisse faire un atome d’oxygène d’un certain genre : un autre atome d’oxygène de ce genre le fera. On peut dire, « C’est ridicule, c’est la définition des genres identiques ! » Cela peut n’être que la définition, mais nous ne savons pas pour autant s’il y a des « atomes du même genre » ; le fait est qu’il y a énormément d’atomes du même genre. Ainsi cela a un sens de dire que remplacer un atome par un autre du même genre n’a pas d’importance. Ce qu’on appelle les particules élémentaires à partir desquelles les atomes sont constitués, sont également des particules identiques au sens précédent — tous les électrons sont les mêmes : tous les protons sont les mêmes ; tous les pions positifs sont les mêmes ; etc.

Après une aussi longue liste des choses qui peuvent être faites sans modifier le phénomène, on peut penser que nous pouvons faire pratiquement n’importe quoi ; aussi donnons quelques exemples du contraire, simplement pour voir la différence. Supposez que nous demandions : « Est-ce que les lois physiques sont symétriques par rapport à un changement d’échelle ? » Supposez que nous construisions un certain appareil, et que nous en construisions un autre cinq fois plus grand à tous égards, va-t-il fonctionner exactement de la même manière ? La réponse est dans ce cas, non ! La longueur d’onde de la lumière émise, par exemple, par les atomes à l’intérieur d’une boîte d’atomes de sodium et la longueur d’onde de la lumière émise par un gaz d’atomes de sodium cinq fois plus grands en volume, n’est pas cinq fois plus grande, mais est en fait exactement la même. Ainsi le rapport de la longueur d’onde à la taille de l’émetteur va changer.

Un autre exemple : nous voyons de temps en temps dans les journaux la photographie d’une grande cathédrale construite à partir de petites allumettes — un travail d’art énorme, réalisé par un retraité qui passe son temps à coller des allumettes. C’est beaucoup plus élaboré et magnifique que n’importe quelle cathédrale réelle. Si nous imaginons que cette cathédrale en bois était effectivement construite à l’échelle d’une cathédrale réelle, nous voyons où apparaît la difficulté ; elle ne durerait pas — tout s’effondrerait parce que, à cette échelle, les morceaux d’allumettes ne seraient pas suffisamment solides. « Oui, peut-on dire, mais nous savons également que lorsqu’il y a une influence de l’extérieur, celle-ci doit également changer en proportion ! » Nous parlons de la possibilité de l’objet de résister à la gravitation. Aussi nous commençons par prendre le modèle de cathédrale, constitué d’allumettes réelles et la terre réelle, nous savons alors que c’est stable. Puis nous prenons la grande cathédrale et considérons une terre plus grande. Mais alors c’est encore pire car la gravitation a encore augmenté !

Aujourd’hui, bien sûr, nous comprenons le fait que les phénomènes dépendent de l’échelle en nous basant sur le fait que la matière est de nature atomique, et certainement si nous construisons un appareil qui soit si petit qu’il ne contienne que cinq atomes, ce serait quelque chose dont on ne pourrait changer l’échelle arbitrairement. L’échelle d’un atome individuel n’est pas du tout arbitraire — elle est tout à fait définie.

Le fait que les lois de physique ne soient pas invariantes dans un changement d’échelle fut découvert par Galilée. Il réalisa que la solidité des matériaux ne variait pas exactement dans les proportions de leurs dimensions, et il illustra cette propriété dont nous venons de parler, sur les cathédrales en allumettes, en traçant deux os, l’os d’un chien, avec la bonne proportion pour soutenir son poids, et un os imaginaire d’un « super chien » qui serait, par exemple, de dix à cent fois plus grand — cet os était une grande et solide chose avec des proportions tout à fait différentes. Nous ne savons pas s’il poussa le raisonnement jusqu’à son terme, c’est-à-dire que les lois de la nature doivent avoir une échelle définie, mais il fut si impressionné par cette découverte qu’il la considéra aussi importante que la découverte des lois du mouvement, parce qu’il les publia toutes les deux dans le même volume intitulé De deux nouvelles sciences.

Un autre exemple dans lequel les lois ne sont pas symétriques et que nous connaissons bien est celui-ci : un système en rotation à une vitesse angulaire uniforme ne suit pas les mêmes lois apparentes qu’un système qui ne tourne pas. Si nous réalisons une expérience et puis que nous placions tout dans un vaisseau spatial et que ce vaisseau tourne dans l’espace vide, tout seul à une vitesse angulaire constante, l’appareil ne fonctionnera pas de la même manière, parce que nous savons que les objets à l’intérieur seront projetés vers l’extérieur, etc., par les forces centrifuges ou de Coriolis. En fait, nous pouvons dire que la terre tourne en utilisant ce qu’on appelle un pendule de Foucault sans avoir besoin de regarder à l’extérieur.

Mentionnons maintenant une symétrie extrêmement intéressante qui est manifestement fausse, à savoir la réversibilité dans le temps. Les lois de physique ne peuvent être apparemment réversibles dans le temps, parce que, comme nous le savons, tous les phénomènes évidents sont irréversibles à grande échelle : « Le doigt en mouvement écrit, et ayant écrit, il avance. » Pour autant que nous puissions dire, cette irréversibilité est due au très grand nombre de particules en jeu, et si nous pouvions voir les molécules individuelles, nous ne serions pas capables de discerner si le mécanisme fonctionne dans un sens ou dans l’autre. Pour être plus précis : nous construisons un petit appareil dans lequel nous savons ce que font tous les atomes, dans lequel nous pouvons les regarder s’agiter. Nous construisons maintenant un autre appareil comme celui-là, mais nous lançons son mouvement dans la condition finale de l’autre avec toutes les vitesses exactement renversées. Il va alors emprunter les mêmes mouvements, mais exactement en sens inverse. En d’autres termes : si nous prenons un film, avec des détails suffisants, de tous les mouvements au sein d’un morceau de matière, que nous le projetions sur un écran et le faisions aller en sens inverse, aucun physicien ne sera en mesure de dire : « Cela va à l’encontre des lois de la physique, il se produit quelque chose d’incorrect ! » Si nous ne voyons pas tous les détails, bien entendu, la situation sera parfaitement claire. Si nous voyons l’œuf s’écraser sur le trottoir et la coquille s’ouvrir, etc., nous dirons alors sûrement : « Cela est irréversible, parce que si nous faisons tourner le film en sens inverse, l’œuf va se reformer, la coquille va reprendre sa place, ce qui est évidemment ridicule ! » Mais si nous regardons les atomes individuels, les lois apparaissent complètement réversibles. Cela est bien sûr une découverte beaucoup plus difficile à faire, mais il est apparemment vrai que les lois physiques fondamentales à une échelle microscopique et fondamentale sont complètement réversibles dans le temps !

8-3 Symétrie et lois de conservation

Les symétries des lois de physique sont très intéressantes à ce niveau, mais il se trouve en définitive qu’elles sont encore plus intéressantes et excitantes lorsque nous abordons la mécanique quantique. Pour une raison que nous ne pouvons pas rendre claire au niveau de la présente discusssion — un fait que la plupart des physiciens trouvent encore assez stupéfiant, une chose tout à fait profonde et magnifique, est que, en mécanique quantique, à chacune des lois de symétrie correspond une loi de conservation ; il y a une relation certaine entre les lois de conservation et les symétries des lois physiques. Nous ne pouvons qu’énoncer cela pour le moment, sans aucune tentative d’explication.

Le fait, par exemple, que les lois soient symétriques pour la translation dans l’espace, signifie que lorsque nous ajoutons les principes de la mécanique quantique la quantité de mouvement est conservée.

Que les lois soient symétriques par rapport aux translations dans le temps, signifie en mécanique quantique que l’énergie est conservée.

L’invariance dans la rotation autour d’un angle fixe dans l’espace correspond à la conservation du moment cinétique. Ces relations sont extrêmement intéressantes et belles, parmi les choses les plus belles et les plus profondes en physique.

Incidemment, on trouve un certain nombre de symétries qui apparaissent en mécanique quantique qui n’ont pas d’analogue classique, qui n’ont aucun moyen d’être décrites en physique classique. L’une d’entre elles est cela : Si ψ est l’amplitude d’un certain processus, nous savons que le carré du module de ψ est la probabilité que le processus se produise. Si quelqu’un d’autre fait ses calculs, non pas avec ce ψ mais avec un ψ′ qui ne diffère que par un changement de phase (appellons Δ une certaine constante, et multiplions eiΔ par l’ancien ψ), le carré du module de ψ′, qui est la probabilité de l’événement, est alors égal au carré du module de ψ :

Ainsi les lois physiques ne sont pas modifiées si la phase de la fonction d’onde est décalée d’une certaine constante arbitraire, C’est une autre symétrie. Les lois physiques doivent être d’une nature telle qu’un décalage de la phase en mécanique quantique n’ait pas d’importance. Comme nous venons juste de le mentionner, en mécanique quantique il y a une loi de conservation pour chaque symétrie. La loi de conservation qui est reliée à la phase en mécanique quantique semble être la loi de conservation de la charge électrique. Tout cela est donc une chose extrêmement intéressante !

8-4 Réflexions dans un miroir

La question suivante qui va nous intéresser pour la plus grande partie du reste de ce chapitre, est la question de la symétrie dans une réflexion dans l’espace. Le problème est celui-ci : est-ce que les lois physiques sont symétriques dans une réflexion ? Nous pouvons exprimer cela de cette manière : supposez que nous construisions un appareil, par exemple une horloge, avec de nombreuses roues, aiguilles et beaucoup de chiffres ; elle fait tic-tac, elle fonctionne et elle contient à l’intérieur des parties remontées. Nous regardons l’horloge dans un miroir. La question n’est pas de savoir comment elle apparaît dans un miroir. Mais construisons en fait une autre horloge qui soit exactement la même que la première horloge observée dans le miroir — pour chaque vis avec un filet tourné dans le sens droit, nous utilisons une vis avec un filet tourné dans le sens gauche à la place correspondante : là où il y a marqué un « 2 » sur l’avant, nous marquons un «` » sur l’avant de l’autre ; chaque ressort enroulé tourne d’une certaine manière dans l’horloge et de l’autre manière dans l’horloge qui en est son image dans le miroir ; lorsque tout est terminé, nous avons deux horloges, toutes les deux physiques, qui ont entre elles la relation entre un objet et son image dans un miroir, bien qu’elles soient toutes les deux des objets matériels et réels, comme nous l’avons dit. La question est maintenant celle-ci : si les deux horloges sont lancées dans la même condition, les ressorts tendus aux mêmes tensions, vont-elles battre et fonctionner ensuite tout le temps exactement comme des images dans un miroir ? (Cela est une question physique, et non pas une question philosophique.) Notre intuition sur les lois de la physique suggère qu’elles le feront.

Nous suspectons, au moins dans le cas de ces horloges, que la réflexion dans l’espace est l’une des symétries des lois physiques, que si nous changeons chaque chose de « droite » en « gauche » et que pour le reste nous laissions tout identique, nous ne pouvons pas observer de différence. Supposons alors pour un moment que cela soit vrai. Si c’est vrai, alors il est impossible de distinguer la « droite » de la « gauche » par un phénomène physique quelconque, de même qu’il est impossible, par exemple, de définir une vitesse absolue particulière par un phénomène physique. Il doit donc être impossible, par n’importe quel phénomène physique, de définir de façon absolue ce que nous appelons « droite » par rapport à « gauche », parce que les lois physiques doivent être symétriques.

Bien entendu, rien n’oblige le monde d’être symétrique. Par exemple, en utilisant ce que nous pouvons appeler la « géographie », il est certain que la « droite » peut être définie. Par exemple, nous nous trouvons à La Nouvelle-Orléans, regardons vers Chicago et la Floride est à notre droite (lorsque nos pieds sont sur le sol !). Ainsi nous pouvons définir la « droite » et la « gauche » par la géographie. Bien sûr, la situation réelle dans un système quelconque ne doit pas nécessairement avoir la symétrie dont nous parlons ; le problème est de savoir si les lois sont symétriques — en d’autres termes, cela va-t-il à l’encontre des lois physiques d’avoir une sphère comme la terre avec « un sol orienté à l’envers » et une personne comme nous regardant debout une ville telle que Chicago d’un endroit comme La Nouvelle-Orléans, mais avec tout le reste à l’envers, ce qui fait que la Floride serait de l’autre côté ? Manifestement, cela semble ne pas être impossible, ni aller contre les lois physiques, que tout soit changé de la gauche à la droite.

Un autre aspect est que notre définition de la « droite » ne doit pas dépendre de l’histoire. Une manière de distinguer facilement la droite de la gauche est d’aller dans un atelier et de prendre une vis au hasard. Il y a de grandes chances pour que le filet soit orienté à droite — pas nécessairement, mais il est beaucoup plus probable d’avoir un filet orienté à droite plutôt qu’à gauche. Cela dépend de l’histoire ou de conventions, ou de l’état des choses, mais ce n’est pas une question concernant les lois fondamentales. Comme nous pouvons bien le comprendre, n’importe qui aurait pu commencer de fabriquer des vis orientées à gauche !

Aussi nous devons essayer de trouver quelque phénomène dans lequel la « main droite » est introduite fondamentalement. La possibilité suivante que nous analysons est le fait que la lumière polarisée tourne son plan de polarisation lorsqu’elle traverse, par exemple, une eau sucrée. Elle tourne, par exemple, vers la droite, dans une certaine solution de sucre. C’est une manière de définir la « main droite », parce que nous pouvons dissoudre du sucre dans de l’eau et la polarisation va vers la droite. Mais le sucre provient d’objets vivants, et si nous essayons de faire du sucre artificiel, nous découvrons alors qu’il ne fait pas tourner le plan de polarisation ! Mais si nous prenons le même sucre, fabriqué artificiellement, qui ne fait pas tourner le plan de polarisation, et nous y plaçons des bactéries (elles mangent une partie du sucre), et puis nous filtrons les bactéries, nous trouvons qu’il reste encore du sucre (presque la moitié de ce que nous avions précédemment), et cette fois-ci il fait tourner le plan de polarisation, mais dans l’autre sens ! Cela semble assez incompréhensible, mais c’est facilement explicable.

Prenons un autre exemple : une des substances qui est commune à toutes les créatures vivantes et qui est fondamentale pour la vie est une protéine. Les protéines sont constituées de chaînes d’acides aminés. La Fig. 8-1 montre un modèle d’acide aminé qui provient d’une protéine. Cet acide aminé est appelé alanine et l’arrangement moléculaire ressemble à celui de la Fig. 8-1 (a) s’il provient d’une protéine venant d’un objet vivant. Par ailleurs, si nous essayons de fabriquer l’alanine à partir du gaz carbonique de l’éthane et de l’ammoniac (et nous pouvons la fabriquer, ce n’est pas une molécule compliquée), nous découvrons que nous fabriquons des quantités égales de cette molécule et de celle montrée sur la Fig. 8-1 (b) ! La première molécule, celle qui provient de l’objet vivant, est appelée L-alanine. L’autre, qui est la même chimiquement, en ce sens qu’elle possède le même type d’atomes et les mêmes liaisons entre les atomes, est une molécule « droite », comparée avec la L-alanine qui est « gauche », et elle est appelée D-alanine. La chose intéressante est que lorsque nous fabriquons de l’alanine dans un laboratoire à partir de gaz simples, nous obtenons un égal mélange des deux genres. Cependant, la seule chose que la vie utilise est la L-alanine. (Cela n’est pas exactement vrai. Çà et là dans les créatures vivantes, on rencontre un usage particulier de la D-alanine, mais c’est extrêmement rare. Toutes les protéines utilisent exclusivement la L-alanine.) Si maintenant nous fabriquons les deux types de molécules, et que nous donnons le mélange à un animal, qui aime « manger » ou utiliser l’alanine, il ne peut pas utiliser la D-alanine, ce qui fait qu’il n’utilise que la L-alanine ; c’est ce qui s’est produit pour notre sucre — après que les bactéries ont mangé le sucre qui leur convient, seule l’espèce « contraire » subsiste ! (Le sucre gauche a un goût sucré mais pas le même que le sucre droit.)

Fig. 8-1. (a) L-alanine (gauche), et (b) D-alanine (droite).

Il semble donc que le phénomène de la vie permette une distinction entre la « droite » et la « gauche », ou la chimie permet une distinction parce que les molécules sont différentes chimiquement. Mais non, elle ne le permet pas ! Pour autant que les mesures physiques puissent être faites, telles que l’énergie, les vitesses des réactions chimiques, etc., les deux genres de molécules fonctionnent exactement de la même manière si nous faisons tout le reste également en respectant une symétrie dans un miroir. Une molécule va faire tourner la lumière vers la droite, et l’autre va la faire tourner vers la gauche, précisément du même angle, au travers de la même quantité de fluide. Ainsi, en ce qui concerne la physique, ces deux acides aminés sont également satisfaisants. Pour autant que nous comprenions les choses aujourd’hui, les aspects fondamentaux de l’équation de Schrödinger disent que les deux molécules doivent se comporter de manières exactement correspondantes, de telle sorte que l’une soit droite et l’autre soit gauche. Néanmoins dans la vie, elles ont toutes un seul sens !

On suppose que la raison en est la suivante. Supposons, par exemple, que la vie ait été à un instant dans une certaine condition dans laquelle toutes les protéines dans certaines créatures aient des acides aminés « gauches », et tous les enzymes soient asymétriques — chaque substance dans une créature vivante est asymétrique — , elle n’est pas symétrique. Ainsi, lorsque les enzymes digestifs essayent de transformer les produits chimiques de la nourriture d’une sorte en une autre, un certain type de produit « s’adapte » à l’enzyme, mais l’autre type n’y parvient pas (comme Cendrillon et la pantoufle, à cela près que c’est un « pied gauche » que nous essayons). Pour autant que nous sachions, en principe, nous pouvons fabriquer une grenouille, par exemple, dans laquelle chaque molécule est renversée, tout se comporte comme l’image « gauche » dans un miroir d’une grenouille réelle ; nous avons une grenouille « gauche ». Cette grenouille « gauche » va fonctionner correctement pendant un certain temps, mais elle ne va rien trouver à manger, parce que si elle avale une mouche, ses enzymes ne sont pas fabriqués pour pouvoir la digérer. Les mouches ont la mauvaise espèce d’acides aminés (tant que nous ne lui donnons pas une mouche « gauche »). Pour autant que nous sachions, les processus chimiques et vivants continueraient exactement de la même manière si tout était renversé.

Si la vie est entièrement un phénomène physique et chimique, nous pouvons alors comprendre que les protéines soient toutes faites selon le même tire-bouchon, à partir seulement de l’idée qu’au début certaines molécules vivantes, par accident, ont commencé à exister et que quelques-unes ont gagné. Quelque part, une fois, une molécule organique fut orientée d’une certaine manière, et à partir de cet objet particulier la droite s’introduisit dans notre géographie particulière ; un accident historique particulier fut asymétrique et depuis lors le sens choisi s’est propagé de lui-même. Après avoir atteint l’état présent, bien sûr, il continuera toujours ainsi — tous les enzymes digèrent les objets « droits », fabriquent les objets « droits » : lorsque le gaz carbonique et la vapeur d’eau, etc., pénètrent dans les feuilles des plantes, les enzymes qui fabriquent les sucres les font asymétriques, parce que les 379 enzymes sont asymétriques. Si un type de virus quelconque ou d’objet vivant devait apparaître à un moment ultérieur, il ne pourrait survivre que s’il pouvait « manger » le type de matériau vivant déjà présent. Aussi il devrait lui-même être du même genre.

Il n’y a pas de conservation du nombre de molécules « droites ». Une fois lancés nous pouvons continuer d’augmenter le nombre de molécules « droites ». Ainsi l’hypothèse est que les phénomènes dans le cas de la vie ne montrent pas une absence de symétrie des lois physiques, mais manifestent, au contraire, la nature universelle et l’aspect commun de l’origine ultime de toutes les créatures sur terre, dans le sens décrit précédemment.

8-5 Vecteurs polaires et axiaux

Allons maintenant plus loin. Nous remarquons qu’en physique il y a beaucoup d’autres endroits où nous rencontrons des règles de « main droite » et de « main gauche ». En fait, lorsque nous avons appris le calcul vectoriel, nous avons appris les règles de « main droite » que nous devions utiliser afin d’obtenir correctement le moment cinétique, le couple, le champ magnétique, etc. La force sur une charge en mouvement dans un champ magnétique, par exemple, est F = qv × B. Dans une situation donnée, dans laquelle nous connaissons F, v et B, est-ce que cette équation n’est pas suffisante pour définir l’opération de main droite ? En fait, si nous revenons en arrière et que nous essayons de voir d’où proviennent les vecteurs, nous voyons que la règle de la « main droite » n’était qu’une convention ; c’était un truc. Les quantités initiales, comme le moment cinétique et les vitesses angulaires, et d’autres choses du même genre, n’étaient pas du tout de réels vecteurs ! Elles sont toutes associées à un plan, et ce n’est que parce qu’il y a trois dimensions dans l’espace que nous pouvons associer la quantité avec une direction perpendiculaire à ce plan. Des deux directions possibles, nous avons choisi la direction de la « main droite ».

Si donc les lois de la physique sont asymétriques, nous devrions trouver que si un démon parvenait à se faufiler dans tous les laboratoires de physique et à remplacer le mot « droite » par « gauche » dans tous les livres où l’on donne des règles de main droite, et si à la suite de cela nous utilisions les règles de « main gauche », uniformément, cela ne devrait avoir aucune importance pour les lois physiques.

Fig. 8-2. Un déplacement dans l’espace et son image dans un miroir.

Donnons un exemple. Il y a deux genres de vecteurs. Il y a les vecteurs « honnêtes », par exemple, un déplacement Δr dans l’espace. Si dans notre appareil, il y a une partie à un endroit et quelque chose d’autre à un autre endroit, alors dans l’appareil réfléchi dans un miroir, il y aura l’image de cette première partie et l’image du quelque chose d’autre, et si nous traçons un vecteur allant de la « partie » à ce « quelque chose d’autre », un vecteur est l’image dans un miroir de l’autre (Fig. 8-2). La pointe du vecteur change de direction, de même que tout l’espace est tourné à l’envers ; un tel vecteur est appelé un vecteur polaire.

Mais l’autre genre de vecteur, qui est en relation avec les rotations, est d’une nature différente. Par exemple, supposez que dans l’espace à trois dimensions quelque chose tourne comme sur la Fig. 8-3. Si nous la regardons dans un miroir, elle tournera comme indiqué, à savoir comme l’image dans un miroir de la rotation initiale. Nous nous sommes mis d’accord pour représenter la rotation dans un miroir par la même règle, c’est un « vecteur » qui, à la réflexion, ne change pas comme le fait le vecteur polaire, mais se trouve renversé relativement au vecteur polaire et à la géométrie de l’espace ; un tel vecteur est appelé un vecteur axial.

Fig. 8-3. Une roue en rotation et son image dans un miroir. Remarquez que la direction du « vecteur » vitesse angulaire n’est pas renversée.

Si maintenant la loi de symétrie de réflexion est correcte en physique, il doit alors être vrai que les équations doivent être ainsi conçues que si nous changeons le signe de chaque vecteur axial et de chaque produit vectoriel de vecteurs, ce qui correspond à la réflexion, rien ne doit se produire. Par exemple, lorsque nous écrivons une formule qui dit que le moment cinétique est L = r × p, cette équation est correcte, parce que si nous passons à un système de coordonnées « gauche », nous changeons le signe de L, mais p et r ne changent pas ; le signe du produit vectoriel est modifié, puisque nous devons passer d’une règle de la « main droite » à une règle de la « main gauche ». Comme autres exemples, nous savons que la force sur une charge en mouvement dans un champ magnétique est F = qv × B, mais si nous passons d’un système « droit » à un système « gauche », puisque F et v sont connus comme étant des vecteurs polaires, le changement de signe nécessaire pour le produit vectoriel doit être compensé par un changement de signe de B, ce qui signifie que B doit être un vecteur axial. En d’autres termes, si nous faisons une telle réflexion, B doit se transformer en –B. Ainsi, si nous changeons nos coordonnées de la droite vers la gauche, nous devons également changer les pôles des aimants de Nord en Sud.

Voyons comment cela s’applique dans un exemple. Supposez que nous ayons deux aimants comme sur la Fig. 8-4. L’un est un aimant avec un bobinage enroulé d’une certaine manière, et avec un courant le parcourant dans un sens donné. L’autre aimant a le même aspect que l’image dans un miroir du premier aimant — le bobinage sera enroulé dans l’autre direction, tout ce qui se passe à l’intérieur du bobinage est exactement renversé, et le courant avance comme indiqué. À partir des lois de la production des champs magnétiques, que nous ne connaissons pas officiellement pour le moment, mais que très probablement nous avons apprises au lycée, il se trouve que le champ magnétique est celui montré sur la figure. Dans un cas, le pôle est un pôle magnétique Sud, tandis que dans l’autre aimant le courant va dans l’autre sens et le champ magnétique est renversé — c’est un pôle magnétique Nord. Ainsi nous voyons que lorsque nous allons de la droite vers la gauche, nous devons en fait changer le Nord en Sud !

Fig. 8-4. Un aimant et son image dans un miroir.

Cela n’a pas d’importance que l’on change le Nord en Sud ; ce sont aussi de simples conventions. Parlons des phénomènes. Supposez, maintenant, que nous ayons un électron se déplaçant dans un champ, et pénétrant dans la page. Si alors nous utilisons la formule de la force v × B (rappelez-vous que la charge est moins), nous voyons que l’électron dévie dans la direction indiquée par la loi physique. Ainsi le phénomène est que nous avons un bobinage avec un courant se déplaçant dans un sens particulier et une trajectoire d’électrons dans un certain sens — cela est la physique — quelle que soit la manière dont nous l’appelons.

Réalisons la même expérience avec un miroir : nous envoyons un électron dans la direction correspondante et maintenant la force est renversée, si nous la calculons à partir de la même règle, et cela est tout à fait correct, parce que les mouvements correspondants sont alors images l’un de l’autre dans un miroir !

8-6 Laquelle des deux mains est la droite ?

Ainsi le fait est qu’en étudiant n’importe quel phénomène, il y a toujours deux règles de la « main droite », ou un nombre pair d’entre elles, et le résultat total est que les phénomènes apparaissent toujours symétriques. En bref, nous ne pouvons donc pas distinguer la droite de la gauche si nous ne sommes pas également capables de discerner le Nord du Sud. Cependant, il peut sembler que nous puissions dire quel est le pôle nord d’un aimant. Le pôle nord d’une aiguille aimantée, par exemple, est celui qui pointe vers le Nord. Mais, bien entendu, c’est à nouveau une propriété locale qui est en relation avec la géographie de la terre ; c’est exactement comme parler de la direction dans laquelle se trouve Chicago, aussi cela ne compte pas. Si vous avez déjà vu l’aiguille d’une boussole, vous avez pu remarquer que le pôle qui cherche le Nord est d’une certaine couleur bleuâtre. Mais cela est simplement dû à l’homme qui a peint l’aimant. Ce sont chaque fois des critères conventionnels et locaux.

Cependant, si un aimant devait avoir la propriété que si nous le regardons avec attention nous voyons de petits cheveux poussant sur son pôle nord, et non sur son pôle sud, si cela était la règle générale, ou s’il existait une quelconque manière unique de distinguer le pôle nord du pôle sud d’un aimant, nous pourrions alors dire dans lequel des deux cas nous sommes en réalité, et cela serait la fin de la loi de symétrie de la réflexion.

Pour illustrer le problème encore plus clairement, imaginez que nous soyons en train de parler à un Martien ou à quelqu’un de très éloigné, par téléphone. Nous ne pouvons lui envoyer aucun objet réel pour qu’il l’inspecte ; par exemple, si nous pouvions envoyer de la lumière, nous pourrions lui envoyer une lumière polarisée circulaire droite et dire : « Cela est la lumière polarisée circulaire droite — regardez la manière dont elle agit. » Mais nous ne pouvons rien lui donner, nous ne pouvons que lui parler. Il est très éloigné, ou dans un endroit bizarre, et il ne peut rien voir de ce que nous voyons. Par exemple, nous ne pouvons pas dire : « Regardez la Grande Ourse ; regardez comment ces étoiles sont disposées. Ce que nous voulons dire par “droite” est... » Nous ne pouvons que lui téléphoner.

Nous voulons maintenant lui dire tout ce que nous sommes. Bien sûr, nous commençons d’abord par définir des nombres et disons : « Tic, tic, deux, tic, tic, tic, trois... », de telle sorte que progressivement il puisse comprendre quelques mots, etc. Après un certain temps, nous pouvons devenir très intimes et il dit : « À quoi ressemblez-vous donc ? » Nous nous mettons à nous décrire et disons : « Bien, nous avons un mètre quatre-vingts de haut. » Il dit : « Attendez un instant, qu’est-ce que c’est un mètre quatre-vingts ? » Est-il possible de lui dire ce que c’est qu’un mètre quatre-vingts ? Certainement ! Nous disons : « Vous connaissez le diamètre d’un atome d’hydrogène — nous sommes grands comme 17 000 000 000 d’atomes d’hydrogène ! » Cela est possible parce que les lois de la physique ne sont pas invariantes par changement d’échelle et donc nous pouvons définir une longueur absolue. Et ainsi nous définissons la taille de notre corps, et nous lui disons quelle en est la forme générale — il y a des excroissances avec cinq renflements dépassant à chaque extrémité, etc. ; il nous suit et nous terminons de décrire notre apparence extérieure probablement sans rencontrer de difficultés particulières. Il dessine même un modèle de notre personne au fur et à mesure. Il dit : « Ah ! vous êtes certainement de très jolis individus et maintenant qu’y a-t-il à l’intérieur ? » Nous nous mettons alors à décrire les divers organes à l’intérieur, et nous arrivons au cœur, nous en décrivons avec soin la forme et disons : « Mettez le cœur sur le côté gauche. » Il dit : « Euh... le côté gauche ? » Notre problème est alors de lui décrire de quel côté le cœur doit se trouver sans que lui n’ait jamais vu ce que nous voyons, et sans que nous puissions jamais lui envoyer aucun objet illustrant ce que nous entendons par « droite » — aucun objet de référence qui soit « droit ». Pouvons-nous y parvenir ?

8-7 La parité n’est pas conservée !

Il se trouve que les lois de gravitation, les lois de l’électricité et du magnétisme, les forces nucléaires satisfont toutes les principes de symétrie de réflexion, de telle sorte que ces lois ou tout ce que l’on peut en déduire ne peuvent être employées. Mais associé avec les nombreuses particules qui ont été trouvées dans la nature, il existe un phénomène appelé la désintégration bêta, ou désintégration faible. Un des exemples de désintégration faible, en relation avec une particule découverte aux environs de 1954, a posé une question difficile. Une certaine particule chargée se désintégrait en trois mésons-π, comme il est indiqué schématiquement sur la Fig. 8-5. Cette particule fut appelée pendant un certain temps un méson-τ. Or sur la Fig. 8-5 nous voyons également une autre particule qui se désintègre en deux mésons ; l’un doit être neutre à cause de la conservation de la charge. Cette particule fut appelée un méson-θ. Ainsi d’un côté nous avons une particule appelée un τ, qui se désintègre en trois mésons-π, et de l’autre un θ qui se désintègre en deux mésons-π. On découvrit rapidement que le τ et le θ ont des masses presque égales ; en fait, à la limite des erreurs expérimentales près, elles sont égales. Ensuite, le temps qu’il leur faut pour se désintégrer en deux π et en trois π est exactement le même ; elles vivent le même temps. Ensuite, chaque fois qu’elles sont fabriquées, elles le sont dans les mêmes proportions, par exemple, 14 pour cent de τ, 86 pour cent de θ.

Fig. 8-5. Un diagramme schématique de la désintégration des particules τ⁺ et θ⁺.

N’importe qui, doué de bon sens, réalise immédiatement qu’elles doivent être la même particule, que nous produisons simplement un objet qui a deux manières différentes de se désintégrer — et non deux particules différentes. Cet objet qui peut se désintégrer de deux manières différentes a donc le même temps de vie et se décompose dans des proportions constantes (parce que c’est simplement le rapport des probabilités avec lesquelles il se désintègre en ces deux modes).

Cependant on réussit à prouver (nous ne pouvons absolument pas expliquer ici comment), à partir du principe de symétrie de réflexion en mécanique quantique, qu’il était impossible de produire ces deux choses venant de la même particule — la même particule ne pouvait pas se désintégrer de ces deux manières à la fois. La loi de conservation correspondant au principe de symétrie de réflexion est quelque chose qui n’a pas d’analogue classique, et c’est pourquoi ce genre de conservation en mécanique quantique fut appelée la conservation de la parité. C’était donc un résultat de la conservation de la parité, ou plus précisément de la symétrie dans une réflexion des équations de mécanique quantique des désintégrations faibles, que la même particule ne pouvait pas donner les deux choses, aussi ce devait être une sorte de coïncidence des masses, des temps de vie, etc. Mais plus on l’étudiait, plus la coïncidence était remarquable, et on soupçonna de plus en plus que la loi fondamentale de la symétrie de réflexion dans la nature pouvait être fausse.

Comme résultat de cet échec apparent, les physiciens Lee et Yang suggérèrent que d’autres expériences soient tentées dans des interactions voisines pour essayer de vérifier si la loi était correcte dans d’autres cas. La première expérience de ce genre fut réalisée par Melle Wu de Columbia et fut réalisée ainsi. En utilisant un aimant extrêmement fort à une très basse température, il se trouve qu’un certain isotope de cobalt qui se désintègre en émettant un électron, est magnétique, et si la température est suffisamment basse pour que les oscillations thermiques ne fassent pas trop s’agiter les aimants atomiques, ils s’alignent dans le champ magnétique. Ainsi les atomes de cobalt sont tous alignés dans un champ magnétique élevé. Puis ils se désintègrent, émettant un électron, et on découvrit que lorsque les atomes étaient alignés dans un champ magnétique dont le vecteur B pointait vers le haut, la plupart des électrons étaient émis dans une direction vers le bas.

Si on n’est pas réellement « attaché » au monde, une telle remarque ne semble pas avoir une quelconque signification, mais si on sait apprécier les problèmes et les choses intéressantes dans le monde, on voit que c’est une découverte tout à fait dramatique : lorsque nous plaçons des atomes de cobalt dans un champ magnétique extrêmement fort, il y a davantage d’électrons de désintégration qui vont vers le bas que vers le haut. De ce fait, si nous devions considérer une expérience correspondante dans un « miroir », dans laquelle les atomes de cobalt seraient alignés dans la direction opposée, ils cracheraient leurs électrons vers le haut et non pas vers le bas ; l’action n’est pas symétrique. Des cheveux ont poussé sur l’aimant ! Le pôle sud d’un aimant est d’un type tel que les électrons dans une désintégration bêta tend à s’en éloigner ; cela distingue, d’une manière physique, le pôle nord du pôle sud.

Après celle-ci, un grand nombre d’autres expériences furent réalisées : la désintégration du π en µ et v ; µ en un électron et deux neutrinos ; de nos jours, le Λ en proton et π ; la désintégration des Σ ; et de nombreuses autres désintégrations. En fait, dans presque tous les cas où on pouvait l’attendre, on a chaque fois trouvé qu’ils n’obéissaient pas à la symétrie de réflexion ! Fondamentalement, la loi de symétrie de réflexion à ce niveau en physique, n’est pas correcte.

En bref, nous pouvons dire à un Martien où placer le cœur : nous disons, « Écoutez, fabriquez-vous un aimant et mettez-y des enroulements, branchez le courant, prenez un peu de cobalt et baissez la température. Disposez l’expérience de telle sorte que les électrons aillent des pieds vers la tête, alors la direction dans laquelle le courant traverse les enroulements est la direction qui pénètre dans ce que nous appelons la droite et qui ressort de ce que nous appelons la gauche. » Il est ainsi possible de définir droite et gauche, maintenant, en réalisant une expérience de ce genre.

Beaucoup d’autres caractéristiques furent prédites. Par exemple, il se trouve que le spin, le moment cinétique, du noyau de cobalt avant désintégration vaut 5 unités de ħ, et après désintégration vaut 4 unités. L’électron a un moment cinétique de spin, et il y a également un neutrino en jeu. Il est facile de voir, à partir de là, que l’électron doit avoir son moment cinétique de spin aligné le long de sa direction de mouvement, de même pour le neutrino. Ainsi, il semble que l’électron tourne vers la gauche, et cela fut également vérifié. En fait, Boehm et Wapstra ont vérifié ici à Caltech, que les électrons tournent essentiellement vers la gauche. (Il y avait d’autres expériences qui donnaient la réponse opposée, mais elles étaient erronées !)

Le problème suivant, bien sûr, fut de trouver la loi de l’échec de la conservation de la parité. Quelle est la règle qui va nous dire le degré de cet échec ? La règle est celle-ci : elle n’apparaît que dans ces réactions extrêmement lentes, appelées désintégrations faibles, et lorsqu’elle apparaît, la règle est que la particule qui a un spin comme l’électron, le neutrino, etc., est produite avec un spin tendant à aller vers la gauche. C’est une règle asymétrique ; elle relie une vitesse, vecteur polaire, et un moment cinétique, vecteur axial, et dit que le moment cinétique a plus de chance de se trouver dans une direction opposée à la vitesse que le long de cette vitesse.

Voilà quelle est la règle, mais aujourd’hui nous ne comprenons pas réellement le pourquoi et les raisons de cela. Pourquoi est-ce la règle correcte, quelle en est la raison fondamentale, et comment est-ce relié à tout le reste ? Sur le moment nous avons été si choqués par le fait que ce n’était pas symétrique que nous n’avons pas encore assez récupéré pour comprendre ce que cela veut dire par rapport à toutes les autres règles. Cependant, le sujet est intéressant, moderne et encore non résolu, aussi il semble approprié que nous discutions quelques questions qui lui sont associées.

8-8 L’antimatière

La première chose à faire lorsque l’une des symétries est perdue est de revenir immédiatement à la liste des symétries connues ou supposées et de voir si l’une des autres a également été détruite. Nous n’avons pas mentionné une opération sur notre liste, qui doit manifestement être mise en question, c’est la relation entre matière et antimatière. Dirac a prédit qu’en plus des électrons il doit y avoir une autre particule, appelée le positron (découverte à Caltech par Anderson) qui est nécessairement reliée à l’électron. Toutes les propriétés de ces deux particules obéissent à certaines règles de correspondance : les énergies sont égales ; les masses sont égales ; les charges sont opposées ; mais, plus important que tout le reste, les deux, lorsqu’elles s’approchent l’une de l’autre, peuvent s’annihiler l’une l’autre, et libérer leur masse entière sous forme d’énergie, par exemple de rayons gamma. Le positron est appelé une antiparticule de l’électron, et telles sont les caractéristiques d’une particule et de son antiparticule. Il est clair à partir de la démonstration de Dirac que toutes les autres particules dans le monde devaient également avoir leurs antiparticules correspondantes. Par exemple, pour le proton il doit y avoir un antiproton, qui est maintenant symbolisé par p̵. Le p̵ aurait une charge électrique négative et la même masse qu’un proton, etc. La caractéristique la plus importante, cependant, est qu’un proton et un antiproton se rapprochant peuvent s’annihiler l’un l’autre. La raison pour laquelle nous insistons là-dessus est que les gens ne comprennent pas, lorsque nous disons qu’il y a un neutron et également un antineutron, parce qu’ils disent : « Un neutron est neutre, ainsi comment peut-il avoir la charge opposée ? » La règle de l’« anti » n’est pas simplement que l’antiparticule a la charge opposée, elle a un certain ensemble de propriétés, et tout cet ensemble est l’opposé à celui de la particule. L’antineutron se distingue du neutron de cette manière : si nous rapprochons deux neutrons, ils se comportent comme deux neutrons, mais si nous rapprochons un neutron et un antineutron, ils s’annihilent l’un l’autre avec une grande explosion d’énergie libérée, avec divers mésons-π, rayons gamma et que sais-je encore.

Si maintenant nous avons des antineutrons, des antiprotons, des antiélectrons, nous pouvons en principe faire des antiatomes. Ils n’ont pas encore été construits jusqu’à présent, mais c’est possible en principe. Par exemple, un atome d’hydrogène est constitué d’un proton au centre avec un électron qui gravite autour. Imaginez que quelque part nous puissions fabriquer un antiproton avec un positron tournant autour, tournerait-il autour ? Eh bien, d’abord l’antiproton est électriquement négatif et l’antiélectron est électriquement positif, ils s’attirent donc l’un l’autre d’une manière correspondante — les masses sont toutes les mêmes ; tout est identique. C’est un des principes de la symétrie de la physique, les équations semblent montrer que si une horloge, par exemple, était faite de matière, et que si nous fabriquons la même horloge à partir d’antimatière, elle fonctionnerait de la même manière. (Bien entendu, si nous rapprochons les deux horloges, elles vont s’annihiler l’une l’autre, mais cela est différent.)

Une question immédiate se pose alors. Nous pouvons avec de la matière construire deux horloges, l’une qui est de « main gauche » et l’autre qui est de « main droite ». Par exemple, nous pouvons réaliser une horloge qui n’est pas construite d’une manière simple, mais qui contient du cobalt, des aimants, des détecteurs d’électrons qui détectent la présence des électrons issus de désintégrations faibles et les comptent. Chaque fois que l’un d’entre eux est compté, l’aiguille des secondes se déplace. Alors l’horloge-miroir recevant moins d’électrons ne fonctionnera pas à la même vitesse. Ainsi, évidemment, nous pouvons fabriquer deux horloges de telle sorte que l’horloge de « main gauche » ne soit pas en accord avec l’horloge de « main droite ». Fabriquons, à partir de la matière, une horloge que nous appelons l’horloge de référence ou de « main droite ». Essayons ensuite aussi à partir de matière, de fabriquer une horloge que nous appelons l’horloge de « main gauche ». Nous venons tout juste de découvrir que, en général, ces deux horloges ne vont pas fonctionner de la même manière ; avant cette fameuse découverte physique, on ne le pensait pas. On supposait également que la matière et l’antimatière étaient équivalentes. C’est-à-dire que si nous faisons une horloge à partir d’antimatière, de main droite, avec la même forme, elle fonctionnera de la même manière que l’horloge de matière, de « main droite », et si nous fabriquons la même horloge « gauche » elle fonctionnera de la même manière. En d’autres termes, au début on pensait que toutes les quatre horloges étaient les mêmes ; bien entendu, maintenant, nous savons que les matières « droite » et « gauche » ne sont pas les mêmes. Probablement, donc, l’antimatière « droite » et l’antimatière « gauche » ne sont pas les mêmes.

Ainsi, la question évidente est de savoir laquelle des deux va avec l’autre. En d’autres termes, est-ce que la matière « droite » se comporte de la même manière que l’antimatière « droite » ? Ou est-ce que la matière « droite » se comporte de la même manière que l’antimatière « gauche » ? Les expériences d’interactions faibles utilisant des interactions de positrons plutôt que des interactions d’électrons, indiquent que la relation est cela : la matière « droite » fonctionne de la même manière que l’antimatière « gauche ».

De ce fait, au total, il est effectivement vrai que la symétrie droite et gauche est encore conservée ! Si nous fabriquons une horloge gauche, mais que nous la fabriquons à partir de l’autre type de matière, de l’antimatière au lieu de matière, elle fonctionnera de la même manière. Ainsi ce qui s’est passé est qu’au lieu d’avoir deux règles indépendantes dans notre liste de symétries, deux de ces règles se fondent pour en former une nouvelle, qui dit que la matière « droite » est symétrique de l’antimatière « gauche ».

Ainsi, si notre Martien est constitué d’antimatière et que nous lui donnons des instructions pour faire son modèle « droit » comme le nôtre, cela donnera, bien entendu, le résultat inverse. Alors que va-t-il se passer, si après de multiples conservations, nous avons chacun appris à l’autre à fabriquer des vaisseaux spatiaux et que nous nous rencontrons dans l’espace vide à mi-chemin ? Nous nous serons mutuellement enseigné nos traditions, etc., et nous allons l’un et l’autre courir à notre rencontre pour nous serrer la main. Bien, s’il tend sa main gauche, faites attention !

8-9 Violation des symétries

La question suivante est : que pouvons-nous faire de lois qui sont presque symétriques ? La chose magnifique est que pour un aussi large domaine de phénomènes importants et forts — les forces nucléaires, les phénomènes électriques et même les phénomènes faibles comme la gravitation — sur un domaine énorme de la physique, toutes les lois de ces phénomènes semblent être symétriques. Par ailleurs, ce petit résultat supplémentaire dit : « Non, les lois ne sont pas symétriques ! » Comment peut-il se faire que la nature soit presque symétrique et non pas parfaitement symétrique ? Que devons-nous faire de cela ? D’abord, avons-nous d’autres exemples ? La réponse est oui, nous avons en fait quelques autres exemples. Par exemple, la partie nucléaire de la force entre proton et proton, entre neutron et neutron, et entre neutron et proton, est chaque fois exactement la même — il y a une symétrie des forces nucléaires, une nouvelle, qui est que nous pouvons interchanger les neutrons et protons — mais ce n’est évidemment pas une symétrie générale, car la répulsion électrique entre deux protons à une certaine distance n’existe pas pour les neutrons. Aussi, il n’est pas généralement vrai que nous puissions toujours remplacer un proton par un neutron, mais ce n’est vrai qu’à une bonne approximation. Pourquoi bonne ? Parce que les forces nucléaires sont beaucoup plus grandes que les forces électriques. C’est donc aussi une « quasi-symétrie ». Nous avons donc des exemples dans d’autres domaines.

Notre esprit a tendance à accepter la symétrie comme une sorte de perfection. En fait, c’est un peu comme la vieille idée des Grecs que les cercles étaient parfaits, et ils avaient une grande répugnance à croire que les orbites planétaires n’étaient pas des cercles, mais seulement presque des cercles. La différence entre être un cercle et être presque un cercle n’est pas une petite différence, c’est un changement fondamental en tout cas pour l’esprit. Il y a un aspect de perfection et de symétrie dans un cercle, qui n’apparaît plus au moment où le cercle est légèrement déformé — c’est fini, il n’est plus symétrique. Alors, la question est pourquoi est-ce seulement presque un cercle — c’est une question bien plus difficile. Le mouvement réel des planètes, en général, doit s’effectuer le long d’ellipses, mais graduellement, à cause des forces de marée, etc., ils sont devenus presque symétriques. La question est de savoir si nous avons ici un problème semblable. Le problème du point de vue des cercles est que si c’étaient des cercles parfaits, il n’y aurait rien à expliquer, c’est clairement simple. Mais puisque ce ne sont que des cercles presque parfaits, il y a énormément de choses à expliquer, et le résultat se trouve être un problème dynamique énorme, et maintenant notre problème est d’expliquer pourquoi ils sont presque symétriques en considérant les forces des marées, etc.

Ainsi notre problème est d’expliquer d’où vient la symétrie. Pourquoi la nature est-elle si proche d’une symétrie totale ? Personne n’a idée du pourquoi. La seule chose que nous pouvons suggérer est quelque chose qui ressemble à cela : il existe une porte au Japon, une porte à Neiko, qui est quelquefois appelée par les Japonais la plus belle porte de tout le Japon ; elle fut construite à un moment où l’art chinois avait une grande influence. Cette porte est très compliquée, avec beaucoup de gâbles, de belles sculptures, beaucoup de colonnes, de têtes de dragons et de princes sculptées dans les piliers, etc. Mais lorsqu’on regarde de plus près, on voit que dans le dessin complexe élaboré sur un des piliers, un des petits éléments du dessin est sculpté à l’envers ; à part ceci, la chose est complètement symétrique. Si on en demande le pourquoi, l’histoire est que ce fut sculpté à l’envers, de telle sorte que les dieux ne soient pas jaloux de la perfection de l’homme. Ainsi les architectes avaient-ils à dessein introduit une erreur à cet endroit, de telle sorte que les dieux ne soient pas jaloux et ne prennent pas ombrage des êtres humains.

Nous aimerions renverser l’idée et penser peut-être que la véritable explication de la quasi-symétrie de la nature est celle-ci : Dieu a rendu les lois seulement presque symétriques, de telle sorte que nous ne soyons pas jaloux de Sa perfection !

Chapitre 9

Le principe de la relativité restreinte

9-1 Le principe de la relativité

Pendant au moins deux cents ans on a considéré que les équations du mouvement énoncées par Newton décrivaient la nature cor- rectement, et la première fois qu’une erreur fut découverte dans ces lois, la façon de la corriger le fut également. L’erreur et sa correction furent découvertes par Einsteinen 1905.

La Deuxième Loi de Newton, que nous avons exprimée par l’équation

était énoncée avec l’hypothèse tacite que m était une constante, mais nous savons maintenant que ce n’est pas vrai, et que la masse d’un corps augmente avec la vitesse. Avec la formule corrigée d’Einstein m a la valeur

où la « masse au repos » m₀ représente la masse d’un corps qui ne se déplace pas et où c est la vitesse de la lumière, qui est environ 3 × 10⁵ km.s–1.

Pour ceux qui veulent juste en apprendre assez pour résoudre des problèmes, c’est tout ce qu’il y a dans la théorie de la relativité — cela modifie simplement les lois de Newton en introduisant un facteur de correction pour la masse. De la formule elle-même, il est facile de voir que l’augmentation de masse est très petite dans les circonstances ordinaires. Même si la vitesse est aussi grande que celle d’un satellite qui tourne autour de la terre à 8 km/s, alors v/ c = 8/300 000 : la formule montre, avec cette valeur, que la correction de masse est simplement une part pour deux à trois milliards, ce qui est pratiquement impossible à observer. En réalité, l’exactitude de la formule a été amplement confirmée par l’observation de nombreux types de particules se déplaçant à des vitesses pouvant pratiquement atteindre la vitesse de la lumière. Cependant, puisque l’effet est habituellement si petit, il semble remarquable qu’il fût découvert théoriquement avant qu’il ne l’ait été expérimentalement. Empiriquement, à une vitesse suffisamment élevée, l’effet est très grand, mais il ne fut pas découvert de cette manière. De ce fait, il est intéressant de voir comment une loi qui comporte une modification aussi fine (au temps où elle fut découverte) fut mise en lumière par une combinaison d’expériences et de raisonnements physiques. Des contributions à ces découvertes furent apportées par un grand nombre de personnes, le résultat final de ces travaux étant la découverte d’Einstein.

Il y a en réalité deux théories de la relativité d’Einstein. Ce chapitre s’intéresse à la théorie de la relativité restreinte, qui date de 1905. En 1915 Einstein publia une théorie supplémentaire, appelée la théorie de la relativité générale. Cette théorie ultérieure s’occupe de l’extension de la relativité restreinte au cas de la loi de gravitation ; nous ne discuterons pas ici cette théorie générale.

Le principe de la relativité fut d’abord énoncé par Newton dans l’un de ses corollaires aux lois du mouvement : « Les mouvements de corps placés dans un certain espace sont les mêmes les uns par rapport aux autres, que cet espace soit au repos ou qu’il avance uniformément selon une ligne droite. » Cela signifie, par exemple, que si un vaisseau spatial se déplace à une vitesse uniforme, toutes les expériences réalisées et tous les phénomènes dans le vaisseau spatial paraîtront identiques à ce que l’on obtiendrait si le vaisseau ne se déplaçait pas, pourvu, bien sûr, que l’on ne regarde pas à l’extérieur. C’est là la signification du principe de la relativité. C’est une idée simple, et la seule question est de savoir s’il est vrai que dans toutes les expériences réalisées à l’intérieur d’un système en mouvement, les lois de la physique paraissent les mêmes que si le système était resté au repos. Voyons d’abord si les lois de Newton paraissent les mêmes dans le système en mouvement.

Supposons que Durand se déplace dans la direction x avec une vitesse uniforme u, et qu’il mesure la position d’un certain point indiqué sur la Fig. 9-1. Il appelle x′ dans son système de coordonnée la « distance x » de ce point. Dupont est au repos, et mesure la position du même point, désignant par x dans son système sa coordonnée selon x. À partir du diagramme la relation entre les coordonnées dans les deux systèmes est évidente. Après un temps t l’origine de Durand s’est déplacée d’une distance ut, et si les deux systèmes coïncidaient initialement,

Fig. 9-1. Deux systèmes de coordonnées en mouvement relatif uniforme le long de leurs axes x.

Si nous substituons cettre transformation des coordonnées dans les lois de Newton nous trouverons que ces lois se transforment en des lois identiques dans le système « prime » ; c’est-à-dire que les lois de Newton ont la même forme dans un système en mouvement que dans un système stationnaire, et de ce fait, il est impossible en réalisant des expériences mécaniques, de dire si le système est ou non en mouvement.

Le principe de la relativité a été pendant longtemps utilisé en mécanique. Il fut utilisé par diverses personnes, en particulier par Huygens, pour obtenir les lois des collisions des boules de billard, d’une manière très semblable à celle utilisée au Chapitre 10 pour discuter la conservation de la quantité de mouvement. Au siècle passé l’intérêt pour ce principe augmenta à la suite des recherches concernant les phénomènes de l’électricité, du magnétisme et de la lumière. Une longue suite d’études soigneuses de ces phénomènes par de nombreuses personnes aboutit aux équations de Maxwell du champ électromagnétique, qui réunissent dans un système uniforme l’électricité, le magnétisme et la lumière. Cependant les équations de Maxwell ne semblent pas obéir au principe de la relativité. C’est-à-dire, si nous transformons les équations de Maxwell par la substitution de l’Éq. (9.2), leurs formes ne restent pas les mêmes ; de ce fait, les phénomènes électriques et optiques dans un vaisseau spatial en mouvement devraient être différents de ceux dans un vaisseau au repos. Ainsi pourrait-on utiliser ces phénomènes optiques pour déterminer la vitesse du vaisseau ; en particulier on pourrait déterminer la vitesse absolue du vaisseau en faisant des mesures optiques ou électriques adéquates. Une des conséquences des équations de Maxwell est que s’il y a une perturbation dans le champ telle que de la lumière soit créée, ces ondes électromagnétiques s’éloignent dans toutes les directions de la même manière et à la même vitesse c, ou 300 000 km/s. Une autre conséquence des équations est que, si la source de la perturbation se déplace, la lumière émise parcourt l’espace à la même vitesse c. Cela est analogue au cas du son, la vitesse des ondes sonores étant de la même manière indépendante du mouvement de la source.

Cette indépendance du mouvement de la source, dans le cas de la lumière, fait naître un très intéressant problème :

Supposons que nous soyons dans une voiture qui roule à une vitesse u, et que la lumière venant de l’arrière passe à côté du véhicule avec la vitesse c. Dérivons la première équation dans (9.2), cela nous donne

dx′/dt = dx/dt − u,

ce qui signifie que, selon la transformation de Galilée, la vitesse apparente de la lumière qui passe, mesurée dans la voiture, ne doit pas être c mais doit être c − u. Par exemple si la voiture se déplace à 160 000 km/s, et la lumière se déplace à 300 000 km/s. alors apparemment la lumière passant près de la voiture doit aller à 140 000 km/s. En tous les cas, en mesurant la vitesse de la lumière passant à côté de la voiture (si la transformation de Galilée est correcte pour la lumière), on peut déterminer la vitesse de la voiture. Un certain nombre d’expériences basées sur cette idée générale furent tentées pour déterminer la vitesse de la terre, mais ce furent chaque fois des échecs — elles ne donnaient aucune vitesse. Nous allons discuter une de ces expériences en détail, pour montrer exactement ce qui fut fait et quel était le problème ; il y avait un problème, bien sûr, quelque chose n’allait pas dans les équations de la physique. Qu’est-ce que cela pouvait-il bien être ?

9-2 La transformation de Lorentz

Lorsque l’échec des équations de la physique dans les cas précédents fut mis en évidence, la première idée fut que la difficulté devait se trouver dans les nouvelles équations de Maxwell de l’électrodynamique, qui n’avaient que vingt ans d’âge à cette époque. Il semblait presque évident que ces équations devaient être fausses, aussi la chose à faire était de les modifier d’une manière telle qu’avec la transformation galiléenne le principe de la relativité soit satisfait. Lorsque cela fut essayé, les nouveaux termes qu’on devait introduire dans les équations conduisirent à des prédictions de nouveaux phénomènes électriques dont l’existence fut infirmée par l’expérience, aussi cette tentative dut être abandonnée. Alors il devint petit à petit manifeste que les lois de Maxwell de l’électrodynamique étaient correctes, et qu’il fallait rechercher ailleurs la difficulté.

Pendant ce temps, H.A. Lorentz, en réalisant les substitutions suivantes dans les équations de Maxwell, remarqua une chose étonnante et curieuse :

à savoir que les équations de Maxwell conservaient la même forme lorsque cette transformation leur était appliquée ! Les Éq. (9.3) sont connues sous le nom de transformation de Lorentz. Einstein, suivant une suggestion initialement avancée par Poincaré, proposa alors que toutes les lois physiques doivent être telles qu’elles restent inchangées dans une transformation de Lorentz. En d’autres termes, nous devons changer non les lois de l’électrodynamique, mais les lois de la mécanique. Comment devons-nous modifier les lois de Newton de telle sorte qu’elles restent inchangées dans la transformation de Lorentz ? Si nous nous fixons ce but, nous devons réécrire les équations de Newton d’une manière telle que les conditions imposées soient satisfaites. Il est apparu que la seule obligation est de remplacer la masse m dans les équations de Newton par la forme indiquée à l’Éq. (9.1). Lorsque ce changement est réalisé, les lois de Newton et les lois de l’électrodynamique sont en accord. Si ensuite nous utilisons la transformation de Lorentz en comparant les mesures de Durand avec celles de Dupont, nous ne serons jamais capables de détecter si l’un ou l’autre se déplace, parce que la forme de toutes les équations sera la même dans les deux systèmes de coordonnées !

Il est intéressant de discuter ce que cela signifie de remplacer l’ancienne transformation entre les coordonnées et le temps par la nouvelle, car l’ancienne (galiléenne) semble évidente et la nouvelle (Lorentz) paraît curieuse. Nous voulons savoir s’il est logique et expérimentalement possible que la nouvelle transformation puisse être correcte, et non l’ancienne. Pour ce faire, il n’est pas suffisant d’étudier les lois de la mécanique mais, comme le fit Einstein, nous devons également analyser nos idées d’espace et de temps afin de comprendre cette transformation. Nous allons devoir pendant un certain temps discuter ces idées et leurs implications pour la mécanique, aussi dirons-nous d’avance que l’effort sera justifié, puisque les résultats sont en accord avec l’expérience.

9-3 L’expérience de Michelson-Morley

On a dit précédemment que des tentatives furent réalisées pour déterminer la vitesse absolue de la terre au travers de l’hypothétique « éther » qui était supposé remplir tout l’espace. La plus célèbre de ces expériences est celle réalisée par Michel- son et Morley en 1887. Ce fut dix-huit ans plus tard que les résultats négatifs de l’expérience furent finalement expliqués par Einstein.

Fig. 9-2. Diagramme schématique de l’expérience de Michelson-Morley.

L’expérience de Michelson-Morley fut réalisée avec un appareil tel que celui montré schématiquement sur la Fig. 9-2. Cet appareil est essentiellement formé d’une source lumineuse A, d’une plaque de verre semi-argentée B, et de deux miroirs C et E, tous montés sur une base rigide. Les miroirs sont placés à égales distances L de B. La plaque B divise un faisceau incident de lumière en deux, et les deux faisceaux qui en résultent continuent dans des directions mutuellement perpendiculaires vers les miroirs, où ils sont renvoyés par réflexion vers B. En revenant en B les deux faisceaux sont recombinés en deux faisceaux superposés, D et F. Si le temps mis par la lumière pour aller de B en E et revenir est le même pour aller de B en C et revenir, les faisceaux émergents D et F seront en phase et se renforceront l’un l’autre, mais si les deux temps diffèrent légèrement, les faisceaux seront légèrement déphasés et une interférence se manifestera. Si l’appareil est « au repos » dans l’éther, les temps doivent être précisément égaux, mais s’il se déplace vers la droite avec une vitesse u, il doit y avoir une différence entre les temps. Voyons pourquoi.

Premièrement, calculons le temps que met la lumière pour aller de B en E et retour. Disons que le temps mis par la lumière pour aller de la plaque B au miroir E est t₁, et que le temps de retour est t₂. Tandis que la lumière parcourt le chemin de B jusqu’au miroir, l’appareil s’est déplacé d’une distance ut₁, et la lumière doit donc traverser une distance L + ut₁, à la vitesse c. Nous pouvons également exprimer cette distance comme étant ct₁, ce qui fait que nous avons

ct₁ = L + ut₁, ou t₁ = L/ (c − u ).

(Ce résultat est également évident en partant du point de vue que la vitesse de la lumière relativement à l’appareil est c − u. Aussi le temps est-il donné par la longueur L divisée par c − u.) Le temps t₂ peut être calculé d’une manière semblable. Pendant ce temps la plaque B avance d’une distance ut₂, aussi la distance de retour de la lumière est L − ut₂. Nous avons alors

ct₂ = L − ut₂, ou t₂ = L/ (c + u ).

Le temps total est donc

t₁ + t₂ = 2 Lc/ (c² − u²).

Pour faciliter les comparaisons ultérieures des temps nous écrivons cela

Notre deuxième calcul sera celui du temps t₃ mis par la lumière pour aller de B au miroir C. Comme avant, pendant le temps t₃, le miroir C se déplace vers la droite d’une distance ut3 jusqu’à la position C′ ; dans le même temps, la lumière traverse une distance ct₃ le long de l’hypoténuse d’un triangle, qui est BC′. Dans ce triangle rectangle nous avons

(ct₃)² = L² + (ut₃)²

ou

d’où nous tirons

La distance est la même sur le chemin de retour de C′, comme on peut le voir à partir de la symétrie de la figure ; ce qui fait que le temps de retour est également le même, et que le temps total est 2 t₃. Après une légère transformation de la forme, nous pouvons écrire

Nous sommes maintenant en mesure de comparer les temps mis par les deux faisceaux de lumière. Dans les expressions (9.4) et (9.5) les numérateurs sont identiques et représentent le temps mis, si l’appareil est au repos. Dans les dénominateurs, le terme u² /c² sera petit tant que u n’est pas comparable en grandeur à c. Les dénominateurs représentent les modifications des temps causées par les mouvements de l’appareil. Et voyez, ces modifications ne sont pas les mêmes — le temps pour aller en C et revenir est un petit peu inférieur au temps pour aller en E et revenir, bien que les miroirs soient équidistants de B, et tout ce que nous devons faire, c’est mesurer cette différence avec précision.

Ici surgit un point technique mineur — supposons que les deux longueurs L ne soient pas exactement égales. En fait, nous ne pouvons sûrement pas les rendre exactement égales. Dans ce cas, nous tournons simplement l’appareil de 90 degrés, de telle sorte que BC soit dans la direction du mouvement et que BE soit perpendiculaire au mouvement. Toute petite différence en longueur devient alors sans importance, et ce que nous cherchons est un déplacement des franges d’interférences lorsque nous tournons l’appareil.

En réalisant l’expérience, Michelson et Morley avaient orienté l’appareil de telle sorte que la droite BE soit pratiquement parallèle au mouvement de la terre sur son orbite (à certains moments du jour et de la nuit). Cette vitesse orbitale est d’environ 30 kilomètres par seconde et toute « dérive d’éther » doit être au moins autant, à un certain moment du jour ou de la nuit et à un certain moment pendant l’année. L’appareil était suffisamment sensible pour observer un tel effet, mais on ne décela aucune différence de temps — la vitesse de la terre au travers de l’éther ne put être mise en évidence. Le résultat de l’expérience était nul.

Le résultat de l’expérience de Michelson et Morley était très curieux et vraiment troublant. La première idée fructueuse pour trouver un moyen de sortir de l’impasse vint de Lorentz. Il suggéra que les corps matériels se contractent lorsqu’ils se déplacent, que cette contraction ne se fait que dans la direction du mouvement, et que si la longueur d’un corps au repos est L₀, sa nouvelle longueur que nous appelons L∥ (L-parallèle) lorsqu’il se déplace avec une vitesse u parallèlement à sa longueur, est donnée par

Lorsque cette modification est appliquée à l’appareil interféromètre de Michelson-Morley, la distance de B à C ne change pas, mais la distance de B à E est ramenée à . Ce qui fait que l’Éq. (9.5) n’est pas changée, mais le L de l’Éq. (9.4) doit être transformé en accord avec l’Éq. (9.6). Lorsque cela est fait nous obtenons

En comparant ce résultat avec l’Éq. (9.5), nous voyons que t₁ + t₂ = 2 t₃. Donc si l’appareil se rétrécit de cette manière, nous avons un moyen de comprendre pourquoi l’expérience de Michelson et Morley ne donne aucun résultat. Bien que l’hypothèse de contraction rende compte avec succès du résultat négatif de l’expérience, elle était sujette à l’objection qu’on l’avait inventée spécialement dans le but d’éliminer cette difficulté, et qu’elle était vraiment trop artificielle. Cependant, dans de nombreuses autres expériences pour découvrir un vent d’éther, des difficultés semblables se manifestèrent jusqu’à ce qu’il apparût que la nature « conspirait » pour contrecarrer l’homme en introduisant des phénomènes nouveaux pour annuler l’effet de tous les phénomènes dont l’homme pensait qu’ils permettraient une mesure de u.

Il fut en définitive reconnu, comme Poincaré le remarqua, qu’une conspiration totale est elle-même une loi de la nature. Poincaré proposa alors qu’il y ait une loi dans la nature telle qu’il n’est possible par aucune expérience de découvrir un vent d’éther ; c’est-à-dire, il n’y a aucune manière de déterminer une vitesse absolue.

9-4 Transformation du temps

En vérifiant si l’idée de contraction est en accord avec des faits dans d’autres expériences, il est apparu que tout était correct pourvu que le temps soit également modifié de la manière exprimée dans la quatrième équation de l’ensemble (9.3). C’est parce que le temps t₃ calculé pour le voyage de B à C et retour n’est pas le même quand il est calculé par un homme réalisant l’expérience dans un vaisseau spatial en mouvement que lorsqu’il est calculé par un observateur stationnaire qui observe le vaisseau spatial. Pour l’homme dans le vaisseau, le temps est simplement 2 L/c, mais pour l’autre observateur il est (Éq. 9.5). En d’autres termes, lorsque l’observateur extérieur voit l’homme dans le vaisseau allumer un cigare, toutes les actions paraissent plus lentes que la normale, tandis que pour l’homme à l’intérieur, tout se passe à une vitesse normale. Ainsi, non seulement les distances doivent-elles se raccourcir, mais les instruments qui mesurent le temps (les « horloges ») doivent également apparemment ralentir. C’est-à-dire que lorsque l’horloge dans le vaisseau spatial enregistre pour l’homme dans le vaisseau l’écoulement d’une seconde, elle indique seconde à l’homme à l’extérieur.

Ce ralentissement des horloges dans un système en mouvement est un phénomène très curieux et mérite une explication. Pour comprendre cela, il nous faut considérer le mécanisme de l’horloge et voir ce qui se passe lorsqu’elle se déplace. Puisque c’est assez difficile, nous allons prendre un très simple exemple d’horloge. Celle que nous allons choisir est d’un genre plutôt bizarre mais elle fonctionne en principe : c’est une tige (bâton d’un mètre) avec un miroir à chaque extrémité, et lorsque nous envoyons un signal de lumière entre les miroirs, la lumière continue de se déplacer vers le haut et vers le bas, émettant un top chaque fois qu’elle arrive en bas, tout à fait comme une horloge habituelle qui bat. Nous construisons ces deux horloges exactement de même longueur, et les synchronisons en les faisant partir ensemble ; elles sont par la suite toujours en accord, puisqu’elles ont la même longueur et que la lumière se déplace toujours avec la même vitesse c. Nous donnons une de ces horloges à l’homme pour l’emporter dans un vaisseau spatial, et il monte le barreau perpendiculairement à la direction du mouvement du vaisseau ; la longueur du barreau ne changera donc pas. Comment savons-nous que les longueurs perpendiculaires ne changent pas ? Les deux hommes peuvent se mettre d’accord pour mettre des marques sur leurs barreaux respectifs dans la direction y lorsqu’ils se dépassent. Par symétrie, les deux marques doivent se trouver aux mêmes coordonnées y et y′, sinon, lorsque les deux individus se rencontrent pour comparer les résultats, une marque sera au-dessus ou en dessous de l’autre, et ainsi nous pourrions dire lequel se déplaçait vraiment.

Maintenant voyons ce qui se passe pour l’horloge en mouvement. Avant que l’homme ne la prenne à bord, il était d’accord que c’était une bonne horloge normale, et lorsqu’il s’éloigne avec le vaisseau spatial, il n’observe rien de particulier. Sinon il saurait qu’il est en mouvement — si la moindre chose change à cause du mouvement, il pourrait dire qu’il est en mouvement. Mais le principe de la relativité dit que c’est impossible dans un système en mouvement uniforme, donc rien n’a changé. De l’autre côté, lorsque l’observateur externe regarde l’horloge passer devant lui, il remarque que la lumière allant d’un miroir à l’autre suit en « réalité » une trajectoire en zig-zag, puisque le barreau se déplace latéralement. Nous avons déjà analysé un tel mouvement en zig-zag en relation avec l’expérience de Michelson-Morley. Si dans un temps donné, le barreau se déplace vers l’avant d’une distance proportionnelle à u à la Fig. 9-3, la distance que la lumière parcourt dans le temps est proportionnelle à c, et la distance verticale est donc proportionnelle à .

C’est-à-dire qu’il faut un temps plus long à la lumière pour aller d’une extrémité à l’autre dans l’horloge en mouvement que dans l’horloge stationnaire. De ce fait, le temps apparent entre les tops est plus long pour l’horloge en mouvement, dans la même proportion que celle indiquée par l’hypoténuse et le côté dans le triangle (c’est la raison de l’expression en racine carrée dans nos équations). À partir de la figure il est également manifeste que plus u est grand, plus lentement l’horloge semblera fonctionner. Non seulement ce type particulier d’horloge fonctionne plus lentement, mais si la théorie de la relativité est correcte, toute autre horloge opérant selon n’importe quel principe paraîtra également fonctionner plus lentement, et dans la même proportion — nous pouvons le dire sans analyse supplémentaire. Pourquoi en est-il ainsi ?

Fig. 9-3. (a) Une « horloge à lumière » au repos dans le système S′. (b) La même horloge, se déplaçant dans le système S. (c). Illustration de la trajectoire diagonale empruntée par le faisceau lumineux dans une « horloge à lumière » en mouvement.

Pour répondre à cette question, supposons que nous ayons deux autres horloges exactement semblables avec des roues et des engrenages, ou peut-être basées sur une désintégration radioactive, ou sur quelque chose d’autre. Nous ajustons ces horloges de telle sorte qu’elles fonctionnent en synchronisme précis avec nos premières horloges. Lorsque la lumière monte et redescend dans les premières horloges et annonce son arrivée par un top, les nouveaux modèles terminent également un certain genre de cycle, ce qu’ils annoncent simultanément par un éclair en double coïncidence, ou un bong, ou tout autre signal. Une de ces horloges est emportée dans le vaisseau spatial en même temps que le premier modèle. Peut-être cette horloge ne fonctionnera-t-elle pas plus lentement, mais continuera-t-elle d’indiquer le même temps que son homologue stationnaire, et donc se trouvera en désaccord avec l’autre horloge en mouvement. Ah non, si cela devait se passer, l’homme dans le vaisseau pourrait utiliser ce désaccord entre ses deux horloges pour déterminer la vitesse de son vaisseau, ce que nous avons supposé être impossible. Il n’est pas nécessaire que nous ayons la moindre notion du mécanisme de la nouvelle horloge qui peut causer cet effet — nous savons simplement que quelle qu’en soit la raison, elle paraîtra fonctionner plus lentement, de la même manière exactement que la première.

Si toutes les horloges en mouvement fonctionnent plus lentement, si toute manière de mesurer le temps ne donne rien d’autre qu’une vitesse plus lente, il nous faut simplement dire, dans un certain sens, que le temps lui-même paraît plus lent dans le vaisseau spatial. Tous les phénomènes — le pouls de l’homme, ses modes de pensée, le temps qu’il lui faut pour allumer un cigare, le temps qu’il lui faut pour grandir et vieillir —, toutes ces choses doivent être ralenties dans la même proportion, car il ne peut pas dire qu’il est en mouvement. Les biologistes et les médecins disent quelquefois qu’il n’est pas du tout certain que le temps qu’il faut à un cancer pour se développer soit plus long dans un vaisseau spatial, mais du point de vue d’un physicien moderne, c’est pratiquement certain ; sinon on pourrait utiliser la vitesse de développement du cancer pour déterminer la vitesse du vaisseau !

Un exemple très intéressant du ralentissement du temps avec le mouvement est fourni par les mésons mu (muons), qui sont des particules qui se désintègrent après un temps de vie moyen de 2,2 × 10–6 s. Elles parviennent sur terre dans les rayons cosmiques, et peuvent être également produites artificiellement en laboratoire. Certaines d’entre elles se désintègrent en l’air, mais le restant ne se désintègre qu’après avoir rencontré un morceau de matière et s’être arrêté. Il est clair que pendant sa courte vie un muon ne peut pas parcourir, même à la vitesse de la lumière, bien davantage que 600 mètres. Mais bien que les muons soient créés au sommet de l’atmosphère, à plus de 10 kilomètres on les trouve effectivement dans les rayons cosmiques dans des laboratoires à notre niveau. Comment cela peut-il être ? La réponse est que différents muons se déplacent à des vitesses diverses, certaines d’entre elles étant très proches de la vitesse de la lumière. Tandis que de leur propre point de vue ils ne vivent qu’environ 2 micro-secondes, de notre point de vue ils vivent considérablement plus longtemps — suffisamment plus longtemps pour qu’ils puissent atteindre la terre. Le facteur par lequel le temps est augmenté a déjà été donné et vaut . La vie moyenne des muons de différentes vitesses a été mesurée avec une bonne précision, et les valeurs sont en bon accord avec la formule.

Nous ne savons pas pourquoi le méson se désintègre ou quel est son mécanisme, mais nous savons que son comportement est en accord avec le principe de la relativité. C’est là l’utilité du principe de la relativité — il nous permet de faire des prédictions même pour certaines choses sur lesquelles par ailleurs nous ne savons pas grand-chose. Par exemple, avant d’avoir la moindre idée de ce qui fait que le méson se désintègre, nous pouvons déjà prédire que lorsqu’il se déplace à neuf dixièmes de la vitesse de la lumière, la durée apparente de sa vie sera s ; et nos prédictions sont correctes, c’est cela qui est intéressant.

9-5 La contraction de Lorentz

Revenons maintenant à la transformation de Lorentz (9.3) et essayons d’améliorer notre compréhension de la relation entre les systèmes de coordonnées (x, y, z, t) et (x′, y′, z′, t′) que nous appellerons les systèmes S et S′, ou respectivement les systèmes de Dupont et Durand. Nous avons déjà remarqué que la première équation est basée sur une suggestion de Lorentz d’une contraction le long de la direction x ; comment pouvons-nous prouver qu’une telle contraction se produit ? Dans l’expérience de Michelson et Morley, nous sommes maintenant en mesure de comprendre que le bras transversal BC ne peut changer de longueur, à cause du principe de la relativité ; cependant le résultat nul de l’expérience nécessite que les temps soient égaux. Ainsi, afin que l’expérience donne un résultat nul, le bras longitudinal BE doit apparaître plus court de la racine carrée . Qu’est-ce que cette contraction signifie en termes des mesures réalisées par Dupont et Durand ? Supposez que Durand se déplaçant avec le système S dans la direction x, mesure la coordonnée x′ d’un certain point avec un mètre. Il pose le mètre x′ fois et pense donc que la distance est x′ mètres. Cependant du point de vue de Dupont dans le système S, Durand utilise une règle raccourcie, ce qui fait que la distance mesurée « réellement » est mètres. Alors si le système S′ s’est éloigné de la distance ut du système S, l’observateur de S dira que le même point dans ses coordonnées est à une distance + ut ou

qui est la première équation de la transformation de Lorentz.

9-6 Simultanéité

D’une manière analogue, à cause de la différence entre les échelles de temps, l’expression au dénominateur est introduite dans la quatrième équation de la transformation de Lorentz. Le terme le plus intéressant dans cette équation est ux/c² au numérateur, car c’est assez nouveau et inattendu. Qu’est-ce que cela signifie ? Si nous considérons la situation avec soin, nous voyons que des événements qui ont lieu en deux endroits séparés au même moment, du point de vue de Durand dans S′, ne se passent pas au même moment, du point de vue de Dupont dans S. Si un événement se passe au point x₁, au temps t₀ et l’autre événement au point x₂ au temps t₀, (le même temps), nous trouvons que les deux moments correspondants t′₁ et t′₂ diffèrent d’une quantité

Cette situation est appelée « disparition de la simultanéité à distance », et pour rendre cette idée un peu plus claire, considérons l’expérience suivante.

Supposons qu’un homme se déplaçant dans un vaisseau spatial (système S′) ait placé une horloge à chaque extrémité du vaisseau et désire s’assurer que les deux horloges sont en synchronisme. Comment les horloges peuvent-elles être synchronisées ? Il y a plusieurs manières. Une manière, qui n’implique que très peu de calcul, serait de situer d’abord exactement le point milieu entre les horloges. Ensuite de cet endroit, nous envoyons un signal de lumière allant dans chaque sens à la même vitesse et qui arrivera clairement aux deux horloges au même moment. Cette arrivée simultanée des signaux peut être utilisée pour synchroniser les horloges. Supposons maintenant que l’homme dans S′ synchronise ses horloges par cette méthode particulière. Voyons si un observateur dans le système S serait d’accord pour dire que les deux horloges sont synchrones. L’homme dans S′ a le droit de penser qu’elles le sont, parce qu’il ne sait pas qu’il se déplace. Mais l’homme dans S se dit que puisque le vaisseau se déplace vers l’avant, l’horloge à l’extrémité avant s’éloigne du signal lumineux, et donc que la lumière doit parcourir plus de la moitié du chemin pour pouvoir l’atteindre ; l’horloge arrière, cependant, avance à la rencontre du signal lumineux, donc sa distance est plus courte. Ainsi le signal atteint d’abord l’horloge arrière, bien que l’homme en S′ pense que les signaux arrivent simultanément. Nous voyons donc que lorsqu’un homme dans le vaisseau spatial pense que les instants en deux endroits sont simultanés, des valeurs égales de t′ dans son système de coordonnées correspondent obligatoirement à différentes valeurs de t dans l’autre système de coordonnées !

9-7 Quadri-vecteurs

Voyons ce que nous pouvons découvrir d’autre dans la transformation de Lorentz. Il est intéressant de remarquer que la transformation entre les x et les t est analogue dans sa forme à la transformation des x et y pour une rotation des coordonnées que nous avons étudiée au Chapitre 7. Nous avons alors

dans lesquelles le nouvel x′ mélange les anciens x et y, et le nouvel y′ mélange également les anciens x et y ; de la même manière, dans la transformation de Lorentz, nous trouvons un nouvel x′ qui est un mélange de x et t et un nouveau t′ qui est un mélange de t et de x. Ainsi la transformation de Lorentz est analogue à une rotation, mais c’est une « rotation » dans l’espace et le temps, ce qui semble être un étrange concept. Une vérification de l’analogie avec la rotation peut être faite en calculant la quantité

Dans ces équations les trois premiers termes de chaque côté représentent, dans la géométrie à trois dimensions, le carré de la distance entre un point et l’origine (surface d’une sphère) qui reste inchangé (invariant) quelle que soit la rotation des axes de coordonnées. De la même manière, l’Éq. (9.9) montre qu’il y a une certaine combinaison tenant compte du temps, qui est invariante dans une transformation de Lorentz. Ainsi, l’analogie avec la rotation est complète, et d’un type tel que des vecteurs, c’est-à-dire des quantités ayant des « composantes » qui se transforment de la même manière que les coordonnées et le temps, sont également utiles en relativité.

Nous découvrons ainsi une extension de l’idée de vecteurs, en tenant compte d’une composante temporelle, alors que nous n’avions considéré jusqu’à présent que des vecteurs possédant seulement des composantes spatiales. Nous nous attendons donc à ce qu’il y ait des vecteurs avec quatre composantes, trois d’entre elles sont semblables aux composantes d’un vecteur ordinaire, et on leur associe une quatrième composante, qui est l’analogue de la partie temporelle.

Ce concept sera analysé plus avant dans les chapitres suivants, où nous trouverons que si les notions du paragraphe précédent sont appliquées à la quantité de mouvement, la transformation donne trois parties spatiales qui sont semblables aux composantes ordinaires de la quantité de mouvement, et une quatrième composante, la partie temporelle, qui est l’énergie.

9-8 Dynamique relativiste

Nous sommes maintenant prêts à chercher plus généralement quelles formes prennent les lois de la mécanique dans la transformation de Lorentz. (Nous avons jusqu’à présent expliqué comment la longueur et le temps changent, mais non pas comment nous obtenons la formule de m modifiée [Éq. 9.1]. Nous ferons cela au chapitre suivant.) Pour voir les conséquences de la modification d’Einstein de m pour la mécanique de Newton, nous partons de la loi de Newton : la force est le taux de changement de la quantité de mouvement, ou

F = d (mv)/dt.

La quantité de mouvement est toujours donnée par mv, mais lorsque nous utilisons la nouvelle masse m cela devient

C’est la modification d’Einstein des lois de Newton. Avec cette modification, si l’action et la réaction sont toujours égales (ce qu’elles peuvent ne pas être dans le détail, mais ce qu’elles sont à long terme), il y aura conservation de la quantité de mouvement de la même manière que précédemment, mais la quantité qui est conservée n’est plus l’ancienne mv avec sa masse constante, c’est, au lieu de cela, la quantité indiquée dans (9.10) qui comprend la masse modifiée. Lorsque ce changement est effectué dans la formule de la quantité de mouvement, la conservation de la quantité de mouvement s’applique encore.

Voyons maintenant comment la quantité de mouvement varie avec la vitesse. Dans la mécanique de Newton elle est proportionnelle à la vitesse, et selon (9.10) sur un domaine considérable de vitesses, petites en comparaison de c, elle est pratiquement la même en mécanique relativiste, parce que l’expression en racine carrée ne diffère que très légèrement de 1. Mais lorsque v est pratiquement égale à c, l’expression en racine carrée tend vers zéro et la quantité de mouvement de ce fait tend vers l’infini.

Que se passe-t-il si une force constante agit sur un corps pendant très longtemps ? Dans la mécanique de Newton le corps continue de prendre de la vitesse jusqu’à ce qu’il aille plus vite que la lumière. Mais cela est impossible en mécanique relativiste. En relativité, le corps continue de prendre non pas de la vitesse, mais de la quantité de mouvement qui peut continuellement augmenter parce que la masse augmente. Après un certain temps, il n’y a pratiquement plus d’accélération au sens d’un changement de vitesse, mais la quantité de mouvement continue d’augmenter. Bien sûr, chaque fois qu’une force produit de très petits changements dans la vitesse d’un corps, nous disons que le corps a une grande inertie et c’est exactement ce que dit notre formule de la masse relativiste (voir Éq. 9.10) — elle dit que l’inertie est très grande lorsque v est pratiquement aussi grand que c. Comme exemple de cet effet, il nous faut un champ magnétique 2 000 fois plus fort que celui qui serait attendu d’après la loi de Newton, pour dévier les électrons de grande vitesse dans le synchrotron que nous utilisons ici à Caltech. En d’autres termes, la masse des électrons dans le synchrotron est 2 000 fois plus grande que leur masse normale et elle est aussi grande que celle d’un proton ! Que m soit 2 000 fois m₀, signifie que 1 − v²/c² doit être 1/4 000 000, et cela signifie que v²/c² ne diffère de 1 que d’une part sur 4 000 000 ou que v ne diffère de c que d’une part sur 8 000 000, ce qui fait que les électrons vont à une vitesse très proche de la vitesse de la lumière. Si les électrons et la lumière devaient tous les deux quitter le synchrotron (à environ 200 mètres de distance) et se précipiter jusqu’au Bridge Lab, lequel des deux arriverait le premier ? La lumière bien sûr, parce que la lumière se déplace toujours plus vite¹. Avec quel temps d’avance ? C’est trop difficile à dire — au lieu de cela, nous donnerons l’avance de la lumière ; c’est environ 1/400 de cm ou  de l’épaisseur d’une feuille de papier ! Lorsque les électrons vont à cette vitesse leurs masses sont énormes, mais leurs vitesses ne peuvent pas dépasser la vitesse de la lumière.

Considérons maintenant certaines conséquences supplémentaires du changement relativiste de la masse. Considérons le mouvement des molécules dans un petit réservoir de gaz. Lorsque le gaz est chauffé, la vitesse des molécules augmente, donc la masse augmente aussi et le gaz devient plus lourd. Une formule approchée pour examiner l’augmentation de masse dans le cas où la vitesse est petite, est obtenue en développant en puissances successives utilisant le développement du binôme. Nous obtenons

Vous voyez clairement, à partir de cette formule, que la série converge rapidement lorsque v est petit, et que les termes suivant les deux ou trois premiers sont négligeables. Aussi nous pouvons écrire

dans lequel le deuxième terme sur la droite exprime l’augmentation de masse due à la vitesse moléculaire. Lorsque la température augmente, v² augmente proportionnellement, et nous pouvons dire que l’augmentation de la masse est proportionnelle à l’augmentation de la température. Mais puisque est l’énergie cinétique au sens ancien de Newton, nous pouvons également dire que l’augmentation de masse de toute cette quantité de gaz est égale à l’augmentation de l’énergie cinétique divisée par c² ou Δm = Δ(E.C.)/c².

9-9 Équivalence entre la masse et l’énergie

L’observation ci-dessus conduisit Einstein à la suggestion que la masse d’un corps peut être exprimée plus simplement que par la formule (9.1), si nous disons que la masse est égale au contenu total de l’énergie divisé par c². Si l’Éq. (9.11) est multipliée par c² le résultat est

Ici le terme de gauche exprime l’énergie totale d’un corps, et nous reconnaissons que le dernier terme de droite représente l’énergie cinétique ordinaire. Einstein interpréta le très grand terme constant m₀ c² comme étant une partie de l’énergie totale d’un corps, une énergie intrinsèque appelée « énergie au repos ».

Voyons ce qu’on peut déduire en supposant, comme Einstein, que l’énergie d’un corps est toujours égale à mc². Comme résultat intéressant, nous trouverons la formule (9.1) de la variation de la masse avec la vitesse, que nous avions jusqu’à présent simplement supposée. Nous partons avec le corps au repos lorsque son énergie est m₀ c². Puis nous appliquons une force au corps, qui le met en mouvement et lui donne de l’énergie cinétique ; de ce fait, puisque l’énergie a augmenté, la masse a augmenté — cela est implicite dans l’hypothèse initiale. Aussi longtemps que la force continue d’agir, l’énergie et la masse continuent toutes les deux d’augmenter. Le taux de modification de l’énergie avec le temps est égal à la force que multiplie la vitesse, ou

Nous savons également (Éq. 9.1) que F = d (mv)/dt. Lorsque ces relations sont utilisées en même temps que la définition de E, l’Éq. (9.13) devient

Nous voulons résoudre cette équation pour m. Pour ce faire, nous utilisons d’abord le truc mathématique qui consiste à multiplier les deux côtés par 2m, ce qui change l’équation en

Il nous faut éliminer les dérivées, ce qui peut être obtenu en intégrant les deux côtés. La quantité (2 m) dm/dt est la dérivée en fonction du temps de m², et (2 mv) ⋅ d (mv)/dt est la dérivée par rapport au temps de (mv)². Ainsi l’Éq. (9.15) est la même que

Si les dérivées de deux quantités sont égales, les quantités elles-mêmes ne diffèrent au plus que d’une constante C par exemple. Cela nous permet d’écrire

Nous devons définir plus exactement la constante C. Puisque l’Éq. (9.17) doit être vraie pour toute vitesse, nous pouvons choisir le cas particulier où v = 0, et dire que dans ce cas la masse est m₀. Substituant ces valeurs dans l’Éq. (9.17) nous obtenons

Nous pouvons maintenant utiliser cette valeur de C dans l’Éq. (9.17), qui devient

En divisant par c² et en réarrangeant les termes on a

d’où nous tirons

C’est la formule (9.1), et c’est exactement ce qui est nécessaire pour l’accord entre la masse et l’énergie dans l’Éq. (9.12).

Ces changements d’énergie représentent d’habitude des changements de masse extrêmement faibles, car la plupart du temps nous ne pouvons créer beaucoup d’énergie à partir d’une certaine quantité de matière ; mais dans une bombe atomique d’énergie explosive équivalente à 20 kilotonnes de TNT, par exemple, on peut montrer que la poussière après l’explosion est plus légère d’un gramme que la masse initiale des matériaux qui sont entrés en réaction, à cause de l’énergie libérée, c’est-à-dire l’énergie libérée avait une masse de 1 gramme, en accord avec la relation ΔE = Δ(mc²). Cette théorie de l’équivalence entre la masse et l’énergie a été vérifiée d’une manière très élégante par des expériences dans lesquelles la matière s’est annihilée — s’est convertie totalement en énergie : un électron et un positron se rencontrent au repos, chacun avec une masse au repos m₀. Ils se désintègrent lorsqu’ils sont en contact et deux rayons gamma sont émis, chacun avec l’énergie mesurée de m₀ c². Cette expérience fournit une détermination directe de l’énergie associée à l’existence de la masse au repos d’une particule.

1. Les électrons en réalité gagneraient la course par rapport à la lumière visible à cause de l’indice de réfraction de l’air. Un rayon gamma ferait mieux.

Chapitre 10

Énergie et quantité de mouvement relativistes

10-1 La relativité et les philosophes

Dans ce chapitre nous allons poursuivre la discussion du principe de relativité d’Einstein et de Poincaré, sous l’aspect de son influence sur nos idées en physique et sur les autres branches de la pensée humaine.

Poincaré énonça le principe de la relativité de la manière suivante : « Selon le principe de la relativité, les lois des phénomènes physiques doivent être les mêmes pour un observateur fixe et pour un observateur en mouvement de translation uniforme relativement au premier, de telle sorte que nous n’ayons pas, ou que nous ne puissions avoir aucun moyen de discerner si oui ou non nous suivons un tel mouvement. »

Lorsque cette idée se propagea à travers le monde, elle causa un grand émoi parmi les philosophes, particulièrement chez les « philosophes de salon » qui vont disant : « Oh, c’est très simple : la théorie d’Einstein dit que tout est relatif ! » En fait, un nombre étonnamment grand de philosophes, et pas seulement ceux que l’on rencontre dans les salons (mais plutôt que de les embarrasser, nous les appellerons simplement des philosophes de salon), disent : « Einstein a dit que tout est relatif, et ceci a eu une influence profonde sur nos idées. » De plus, ils disent : « On a démontré en physique que les phénomènes dépendent de notre système de référence. » Nous avons entendu cela bien souvent, mais il est difficile de voir ce que cela signifie. Il est probable que les systèmes de référence auxquels on se réfère étaient initialement les systèmes de coordonnées que nous utilisons dans l’analyse de la théorie de la relativité. Ainsi on considère que le fait que « les choses dépendent de votre système de référence » a eu un profond effet sur la pensée moderne. On peut bien se demander pourquoi, car, après tout, que les choses dépendent du point de vue de chacun est une idée si simple qu’il n’était pas nécessaire d’être passé par toutes les difficultés de la théorie physique de la relativité pour pouvoir la découvrir. Que ce que l’ont voit dépende de son système de référence est certainement connu de tout un chacun qui se promène, car il voit un piéton s’approchant d’abord de face et ensuite de dos ; il n’y a rien de plus profond dans la plupart des philosophies qui se réclament de la théorie de la relativité que la remarque qu’« une personne paraît différente de face et de dos ». La vieille histoire d’un éléphant que plusieurs aveugles décrivent d’une manière différente est peut-être un autre exemple de la théorie de la relativité du point de vue des philosophes.

Mais il doit y avoir certainement des choses plus profondes dans la théorie de la relativité que cette simple remarque qu’« une personne semble différente vue de face et vue de dos ». La relativité est plus profonde que cela, car nous pouvons faire à partir d’elle des prédictions définies. Cela serait évidemment plutôt remarquable de pouvoir prédire le comportement de la nature à partir d’une seule observation aussi simple.

Une autre école de philosophes s’est trouvée très mal à l’aise avec la théorie de la relativité, lorsqu’elle affirme que nous ne pouvons pas déterminer notre vitesse absolue sans regarder quelque chose à l’extérieur ; ils disent : « Il est évident qu’on ne peut mesurer sa vitesse sans regarder à l’extérieur. Il va de soi que parler de la vitesse d’une chose sans regarder à l’extérieur n’a pas de signification ; les physiciens sont stupides d’avoir pensé différemment, mais ils réalisent maintenant qu’ils étaient dans l’erreur. Si seulement nous les philosophes, nous nous étions rendu compte des problèmes des physiciens, nous aurions pu affirmer immédiatement, par une simple réflexion, qu’il est impossible de dire à quelle vitesse quelqu’un se déplace sans regarder à l’extérieur, et nous aurions pu apporter une énorme contribution à la physique. » Ces philosophes sont toujours parmi nous, se débattant à la périphérie pour essayer de nous dire quelque chose, mais ils ne comprennent jamais vraiment les subtilités et les profondeurs du problème.

Notre inaptitude à détecter le mouvement absolu est un résultat de l’expérience et non un résultat de pure réflexion, comme nous pouvons facilement le montrer. Au début, Newton croyait que s’il se déplaçait avec une vitesse uniforme selon une ligne droite, personne ne pourrait dire à quelle vitesse il allait. En fait Newton, le premier, énonça le principe de la relativité, et une citation du précédent chapitre était une phrase de Newton. Pourquoi alors les philosophes n’ont-ils pas fait tout ce foin à propos de « tout est relatif », et ainsi tout de suite à l’époque de Newton ? Parce que ce ne fut pas avant le développement de la théorie de Maxwell de l’électrodynamique que furent découvertes des lois de physique suggérant qu’on pourrait mesurer sa vitesse sans regarder à l’extérieur ; on découvrit rapidement par l’expérience que ce n’était pas possible.

Est-il absolument, définitivement, philosophiquement nécessaire que l’on ne puisse être capable de dire à quelle vitesse on se déplace sans regarder à l’extérieur ? Une des conséquences de la relativité fut le développement d’une philosophie qui disait : « Vous ne pouvez définir que ce que vous pouvez mesurer ! Puisqu’il va de soi que l’on ne peut mesurer une vitesse sans voir par rapport à quoi on la mesure, il est alors clair que la vitesse absolue n’a aucune signification. Les physiciens auraient dû réaliser qu’ils ne peuvent parler que de ce qu’ils peuvent mesurer. » Mais tout le problème est là : que nous puissions oui ou non définir une vitesse absolue est la même chose que le problème de savoir si oui ou non nous pouvons détecter par une expérience, sans regarder au-dehors, si nous nous déplaçons. En d’autres termes, qu’une chose soit mesurable ou non ne peut se décider a priori par la seule pensée, cela ne relève que de l’expérience. Étant donné le fait que la vitesse de la lumière vaut 300 000 km/s, on trouvera peu de philosophes qui affirmeront calmement qu’il va de soi que si la lumière va à 300 000 km/s à l’intérieur d’une voiture, et que la voiture se déplace à 150 000 km/s, la lumière se déplacera également à 300 000 km/s par rapport à un observateur au sol. C’est un fait choquant pour eux ; ceux qui affirment que c’est évident trouvent, lorsque vous leur proposez un fait précis, que ce n’est plus si évident.

Finalement, il y a même une philosophie affirmant qu’on ne peut détecter aucun mouvement sans regarder à l’extérieur. C’est simplement faux en physique. Il est vrai qu’on ne peut pas percevoir un mouvement uniforme en ligne droite, mais si toute la pièce tournait nous le saurions certainement, car tout le monde serait projeté contre le mur — il y aurait toutes sortes d’effets « centrifuges ». Que la terre tourne autour de son axe peut être déterminé sans regarder les étoiles, par l’intermédiaire du pendule de Foucault par exemple. Il n’est donc pas vrai que « tout est relatif » ; ce n’est que la vitesse uniforme qui est indécelable, si l’on ne regarde pas à l’extérieur. Une rotation uniforme autour d’un axe fixe peut être détectée. Lorsqu’on raconte cela à un philosophe, il est très fâché de ne pas avoir pu réellement comprendre cela, car il lui semble impossible que l’on soit capable de déterminer la rotation autour d’un axe sans regarder à l’extérieur. Si le philosophe est assez valable, il peut revenir après un peu de temps et dire : « Je comprends. Nous n’avons pas en réalité de chose telle qu’une rotation absolue ; nous sommes en réalité en train de tourner relativement aux étoiles, voyez-vous. Et ainsi une certaine influence exercée par les étoiles sur l’objet doit créer une force centrifuge. »

Pour autant que nous sachions, cela est vrai ; nous n’avons aucune manière à l’heure actuelle de dire s’il y aurait des forces centrifuges en l’absence des étoiles et des nébuleuses tout autour. Nous n’avons pas encore été en mesure de faire l’expérience d’écarter toutes les nébuleuses et de mesurer notre rotation, ce qui fait que tout simplement nous ne savons pas. Nous devons admettre que le philosophe peut être dans le vrai. Il revient donc tout à fait satisfait et dit : « Il est absolument nécessaire que le monde en définitive soit ainsi : la rotation absolue ne signifie rien ; elle s’effectue simplement par rapport aux nébuleuses. » Alors nous lui répondons : « Maintenant, mon ami, est-il ou n’est-il pas évident qu’une vitesse uniforme en ligne droite, relativement aux nébuleuses, doit ne produire aucun effet à l’intérieur de la voiture ? » Maintenant que le mouvement n’est plus absolu, mais est un mouvement relatif par rapport aux nébuleuses, cela devient une question mystérieuse, et une question à laquelle on ne peut répondre que par l’expérience.

Quelles sont alors les influences philosophiques de la théorie de la relativité ? Si nous nous limitons aux influences au sens de quels genres de nouvelles idées et suggestions sont apportés aux physiciens par le principe de la relativité, nous pourrions en décrire certains de la manière qui suit. La première découverte est, essentiellement, que même les idées qui ont été acceptées pendant un temps très long et qui ont été vérifiées très précisément peuvent être fausses. C’est une découverte choquante, bien sûr, que les lois de Newton soient fausses, après toutes les années où elles semblaient être précises. Il est clair, bien sûr, que ce n’étaient pas les expériences qui étaient fausses, mais qu’elles étaient réalisées simplement dans un domaine limité de vitesse, domaine si petit que les effets relativistes ne pouvaient être évidents. Mais néanmoins nous avons maintenant un point de vue beaucoup plus humble de nos lois physiques — tout peut être faux !

Deuxièmement, si nous avons un ensemble d’idées « étranges » telles que le temps ralentit lorsqu’on se déplace, etc., le fait de les prendre en sympathie ou non est une question sans objet. La seule question qui ait un sens est de savoir si les idées sont en accord avec ce qu’on trouve expérimentalement. En d’autres termes, les « idées étranges » doivent simplement être en accord avec l’expérience, et la seule raison que nous ayons de discuter le comportement des horloges, etc., est de démontrer que bien que la notion de dilatation du temps soit étrange, elle est en accord avec la manière dont nous mesurons le temps.

Enfin, il y a une troisième suggestion un petit peu plus technique mais qui s’est révélée être d’une très grande utilité dans notre étude des autres lois physiques, c’est de regarder la symétrie des lois ou, plus précisément, de regarder la manière dont les lois peuvent être transformées tout en gardant une forme invariante. Lorsque nous avons étudié la théorie des vecteurs, nous avons remarqué que les lois fondamentales du mouvement ne sont pas changées lorsque nous tournons le système de coordonnées, et maintenant nous apprenons qu’elles ne sont pas changées lorsque nous modifions les variables d’espace et de temps d’une manière particulière, donnée par la transformation de Lorentz. Ainsi cette idée d’étudier les structures ou les opérations pour lesquelles les lois fondamentales ne sont pas modifiées, est apparue très utile.

10-2 Le paradoxe des jumeaux

Pour continuer notre discussion de la transformation de Lorentz et des effets relativistes, nous allons considérer le fameux « paradoxe » de Pierre et Paul supposés être jumeaux, nés au même moment. Lorsqu’ils sont suffisamment âgés pour conduire un vaisseau spatial, Paul s’envole à une très grande vitesse. Puisque Pierre, qui reste au sol, voit Paul aller aussi vite, toutes les pendules de Paul paraissent aller plus lentement, son cœur bat plus lentement, ses pensées vont plus lentement, tout va plus lentement du point de vue de Pierre. Paul, bien sûr, ne remarque rien d’inhabituel, mais s’il voyage dans les parages pendant un certain temps et revient ensuite au point de départ, il sera plus jeune que Pierre, l’homme sur le sol ! Cela est effectivement vrai ; c’est une des conséquences de la théorie de la relativité qui a été clairement démontrée. De la même manière que les mésons-mu durent plus longtemps lorsqu’ils sont en mouvement, ainsi Paul vivra plus longtemps lorsqu’il est en mouvement. Cela n’est appelé un « paradoxe » que par les gens qui croient que le principe de la relativité signifie que tout mouvement est relatif ; ils disent : « Eh, eh, eh, ne pouvons-nous pas dire du point de vue de Paul que Pierre était en mouvement et devrait de ce fait paraître vieillir plus lentement ? Par symétrie, le seul résultat possible est que les deux devraient avoir le même âge lorsqu’ils se retrouvent. » Mais pour qu’ils puissent se retrouver et faire leur comparaison, Paul doit, soit s’arrêter à la fin de son voyage et faire une comparaison des pendules, ou plus simplement, il doit revenir, et celui qui revient doit être l’homme qui se déplaçait, et il le sait parce qu’il a dû revenir en arrière. Lorsqu’il est revenu en arrière, des tas de choses inhabituelles se sont passées dans son vaisseau spatial — les fusées se sont arrêtées, les objets ont été projetés contre une paroi, etc. — tandis que Pierre n’a rien senti du tout.

Ainsi la manière d’énoncer la règle est de dire que l’homme qui a senti les accélérations, qui a vu les choses précipitées contre les murs, etc., est celui qui sera le plus jeune ; c’est la différence entre eux, dans un sens « absolu », et c’est certainement correct. Lorsque nous discutons le fait que les mésons-mu en mouvement vivent plus longtemps, nous utilisons comme exemple leurs mouvements en ligne droite dans l’atmosphère. Mais nous pouvons également fabriquer des mésons-mu dans un laboratoire et les obliger à l’aide d’un aimant à suivre une trajectoire courbe et même avec ce mouvement accéléré, ils durent exactement aussi longtemps que lorsqu’ils se déplaçaient en ligne droite. Bien que personne n’ait explicitement mis au point une expérience pour éliminer ce paradoxe, on peut comparer un méson-mu laissé au repos avec un autre qui a parcouru un cercle complet, et on trouvera certainement que celui qui a parcouru le cercle a vécu plus longtemps. Bien que nous n’ayons pas effectivement réalisé une telle expérience utilisant un cercle complet, ce n’est pas réellement nécessaire, bien sûr, parce que tout est bien cohérent. Cela peut ne pas satisfaire ceux qui insistent pour que chaque fait soit démontré directement, mais nous pouvons prédire en confiance les résultats de l’expérience dans laquelle Paul se déplace sur un cercle complet.

10-3 Transformation des vitesses

La principale différence entre la relativité d’Einstein et la relativité de Newton est que les lois de transformation liant les coordonnées et le temps entre des systèmes en mouvement relatif sont différentes. La loi correcte de transformation, celle de Lorentz, est

Ces équations correspondent au cas relativement simple dans lequel le mouvement relatif des deux observateurs a lieu le long de leurs axes des x communs. D’autres directions de mouvement sont bien sûr possibles, mais la transformation de Lorentz la plus générale est assez compliquée, toutes les quatre quantités étant mélangées les unes avec les autres. Nous continuerons d’utiliser cette forme plus simple, puisqu’elle contient les traits essentiels de la relativité.

Envisageons maintenant certaines conséquences supplémentaires de cette transformation. Premièrement, il est intéressant de résoudre ces équations à l’envers. C’est-à-dire, il y a ici un ensemble d’équations linéaires, quatre équations à quatre inconnues, et elles peuvent être résolues en sens inverse pour x, y, z, t en fonction de x′, y′, z′, t′. Le résultat est très intéressant, puisqu’il nous dit comment un système de coordonnées « au repos » apparaît du point de vue de celui qui est en « mouvement ». Puisque bien sûr les mouvements sont relatifs et de vitesse uniforme, l’homme qui se « déplace » peut dire, s’il le veut, que c’est en réalité l’autre qui se déplace et que lui-même est au repos. Et puisqu’il se déplace dans la direction opposée, il doit obtenir la même transformation, mais avec le signe opposé pour la vitesse. C’est précisément ce que nous trouvons en manipulant les équations, c’est donc cohérent. S’il n’en était pas ainsi, nous aurions eu de sérieuses raisons de nous faire du souci !

Nous étudions ensuite le problème intéressant de l’addition des vitesses en relativité. Nous rappelons que l’un des mystères au départ était que la lumière se déplace à 300 000 km/s dans tous les systèmes, même lorsqu’ils sont en mouvement relatif. C’est un cas spécial du problème plus général dont un exemple est ce qui suit. Supposez qu’un objet à l’intérieur d’un vaisseau spatial se déplace à 160 000 km/s et que le vaisseau spatial se déplace à 160 000 km/s ; à quelle vitesse l’objet à l’intérieur du vaisseau spatial se déplace-t-il du point de vue d’un observateur à l’extérieur ? Nous aimerions dire 320 000 km/s, ce qui est plus rapide que la vitesse de la lumière. C’est très embêtant, car l’objet ne peut en principe aller plus vite que la vitesse de la lumière ! Le problème général est comme suit.

Supposons que l’objet à l’intérieur du vaisseau se déplace avec une vitesse v du point de vue de l’homme à l’intérieur, que le vaisseau lui-même se déplace avec une vitesse u par rapport au sol. Nous voulons savoir avec quelle vitesse vx cet objet se déplace du point de vue de l’homme au sol. Cela n’est, bien sûr, rien d’autre qu’un cas particulier de mouvement dans la direction x. Il y a également des transformations pour les vitesses dans la direction y, ou dans une direction quelconque ; on peut l’étudier au besoin. À l’intérieur du vaisseau spatial la vitesse est vx, ce qui signifie que le déplacement x est égal à la vitesse que multiplie le temps :

Il nous faut simplement calculer quels sont la position et le temps, du point de vue de l’observateur extérieur pour un objet affecté de la relation (10.2) entre x′ et t′. Ainsi nous substituons simplement (10.3) dans (10.2), et obtenons

Mais ici nous trouvons x exprimé en fonction t′. Afin d’obtenir la vitesse telle qu’elle est vue par l’homme extérieur, nous devons diviser sa distance par son temps, et non par le temps de l’autre homme. Ainsi nous devons également calculer le temps vu de l’extérieur, ce qui donne

Nous devons maintenant trouver le rapport de x à t, qui est

les racines carrées s’étant simplifiées. C’est la loi que nous cherchons : la vitesse résultante, l’« addition » des deux vitesses, n’est pas simplement la somme algébrique des deux vitesses (nous savons que ce n’est pas possible car sinon nous rencontrons des difficultés), mais est « corrigée » par 1 + uv/c².

Voyons maintenant ce qui se passe. Supposons que vous soyez en mouvement à la moitié de la vitesse de la lumière à l’intérieur d’un vaisseau spatial, et que le vaisseau spatial lui-même se déplace à la moitié de la vitesse de la lumière. Alors u est c et v est c, mais au dénominateur uv vaut un quart, ce qui donne

Ainsi, en relativité, « un demi » plus « un demi » ne fait pas « un », cela fait seulement « 4/5 ». Bien entendu les vitesses faibles peuvent être ajoutées très facilement de la manière habituelle, parce que aussi longtemps que les vitesses sont petites en comparaison de la vitesse de la lumière, nous pouvons oublier le temps (1 + uv/c²) ; mais les choses sont tout à fait différentes et très intéressantes à grande vitesse.

Prenons un cas limite. Simplement pour s’amuser, supposons qu’à l’intérieur du vaisseau spatial l’homme observe la lumière elle-même. En d’autres termes v = c, et cependant le vaisseau spatial se déplace. Comment cela va-t-il se manifester à l’homme sur le sol ? La réponse est

Si donc quelque chose se déplace à la vitesse de la lumière à l’intérieur du vaisseau, elle paraîtra également se déplacer à la vitesse de la lumière du point de vue de l’homme sur le sol ! C’est bien, car c’est en fait ce que la théorie d’Einstein de la relativité était censée prévoir en premier lieu — il valait donc mieux que ça marche !

Il y a des cas, bien sûr, dans lesquels le mouvement n’est pas dans la direction de la translation uniforme. Par exemple, il peut y avoir un objet à l’intérieur du vaisseau qui ne se déplace que « vers le haut » avec la vitesse vy, par rapport au vaisseau, tandis que le vaisseau se déplace « horizontalement ». Nous devons simplement reprendre le même calcul, en utilisant y′ à la place de x′ , avec comme résultat

y = y′ = vy′ t′,

de telle sorte que si vx′ = 0,

Ainsi la vitesse latérale n’est plus vy′, mais . Nous avons trouvé ce résultat en substituant et en combinant les équations de transformation, mais nous pouvons également trouver ces résultats directement à partir du principe de la relativité, pour la raison suivante (il est toujours bon de vérifier si nous pouvons en saisir la raison). Nous avons déjà (Fig. 9-3) discuté comment une horloge possible peut fonctionner lorsqu’elle est en mouvement ; la lumière paraît se déplacer à la vitesse c et en oblique dans le système fixe, tandis qu’elle ne se déplace que verticalement avec la même vitesse dans le système en mouvement. Nous avons trouvé que la composante verticale de la vitesse dans le système fixe est inférieure à celle de la lumière du facteur (voir Éq. 9-3). Mais supposons maintenant que nous laissions une particule matérielle aller et revenir dans la même « horloge », mais à une fraction entière 1/n de la vitesse de la lumière (Fig. 10-1). Alors, lorsque la particule est allée et revenue une fois, la lumière l’a fait exactement n fois. C’est-à-dire chaque « top » de l’horloge à particule coïncidera avec chaque nième « top » de l’horloge à lumière. Ce fait doit encore être vrai lorsque tout le système est en mouvement, parce que le phénomène physique de coïncidence sera une coïncidence dans tout repère. De ce fait, puisque la vitesse cy est inférieure à la vitesse de la lumière, la vitesse vy de la particule doit être plus faible que la vitesse correspondante dans le même rapport en racine carrée ! C’est pourquoi la racine carrée apparaît dans toutes les vitesses verticales.

Fig. 10-1. Trajectoires suivies par un rayon lumineux et une particule à l’intérieur d’une horloge en mouvement.

10-4 Masse relativiste

Nous avons appris dans le chapitre précédent que la masse d’un objet augmente avec la vitesse, mais nous n’avons pas donné de démonstration de cela, au sens où nous n’avons pas donné d’arguments analogues à ceux que nous avons donnés sur la manière dont doivent se comporter les horloges. Cependant, nous pouvons montrer que comme conséquence de la relativité, plus quelques autres hypothèses raisonnables, la masse doit varier de cette manière. (Nous devons dire « quelques autres hypothèses » car nous ne pouvons rien prouver si nous voulons faire des déductions ayant un sens, tant que nous ne partons pas de certaines lois que nous supposons vraies.) Pour éviter la nécessité d’étudier la transformation des lois sur la force, nous analyserons une collision où il n’est pas nécessaire de connaître quoi que ce soit sur les lois sur la force, à l’exception de l’hypothèse de la conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement. Nous supposerons également que la quantité de mouvement d’une particule qui se déplace est un vecteur, et qu’elle est toujours dirigée dans la direction de la vitesse. Cependant, nous ne supposerons pas que la quantité de mouvement est une constante que multiplie la vitesse, comme le fit Newton, mais simplement que c’est une certaine fonction de la vitesse. Nous écrivons alors le vecteur quantité de mouvement comme un certain coefficient que multiplie le vecteur vitesse :

Nous avons mis un indice v au coefficient pour nous rappeler que c’est une fonction de la vitesse, et nous nous mettons d’accord pour appeler « masse » ce coefficient mv. Bien entendu, lorsque la vitesse est petite, c’est précisément la masse que nous mesurons dans les expériences de mouvement lent auxquelles nous sommes habitués. Nous allons maintenant essayer de démontrer que la formule pour mv doit être , en soutenant, à partir du principe de relativité, que les lois de physique doivent être les mêmes dans tout système de coordonnées.

Supposons que nous ayons deux particules, deux protons par exemple, qui soient absolument identiques, et qui se déplacent l’une vers l’autre avec des vitesses exactement égales. Leur quantité de mouvement totale est nulle. Que peut-il se passer ?

Fig. 10-2. Deux vues d’une collision élastique entre des objets égaux se déplaçant à la même vitesse dans des directions opposées.

Après la collision, leurs directions de mouvement doivent être exactement opposées l’une à l’autre car si elles ne sont pas exactement opposées, on trouvera un vecteur total de quantité de mouvement non nul, et la quantité de mouvement n’aura pas été conservée. De même elles doivent avoir les mêmes vitesses, puisque ce sont des objets exactement semblables ; en fait, elles doivent avoir la même vitesse que celle avec laquelle elles sont parties, puisque nous supposons que l’énergie est conservée dans ces collisions. Ainsi le diagramme d’une collision élastique, une collision réversible, ressemblera à celui de la Fig. (10-2) (a) : toutes les flèches ont la même longueur, toutes les vitesses sont égales. Nous supposerons que de telles collisions peuvent toujours donner n’importe quel angle θ, et que n’importe quelle vitesse peut être utilisée dans une telle collision. Nous remarquons ensuite que cette même collision peut être vue différemment en tournant les axes, et pour de simples raisons de commodité, nous tournerons les axes de telle sorte que l’axe horizontal la découpe en deux parties égales comme sur la Fig. 10- 2 (b). C’est la même collision redessinée, avec simplement des axes tournés.

Maintenant voici toute l’astuce : considérons cette collision du point de vue de quelqu’un qui se déplace dans une voiture roulant avec une vitesse égale à la composante horizontale de la vitesse de l’une des particules. Alors comment apparaît la collision ? La particule 1 semble aller simplement vers le haut, parce qu’elle a perdu sa composante horizontale, et elle revient en ligne droite vers le bas, également parce qu’elle n’a pas de composante horizontale. C’est-à-dire que la collision apparaît comme ce qui est montré à la Fig. 10-3 (a). La particule 2, cependant, va dans l’autre sens, et lorsque nous passons près d’elle, semble se déplacer à une très grande vitesse et sous un angle plus petit, mais nous pouvons nous rendre compte que les angles avant et après la collision sont les mêmes. Appelons u la composante horizontale de la vitesse de la particule 2, et w la vitesse verticale de la particule 1.

Fig. 10-3. Deux vues supplémentaires de la collision, à partir de voitures en mouvement.

La question est alors : quelle est la vitesse verticale u tg α ? Si nous la connaissions, nous pourrions trouver l’expression correcte de la quantité de mouvement, utilisant la loi de conservation de la quantité de mouvement dans la direction verticale. Clairement, la composante horizontale de la quantité de mouvement est conservée : elle est la même avant et après la collision pour les deux particules et est nulle pour la particule 1. Ainsi nous n’avons à considérer la loi de conservation que pour la vitesse vers le haut u tg α. Mais nous pouvons obtenir la vitesse vers le haut, simplement en regardant la même collision tout en allant dans l’autre sens ! Si nous regardons la collision de la Fig. 10-3 (a) à partir d’une voiture allant vers la gauche à la vitesse u, nous voyons la même collision à ceci près qu’elle est « renversée » comme il est montré à la Fig. 10-3 (b). La particule 2 est maintenant celle qui descend et monte avec la vitesse w, et la particule 1 a acquis la vitesse horizontale u. Bien sûr, maintenant, nous savons ce que vaut la vitesse u tg α : c’est w (voir l’Éq. 10.7). Nous savons que le changement de la quantité de mouvement verticale de la particule se déplaçant verticalement est

Δp = 2 mw w

(2, car elle se déplace vers le haut puis redescend). La particule se déplaçant obliquement possède une certaine vitesse v dont nous avons trouvé les composantes égales à u et w, et dont la masse est mv. Le changement de quantité de mouvement verticale de cette particule est donc parce que, selon la loi que nous supposons (10.8), la composante de la quantité de mouvement est toujours égale au produit de la masse correspondant à la grandeur de la vitesse par la composante de la vitesse dans la direction qui nous intéresse. Ainsi, afin que la quantité de mouvement totale soit nulle, les quantités de mouvement verticales doivent s’annuler et le rapport de la masse en mouvement avec la vitesse v et de la masse en mouvement avec la vitesse w doit donc être

Prenons le cas limite où w est infiniment petit. Si w est très petit, il est clair en effet que v et u sont pratiquement égaux. Dans ce cas mw → m₀ et mv → mu. Le résultat final est donc

C’est maintenant un exercice intéressant de vérifier si oui ou non l’Éq. (10.9) est correcte pour des valeurs arbitraires de w, en supposant que l’Éq. (10.10) soit la bonne formule pour la masse. Remarquez que la vitesse v dont on a besoin dans l’équation (10.9) peut être calculée à partir du triangle rectangle :

On trouvera que cela se vérifie automatiquement, bien que nous ne l’ayons utilisée que dans la limite des petites valeurs de w.

Acceptons maintenant le fait que la quantité de mouvement soit conservée et que la masse dépende de la vitesse selon (10.10), et essayons de voir ce qu’on peut conclure d’autre. Considérons ce qui est habituellement appelé une collision inélastique. Pour simplifier, nous supposerons que deux objets de même type, se déplaçant en sens inverse avec des vitesses égales w, se frappent l’un contre l’autre et se fixent pour former un nouvel objet stationnaire, comme il est montré à la Fig. 10-4 (a). La masse m de chacun correspond à w, ce qui, comme nous le savons, donne . Si nous supposons la conservation de la quantité de mouvement et le principe de la relativité, nous pouvons démontrer un fait intéressant concernant la masse du nouvel objet qui a été formé. Nous imaginons une vitesse infiniment petite u à angle droit de w (nous pouvons faire la même chose avec des valeurs finies de u, mais il est plus facile de comprendre avec une vitesse très petite), puis nous regardons cette même collision en nous déplaçant dans un ascenseur à la vitesse -.u Ce que nous voyons est montré à la Fig. 10-4 (b). L’objet composé a une masse inconnue M. L’objet 1 se déplace maintenant avec une composante de vitesse u vers le haut et une composante horizontale qui est pratiquement égale à w, et il en est de même pour l’objet 2. Après la collision la masse M se déplace vers le haut avec la vitesse u, considérée très petite en comparaison de la vitesse de la lumière et petite également en comparaison de w. Les quantités de mouvement doivent être conservées, aussi essayons d’estimer la quantité de mouvement dans la direction vers le haut avant et après la collision. Avant la collision nous avons p~2 mw u, et après la collision la quantité de mouvement est évidemment p′ = Mu u, mais Mu est essentiellement la même que M₀ parce que u est très petit. Ces quantités de mouvement doivent être égales à cause de la conservation de la quantité de mouvement, et de ce fait

Fig. 10-4. Deux vues d’une collision inélastique entre des objets de masse égale.

La masse de l’objet qui est formé lorsque deux objets de masse égale se rencontrent doit être égale à deux fois la masse des objets qui se sont rencontrés. Vous pouvez dire : « Oui bien sûr, c’est la conservation de la masse. » Mais vous ne pouvez pas dire si facilement : « Oui bien sûr », parce que ces masses ont augmenté par rapport à leurs valeurs au repos, et cependant leur contribution à la masse totale M n’est pas celle de masses au repos, mais bien de masses supérieures. Aussi étonnant qu’il puisse paraître, pour que la quantité de mouvement puisse être conservée lorsque deux objets n’en forment plus qu’un, la masse qu’ils forment doit être plus grande que la somme des masses au repos, même si les objets sont au repos après la collision !

10-5 Énergie relativiste

Dans le chapitre précédent nous avons démontré qu’à partir de la dépendance de la masse en fonction de la vitesse et des lois de Newton, le changement de l’énergie cinétique d’un objet, résultant du travail total réalisé par les forces sur lui, était toujours de la forme

Nous étions même allés plus loin, et avions supposé que l’énergie totale est égale à la masse totale que multiplie c². Nous continuons maintenant cette discussion.

Supposons que nos deux objets de masse égale qui se rencontrent puissent toujours être « distingués » à l’intérieur de M. Par exemple, un proton et un neutron sont « collés l’un à l’autre », mais sont toujours en train de se déplacer à l’intérieur de M. Alors, bien que nous puissions penser à première vue que la masse M est 2 m₀, nous avons trouvé que ce n’est pas 2 m₀, mais 2 mw. Puisque 2 mw est ce qui est mis à l’intérieur, et que 2 m₀ sont les masses au repos des objets à l’intérieur, la masse en excès de l’objet composé est égale à l’énergie cinétique apportée. Cela signifie, bien sûr, que l’énergie possède de l’inertie. Au chapitre précédent nous avions discuté l’échauffement d’un gaz, et montré que parce que les molécules de gaz sont en mouvement et que les objets en mouvement sont plus lourds, lorsque nous injectons de l’énergie dans un gaz, ses molécules se déplacent plus vite et ainsi le gaz devient plus lourd. Mais en réalité le raisonnement est tout à fait général, et notre discussion de la collision inélastique montre que la masse existe que ce soit ou non sous forme d’énergie cinétique. En d’autres termes, si deux particules se réunissent et produisent de l’énergie potentielle ou toute autre forme d’énergie ; si les morceaux sont ralentis en grimpant des collines, travaillent contre des forces internes ou quoi que ce soit d’autre ; alors il reste toujours vrai que la masse est égale à l’énergie totale qui a été apportée. Ainsi nous voyons que la conservation de la masse que nous avons déduite précédemment est équivalente à la conservation de l’énergie, et donc qu’il n’y a pas de place en théorie de la relativité pour des collisions strictement inélastiques, comme c’était le cas dans la mécanique de Newton. Selon la mécanique de Newton, il est tout à fait possible que deux objets se rencontrent et forment ainsi un objet de masse 2 m₀ qui n’est en aucune manière distinct de celui obtenu en rapprochant lentement les deux masses. Nous savons bien sûr, à partir de la loi de conservation de l’énergie, qu’il y a davantage d’énergie cinétique à l’intérieur, mais cela, d’après les lois de Newton, n’affecte pas la masse. Et maintenant nous voyons que cela est impossible ; à cause de l’énergie cinétique comprise dans la collision, l’objet résultant sera plus lourd ; de ce fait, il sera un objet différent. Lorsque nous plaçons les objets ensemble doucement, ils réalisent un objet de masse 2 m₀ ; lorsque nous les unissons violemment, ils réalisent un objet dont la masse est plus grande. Lorsque la masse est différente, nous pouvons dire que c’est différent. Ainsi dans la théorie de la relativité, la conservation de l’énergie doit nécessairement aller de pair avec la conservation de la quantité de mouvement.

Cela a des conséquences intéressantes. Supposons par exemple que nous ayons un objet dont la masse M soit mesurée, et supposons que quelque chose se passe de telle sorte qu’il se décompose en deux morceaux égaux se déplaçant avec la vitesse w, de telle sorte que chacun ait une masse mw. Supposons maintenant que ces morceaux rencontrent suffisamment de matière pour les ralentir jusqu’à ce qu’ils s’arrêtent ; alors ils auront la masse m₀. Quelle quantité d’énergie auront-ils donnée à cette matière lorsqu’ils se seront arrêtés ? Chacun d’eux donnera une quantité (mw − m₀) c², d’après le théorème demontré plus haut. Cette quantité d’énergie est laissée dans le matériau sous certaines formes, comme la chaleur, l’énergie potentielle, ou quoi que ce soit d’autre. Or 2 mw = M, ce qui fait que l’énergie libérée est E = (M − 2 m₀) c². Cette équation fut utilisée pour estimer combien d’énergie serait libérée par fission dans la bombe atomique, par exemple. (Bien que les fragments ne soient pas exactement égaux, ils sont presque égaux.) La masse de l’atome d’uranium était connue — elle avait été mesurée d’avance — et les atomes dans lesquels il se décompose, l’iode, le xénon, etc., étaient tous de masse connue. Par masse, nous ne voulons pas dire les masses alors que les atomes sont en mouvement, nous voulons dire les masses lorsque les atomes sont au repos. En d’autres termes, M et m₀ étaient connus tous les deux. Ainsi, en soustrayant les deux nombres, on peut calculer combien d’énergie est libérée si M peut être amenée à se décomposer en « deux ». Pour cette raison, le pauvre vieil Einstein fut appelé dans tous les journaux le « père » de la bombe atomique. Bien sûr, tout ce que cela voulait dire était qu’il pouvait dire à l’avance combien d’énergie serait libérée si on lui disait quel processus allait se passer. L’énergie qui doit être libérée lorsqu’un atome d’uranium subit une fission, fut estimée environ six mois avant la première expérience directe, et aussitôt que l’énergie fut en fait libérée, quelqu’un la mesura directement (et si la formule d’Einstein n’avait pas fonctionné, ils l’auraient mesurée de toute façon), et à partir du moment où ils l’ont mesurée, ils n’avaient plus besoin de la formule. Bien sûr, nous ne voulons pas amoindrir Einstein, mais plutôt critiquer les journaux et de nombreuses descriptions populaires du « quoi cause quoi » dans l’histoire de la physique et de la technologie. Le problème de faire en sorte que les choses se réalisent d’une manière effective et rapide est un problème complètement différent.

Le résultat est aussi significatif en chimie. Par exemple, si nous pesons la molécule de gaz carbonique et comparons sa masse avec celle du carbone et de l’oxygène, nous pouvons trouver combien d’énergie est libérée lorsque le carbone et l’oxygène forment du gaz carbonique. La seule difficulté ici est que la différence des masses est si petite qu’il est techniquement extrêmement difficile de la mesurer.

Envisageons maintenant la question de savoir si nous devons additionner m₀ c² à l’énergie cinétique et dire à partir de maintenant que l’énergie totale de l’objet est mc². D’abord, si nous pouvions toujours distinguer les parties constituantes de la masse au repos m₀, à l’intérieur de M, alors nous pourrions dire qu’une partie de la masse M de l’objet composé est la masse mécanique au repos des diverses parts, qu’une autre partie est leurs énergies cinétiques, qu’une autre partie encore est l’énergie potentielle des morceaux. Mais nous avons découvert, dans la nature, des particules de divers types qui subissent des réactions comme celles que nous venons de traiter et dans lesquelles malgré toutes les études que nous pourrions faire, il nous est impossible de voir les parties à l’intérieur. Par exemple, lorsqu’un méson-K se désintègre en deux pions, il le fait selon la loi (10.11), mais l’idée qu’un K est fait de 2π est une idée inutile, car il se désintègre également en 3π !

De ce fait, nous avons une nouvelle idée : il n’est pas nécessaire de connaître de quoi sont faites les choses à l’intérieur ; nous ne pouvons pas et nous n’avons pas besoin d’identifier, à l’intérieur d’une particule, quelle énergie est l’énergie au repos des morceaux dans lesquels elle va se désintégrer. Il n’est pas commode et souvent pas possible de séparer l’énergie totale mc2 d’un objet en l’énergie au repos des morceaux internes, l’énergie cinétique de ces morceaux et leurs énergies potentielles ; au lieu de cela, nous parlons simplement de l’énergie totale de la particule. Nous « déplaçons l’origine » des énergies en additionnant tout le temps une constante m₀ c², et disons que l’énergie totale d’une particule est la masse en mouvement que multiplie c², et lorsque l’objet est au repos, l’énergie est la masse au repos que multiplie c².

Finalement, nous trouvons que la vitesse v, la quantité de mouvement P, l’énergie totale E sont reliées d’une manière assez simple. Que la masse en mouvement à la vitesse v soit égale au

rapport de la masse m₀, au repos par , n’est curieusement que très rarement utilisé. Au lieu de cela, les relations suivantes sont facilement prouvées et se montrent très utiles :

et

Chapitre 11

Espace-Temps

11-1 La géométrie de l’espace-temps

La théorie de la relativité nous montre que les relations de positions et de temps mesurées dans un système de coordonnées et dans une autre ne sont pas ce à quoi nous nous attendions sur la base de nos idées intuitives. Il est très important que nous comprenions complètement les relations d’espace et de temps impliquées par la transformation de Lorentz, et nous allons de ce fait approfondir ce problème dans ce chapitre.

La transformation de Lorentz entre les positions et le temps (x, y, z, t) mesurés par un observateur se trouvant au « repos », et les coordonnées ainsi que le temps correspondants (x′, y′, z′ et t′) mesurés à l’intérieur d’un vaisseau spatial en « mouvement » se déplaçant avec la vitesse u, sont

Comparons ces équations avec l’Éq. (11.5), qui relie également les mesures dans deux systèmes, l’un d’entre eux étant tourné par rapport à l’autre ; dans ce cas :

Dans ce cas particulier, Durand et Dupont font des mesures avec des axes faisant un angle θ entre les axes x′ et x. Dans les deux cas, nous remarquons que les quantités avec des « prime » sont des « mélanges » de quantités « sans prime » : le nouvel x′ est un mélange des x et y, et le nouvel y′ est également un mélange des x et y.

Une analogie peut être utile : lorsque nous regardons un objet, on voit quelque chose d’évident que nous pouvons appeler la « largeur apparente », et autre chose que nous pouvons appeler la « profondeur ». Mais les deux idées, largeur et profondeur, ne sont pas des propriétés fondamentales de l’objet, car si nous faisons un pas de côté et que nous regardons la même chose sous un angle différent, nous découvrons une largeur et une profondeur différentes, et nous pouvons élaborer certaines formules pour calculer les nouvelles grandeurs à partir des anciennes en tenant compte des angles. Les équations (11.2) sont ces formules. On peut dire qu’une certaine profondeur est une sorte de « mélange » de toutes les profondeurs et de toutes les largeurs. S’il était complètement impossible de se déplacer, et que nous observions toujours un objet depuis la même position, tout ce travail serait sans objet — nous verrions toujours la « vraie » largeur et la « vraie » profondeur, et elles paraîtraient avoir des qualités tout à fait différentes, parce que l’une se manifeste comme étant sous-tendue par un angle optique et que l’autre nécessite une certaine mise au point des yeux ou même requiert de l’intuition ; elles paraîtraient des objets très différents et ne se mélangeraient jamais. C’est parce que nous pouvons en faire le tour que nous réalisons que la profondeur et la largeur sont, d’une manière ou d’une autre, deux aspects différents de la même chose.

Ne pouvons-nous pas considérer les transformations de Lorentz de la même manière ? Nous avons dans ce cas également un mélange — des positions et du temps. Une différence entre une mesure de l’espace et une mesure du temps produit une nouvelle mesure de l’espace. En d’autres termes, dans les mesures de l’espace faites par un homme, on trouve mélangé un petit peu de temps, tel qu’il est vu par un autre. Notre analogie nous permet de proposer cette idée : La « réalité » d’un objet que nous considérons est en quelque sorte plus grande (parlant grossièrement et intuitivement) que sa « largeur » et sa « profondeur » parce qu’elles dépendent de la manière dont nous le regardons ; lorsque nous changeons de position, notre cerveau recalcule immédiatement la largeur et la profondeur. Mais notre cerveau ne recalcule pas immédiatement les coordonnées et le temps lorsque nous nous déplaçons à vitesse élevée, parce que nous n’avons pas en fait l’expérience d’un déplacement à une vitesse proche de la lumière pour nous rendre compte que le temps et l’espace sont de même nature. C’est comme si nous étions rivés toujours au même endroit d’où nous soyons obligés de regarder la largeur de quelque chose, sans pouvoir déplacer suffisamment nos têtes dans un sens ou dans l’autre ; si nous le pouvions, nous le comprenons maintenant, nous pourrions observer une partie du temps de l’autre homme, nous pourrions en quelque sorte voir un petit peu « par-derrière ».

Ainsi nous allons essayer de penser à des objets dans un nouveau type de monde où l’espace et le temps sont mélangés, par analogie avec les objets dans notre monde spatial ordinaire qui sont réels et peuvent être considérés sous des angles différents. Nous considérerons donc que les objets occupant l’espace et durant un certain temps, occupent une sorte de « bulle » dans un nouveau type d’univers, et que nous regardons cette « bulle » de différents points de vue lorsque nous nous déplaçons à différentes vitesses. Ce nouvel univers, cette entité géométrique dans laquelle des « bulles » existent par le fait d’occuper une position et de durer un certain temps, est appelé l’espace-temps. Un point donné (x, y, z, t) dans l’espace-temps est appelé un événement. Imaginez, par exemple, que nous portions les positions x horizontalement, y et z dans deux autres directions mutuellement « perpendiculaires » tout en étant « perpendiculaires » au papier ( !), et le temps verticalement. Quel est par exemple l’aspect d’une particule en mouvement sur un tel diagramme ? Si la particule se trouve au repos, elle a alors un certain x, et au fur et à mesure que le temps passe, elle conserve le même x, le même x, le même x ; ainsi sa « trajectoire » est une droite parallèle à l’axe t (Fig. 11-1a). D’un autre côté, si elle se déplace vers l’extérieur, alors au fur et à mesure que le temps passe, x augmente (Fig. 11-1b). Ainsi une particule, par exemple, qui commence par s’écarter et ensuite ralentit, doit avoir un mouvement semblable à ce qui est montré sur la Fig. 11-1 (c). En d’autres termes, une particule qui est permanente et ne se désintègre pas, est représentée par une ligne dans l’espace-temps. Une particule qui se désintègre sera représentée par une ligne fourchue, car elle se transformera en deux autres objets qui partiront de ce point.

Fig. 11-1. Trois trajectoires de particules dans l’espace-temps : (a) une particule au repos en x=x₀ ; (b) une particule qui part en x=x₀ et se déplace à vitesse constante ; (c) une particule qui part à grande vitesse mais qui ralentit.

Qu’en est-il de la lumière ? La lumière se déplace à la vitesse c, et elle sera représentée par une droite ayant une certaine pente fixe (Fig. 11-1d).

D’après nos nouvelles idées, si un événement donné se produit pour une particule, si par exemple elle se désintègre soudainement en un certain point de l’espace-temps en deux nouvelles particules qui suivent certaines traces nouvelles, et que cet événement intéressant ait lieu pour une certaine valeur de x, et pour une certaine valeur de t, alors nous nous attendons à ce que, si cela a un sens, nous ayons simplement à prendre une nouvelle paire d’axes, à les tourner, et que cela nous donne le nouveau t, le nouvel x dans notre nouveau système, comme il est indiqué sur la Fig. 11-2 (a). Mais cela est faux, parce que l’Éq. (11-1) n’est pas exactement la même transformation mathématique que l’Éq. (11-2). Remarquez, par exemple, la différence de signe entre les deux, et le fait que l’une est écrite avec des cos θ et des sin θ, tandis que l’autre est écrite à partir de quantités algébriques. (Bien sûr, il n’est pas a priori impossible que des quantités algébriques puissent être écrites sous la forme de cosinus et de sinus, mais dans ce cas ce n’est pas possible.) Malgré tout, les deux expressions sont très semblables. Comme nous le verrons, il n’est pas réellement possible de considérer l’espace-temps comme ayant une géométrie réelle ordinaire à cause de cette différence de signe. En fait, bien que nous ne voulions pas insister sur ce point, il faut remarquer qu’un homme qui se déplace doit utiliser un ensemble d’axes qui soient également inclinés par rapport au rayon de lumière, utilisant un type spécial de projection parallèle aux axes x′ et t′ pour ses x′ et t′, comme il est indiqué sur la Fig. 11-2 (b). Nous n’utiliserons pas cette géométrie, puisque cela ne peut guère nous aider ; il est plus facile de travailler avec les équations.

Fig. 11-2. Deux vues d’une particule qui se désintègre.

11-2 Intervalles d’espace-temps

Bien que dans l’espace-temps la géométrie ne soit pas euclidienne, au sens ordinaire, on y trouve une géométrie qui est très semblable, tout en étant particulière à certains égards. Si cette idée de géométrie est exacte, on doit pouvoir trouver certaines fonctions des coordonnées et du temps qui soient indépendantes du système de coordonnées. Par exemple, si pour des rotations ordinaires nous prenons deux points, l’un à l’origine, pour simplifier, et l’autre quelque part ailleurs, les deux systèmes auront la même origine, et la distance de cette origine à l’autre point est la même dans les deux. C’est une propriété qui est indépendante de la manière particulière dont nous la mesurons. Le carré de la distance est x² + y² + z². Qu’en est-il de l’espace-temps ? Il n’est pas difficile de démontrer que nous avons, ici aussi, quelque chose qui reste identique, à savoir la combinaison c² t² − x² − y² − z², qui reste la même avant et après la transformation :

Cette quantité est donc quelque chose qui, comme la distance, est en un certain sens « réelle » ; elle est appelée l’intervalle entre deux points de l’espace-temps, l’un d’entre eux étant dans ce cas l’origine. (En réalité, bien sûr, c’est l’intervalle au carré, de même que x² + y² + z² est la distance élevée au carré.) Nous lui donnons un nom différent parce que nous sommes dans une géométrie différente, mais la chose intéressante est que seuls certains signes soient renversés, et qu’il y ait un c dans la formule.

Éliminons le c ; c’est une absurdité si nous devons obtenir un espace magnifique avec des x et des y qui peuvent être inter-changés. Une des confusions que peut faire quelqu’un sans expérience serait de mesurer les largeurs, disons par l’angle sous-tendu au niveau de l’œil, et de mesurer les profondeurs d’une manière différente comme, par exemple, par la tension sur les muscles nécessaire pour la mise au point, de telle sorte que les profondeurs soient mesurées en pieds et les largeurs en mètres. On obtiendrait alors un fouillis extraordinairement compliqué d’équations en opérant une transformation telle que (11.2), et on ne serait pas capable d’en dégager la clarté et la simplicité pour la raison technique très simple que cette même chose serait mesurée avec deux unités différentes. Dans les Éq. (11.1) et (11.3) la nature nous dit que le temps et l’espace sont équivalents ; le temps devient l’espace ; ils doivent donc être mesurés avec la même unité. Quelle distance vaut une « seconde » ? Il est facile de la trouver à partir de l’Éq. (11.3). C’est 3 × 10⁸ mètres, la distance que la lumière parcourt en une seconde. En d’autres termes, si nous devions mesurer toutes les distances et les temps dans les mêmes unités, la seconde, alors notre unité de distance serait 3 × 10⁸ mètres, et les équations seraient beaucoup plus simples. Une autre manière de rendre les unités égales est de mesurer les temps en mètres. Qu’est-ce qu’un mètre ? Un mètre de temps est le temps qu’il faut à la lumière pour parcourir un mètre, et vaut donc 1/3 × 10–8 seconde, ou 3,3 milliardièmes d’une seconde ! Nous aimerions, en d’autres termes, écrire toutes nos équations dans un système d’unités dans lequel c = 1. Si le temps et la distance sont mesurés dans les mêmes unités, comme il est suggéré, alors les équations sont évidemment grandement simplifiées. Elles sont

Si jamais nous ne sommes pas sûrs ou si nous sommes « effrayés » qu’après avoir établi ce système avec c = 1 nous ne soyons plus jamais capables de retrouver nos équations correctement, nous pouvons répondre que c’est tout à fait l’opposé. Il est beaucoup plus facile de se souvenir de ces équations sans le terme c à l’intérieur, et il est toujours aisé de remettre le c en considérant les dimensions. Par exemple dans , nous savons que nous ne pouvons soustraire une vitesse au carré, qui a des unités, du nombre pur qui est 1 ; nous savons donc que nous devons diviser u² par c² afin de le rendre sans dimensions — c’est ainsi que l’on fait.

La différence entre l’espace-temps et l’espace ordinaire et le d’un intervalle par rapport à une distance sont très intéressants. Selon la formule (11.5), si nous considérons point qui dans un système de coordonnées donné possède un temps nul, et ne possède que de l’espace, alors l’intervalle au carré sera négatif et nous aurons un intervalle, imaginaire, la racine carrée du nombre négatif. Les intervalles peuvent être réels ou imaginaires en théorie. Le carré d’un intervalle peut être positif ou négatif, à l’inverse de la distance, qui est un carré positif. Lorsqu’un intervalle est imaginaire, nous disons que les deux points ont un intervalle de nature spaciale entre ux (au lieu d’imaginaire), parce que l’intervalle est alors beaucoup plus ressamblant à l’espace qu’au temps D’un autre côté, si deux objets sont au même endroit dans un système de coordonnées donné, mais différent simplement parletemps, alors le ca rré d u tem p s est po sitif, les d ista n ces son t nulles et l’intervalle au carré est positif ; cela est appelé un inter- valle de nature temporelle. Dans notre diagramme de l’espace-temps, nous aurons donc une représentation semblable à cela : à 45° on trouve deux droites (en réalité dans notre espace à quatre dimensions ce seront des « cônes », appelés les cônes de lumière) et lespoints sur ces droites sont tous à intervalle nul de l’origine. L’endroit où la lumière se rend en partant d’un point donné, est toujours séparé de ce point par un intervalle nul, comme nous pouvons le voir dans l’Éq. (11.5). Incidemment, nous venons tout juste de prouver que si la lumière se déplace avec la vitesse c dans un système, elle se déplace avec la vitesse c dans un autre, car si l’intervalle est le même dans les deux systèmes, c’est-à-dire nul dans l’un et nul dans l’autre, alors dire que la propagation de la vitesse de la lumière est invariante revient au même que de dire que l’intervalle est nul.

11-3 Passé, présent et futur

La région de l’espace-temps entourant un certain point de l’espace-temps peut être divisée en trois domaines, comme indiqué à la Fig. 11-3. Dans un domaine les intervalles sont de type temporel, et dans les deux autres ils sont de nature spatiale. Ces trois régions qui divisent l’espace-temps autour d’un certain point sont en relation physique intéressante avec ce point : un objet physique ou un signal peuvent aller d’un point dans la région 2 à l’événement O en se déplaçant à une vitesse inférieure à celle de la lumière. De ce fait, les événements dans cette région peuvent avoir un effet sur le point O, et avoir une influence sur lui venant du passé. En fait, bien sûr, un objet en P sur l’axe t négatif est situé précisément dans le « passé » par rapport à O ; c’est le même point d’espace que O, il lui est simplement antérieur. Ce qui s’est passé là alors influence O maintenant. (La vie est ainsi, malheureusement.) Un autre objet en Q peut atteindre O en se déplaçant avec une certaine vitesse inférieure à c, si cet objet se trouve donc dans un vaisseau spatial en mouvement, il serait à nouveau le passé du même point spatial. C’est-à-dire, dans un autre système de coordonnées, l’axe des temps peut passer à la fois par O et Q. Ainsi tous les points de la région 2 sont dans le « passé » de O, et tout ce qui se passe dans cette région peut avoir un effet sur O. C’est pourquoi la région 2 est quelquefois appelée le passé d’influence, ou le passé qui peut avoir un effet ; c’est le lieu de tous les événements qui peuvent de n’importe quelle manière influencer le point O.

Fig. 11-3. La région d’espace-temps entourant un point à l’origine.

La région 3, d’un autre côté, est une région que nous pouvons influencer à partir de O, nous pouvons « frapper » les choses en tirant des « balles » à une vitesse inférieure à c. C’est donc le monde dont nous pouvons influencer le futur, et nous appellerons cela le futur influençable. La chose intéressante concernant tout le reste de l’espace-temps, c’est-à-dire la région 1, est que nous ne pouvons ni l’influencer maintenant à partir de O, pas plus qu’elle ne peut avoir un effet sur nous maintenant en O, car rien ne peut se déplacer plus vite que la lumière. Bien sûr, ce qui se passe en R peut nous influencer plus tard ; c’est-à-dire, si le soleil explose « maintenant », il faut huit minutes avant que nous le sachions, et cela ne peut pas avoir d’effet sur nous avant ce temps.

Ce que nous entendons par « maintenant » est une chose mystérieuse que nous ne pouvons pas définir et que nous ne pouvons pas influencer, mais elle peut nous influencer plus tard, ou nous pourrions l’influencer si nous avions fait quelque chose il y a suffisamment longtemps dans le passé. Lorsque nous regardons l’étoile Alpha Centaure, nous la voyons comme elle était il y a quatre ans ; nous pouvons nous demander ce qu’elle est « maintenant ». « Maintenant » signifie au même moment dans notre système de coordonnées spécial. Nous ne pouvons voir Alpha Centaure que par la lumière qui nous est venue de notre passé en remontant il y a quatre ans, mais nous ne savons pas ce qu’elle fait « maintenant » ; il faudra quatre ans avant que ce qu’elle fait « maintenant » puisse nous atteindre. Alpha Centaure « maintenant » est une idée ou un concept de notre esprit ; ce n’est pas quelque chose qui soit réellement définissable physiquement sur le moment, parce que nous devons attendre pour l’observer ; nous ne pouvons pas même la définir « maintenant ». De plus, le « maintenant » dépend du système de coordonnées. Si par exemple Alpha Centaure se déplaçait, un observateur à cet endroit ne serait pas d’accord avec nous parce qu’il tournerait ses axes d’un certain angle, et son « maintenant » serait un moment différent. Nous avons déjà parlé du fait que la simultanéité n’est pas une chose unique.

Il y a des conteurs de bonne aventure ou des gens qui nous disent qu’ils peuvent connaître le futur, et on raconte beaucoup d’histoires magnifiques sur l’homme qui découvre soudainement qu’il a la connaissance du futur influençable. Cela soulève de nombreux paradoxes, car si nous savons que quelque chose va se passer, alors nous pouvons faire en sorte de l’éviter en faisant la bonne chose au bon moment, etc. Mais en réalité il n’y a aucun conteur de bonne aventure qui puisse nous dire ne serait-ce que le présent ! Personne ne peut nous dire ce qui se passe effectivement maintenant, à une quelconque distance raisonnable, parce que cela est inobservable. Nous pourrions nous poser cette question, et nous laisserons à l’étudiant le soin d’y répondre : ferait-on naître de nouveaux paradoxes s’il devenait soudainement possible de connaître les choses qui se trouvent dans les intervalles de nature spatiale de la région 1 ?

11-4 Davantage sur les quadri-vecteurs

Revenons maintenant à notre considération de l’analogie entre la transformation de Lorentz et les rotations des axes dans l’espace. Nous avons appris l’utilité de rassembler d’autres quantités qui ont les mêmes propriétés de transformation que celles des coordonnées, pour former ce que nous appelons des vecteurs, des segments orientés. Dans le cas des rotations ordinaires, il y a de nombreuses quantités qui se transforment dans une rotation de la même manière que x, y, et z : par exemple, la vitesse a trois composantes, des composantes x, y et z ; lorsqu’elles sont vues dans un système de coordonnées différent, aucune de ces composantes n’est la même, elles sont toutes transformées en de nouvelles valeurs. Mais d’une manière ou d’une autre, la vitesse « elle-même » a une plus grande réalité que chacune de ses composantes particulières, et nous la représentons par un segment orienté.

Nous nous demandons donc : est-il ou n’est-il pas vrai qu’il y ait des quantités qui se transforment ou qui soient reliées dans un système en mouvement et dans un système qui ne bouge pas, de la même manière que x, y, z et t ? À partir de notre connaissance des vecteurs, nous savons que trois de ces quantités telles que x, y, z, constituent les trois composantes d’un vecteur de l’espace ordinaire, mais la quatrième quantité se comporte comme un scalaire ordinaire dans une rotation spatiale, car elle ne se modifie pas tant que nous ne passons pas dans un système de coordonnées en mouvement. Est-il possible alors d’associer avec certains de nos « tri-vecteurs » connus une quatrième chose, que nous appellerons la « composante temps », de manière que les quatre objets ensemble « tournent » de la même manière que la position et le temps dans l’espace-temps ? Nous allons maintenant montrer qu’il y a en effet au moins une telle chose (il y en a plusieurs en réalité) : les trois composantes de la quantité de mouvement, et l’énergie en tant que composante temps, se transforment ensemble pour former ce que nous appelons un « quadri-vecteur ». Puisqu’il est assez incommode d’avoir partout à écrire c, nous utiliserons en démontrant cela le même truc que nous avions utilisé à l’Éq. (11.4) au sujet des unités d’énergie, de masse et de quantité de mouvement. L’énergie et la masse par exemple, ne diffèrent que du facteur c² ce qui est une simple question d’unités, aussi nous pouvons dire que l’énergie est la masse. Au lieu de devoir écrire le c², nous écrivons E = m, et puis, bien sûr, s’il devait y avoir la moindre difficulté nous introduirions le nombre exact de c de telle sorte que les unités s’arrangent dans la dernière équation, mais pas dans les équations intermédiaires.

Ainsi nos équations de l’énergie et de la quantité de mouvement sont

Nous avons également dans ces unités

Par exemple, si nous mesurons l’énergie en électron-volts, que signifie une masse de 1 électron-volt ? Cela signifie la masse dont l’énergie au repos est un électron-volt, m₀ c² vaut alors un électron-volt. Par exemple, la masse au repos d’un électron est 0,511 × 10⁶ év.

Quels aspects prendraient la quantité de mouvement et l’énergie dans un nouveau système de coordonnées ? Pour le trouver, nous devrons transformer l’Éq. (11.6), ce que nous pouvons faire, car nous savons comment la vitesse se transforme. Supposez qu’un objet ait une vitesse v lorsque nous la mesurons, et puis que nous considérions le même objet du point de vue d’un vaisseau spatial qui est lui-même en mouvement avec une vitesse u, et que dans ce système nous utilisions un indice prime pour désigner l’objet correspondant. Afin de simplifier les choses au début, nous prenons le cas où les vitesses v et u ont la même direction. (Plus tard nous pourrons traiter le cas plus général.) Que vaut v′ , la vitesse vue à partir du vaisseau spatial ? C’est la vitesse composée, la « différence » entre v et u. D’après la loi que nous avons trouvée auparavant

Calculons maintenant la nouvelle énergie E′, l’énergie telle que la mesurerait notre ami dans le vaisseau spatial. Il utiliserait la même masse au repos, bien sûr, mais il emploierait v′ pour la vitesse. Nous devons élever v′ au carré, soustraire ce carré de 1, prendre la racine carrée, et ensuite l’inverse :

Ainsi

L’énergie E′ est alors simplement égale au produit de m0 par l’expression ci-dessus. Mais nous voulons exprimer l’énergie en fonction de l’énergie sans prime et de la quantité de mouvement sans prime ; nous remarquons que

ou

que nous reconnaissons comme étant exactement de la même forme que

Nous devons ensuite trouver la nouvelle quantité de mouvement p′x. C’est simplement l’énergie E′ que multiplie v′, et c’est également exprimé simplement en fonction de E et p :

Ainsi

ce que nous reconnaissons comme étant précisément de la même forme que

Ainsi les transformations donnant la nouvelle énergie et la nouvelle quantité de mouvement en fonction de l’ancienne énergie et de l’ancienne quantité de mouvement sont exactement les mêmes que les transformations de t′ en fonction de t et x, et de x′ en fonction de x et t : tout ce que nous devons faire ici consiste à substituer E chaque fois que nous voyons t dans l’Éq. (11.4) et chaque fois que nous voyons x substituer px, alors les Éq. (11.4) deviendront les mêmes que les Éq. (11.10) et (11.11). Cela implique, si tout fonctionne correctement, la règle supplémentaire que p′y = py, et que p′z = pz. Pour prouver cela, il faut revenir en arrière et étudier le cas du mouvement de haut en bas. En réalité, nous avons déjà étudié ce cas du mouvement vertical au chapitre précédent. Nous avons analysé une collision compliquée et nous avons remarqué que, en fait, la quantité de mouvement transversale n’est pas changée lorsqu’elle est observée depuis un système en mouvement ; ainsi nous avons déjà vérifié que p′y = py et p′z = pz. La transformation complète est alors,

Nous avons donc découvert, dans ces transformations, quatre quantités qui se transforment de la même manière que x, y, z et t, et que nous appelons le quadri-vecteur quantité de mouvement. Puisque la quantité de mouvement est un quadri-vecteur, elle peut être représentée sur un diagramme espace-temps d’une particule en mouvement comme une « flèche » tangente à la trajectoire, comme il est indiqué à la Fig. 11-4. Cette flèche a une composante temporelle égale à l’énergie, et ses composantes spatiales représentent son tri-vecteur quantité de mouvement ; cette flèche est plus « réelle » que l’énergie ou la quantité de mouvement, car celles-ci dépendent de la manière dont nous regardons le diagramme.

Fig. 11-4. Le quadri-vecteur quantité de mouvement d’une particule.

11-5 Algèbre des quadri-vecteurs

La notation pour les quadri-vecteurs est différente de celle pour les tri-vecteurs. Si nous voulions parler, dans le cas des tri-vecteurs, du tri-vecteur ordinaire quantité de mouvement, nous écririons p. Si nous voulions être précis, nous pourrions dire qu’il a trois composantes qui sont, pour les axes en question, px, py, et pz ou nous pourrions simplement nous référer à une composante générale comme étant pi et dire que i peut être x, y, ou z, et que ce sont les trois composantes ; c’est-à-dire imaginer que i soit l’une quelconque des trois directions x, y ou z. La notation que nous utilisons pour les quadri-vecteurs est analogue à cela : nous écrivons pμ pour le quadri-vecteur et μ remplace les quatre directions possibles t, x, y, ou z.

Nous pourrions, bien sûr, utiliser n’importe quelles notations ; ne vous moquez pas des notations ; inventez-les, elles sont puissantes. En fait la mathématique est, pour une grande part, une invention de meilleures notations. Toute l’idée d’un quadri-vecteur est en fait une amélioration de notation de telle sorte qu’on puisse se souvenir facilement des transformations. Aμ est alors un quadri-vecteur général, mais dans le cas spécial de la quantité de mouvement, pt est identifié comme étant l’énergie, px est la quantité de mouvement dans la direction x, py est celle dans la direction y, et pz est celle dans la direction z. Pour additionner les quadri-vecteurs nous additionnons les composantes correspondantes.

S’il existe une équation entre des quadri-vecteurs, alors l’équation est vraie pour chacune des composantes. Par exemple, si la loi de conservation de la quantité de mouvement sous forme de tri-vecteur doit être vraie dans les collisions de particules, c’est-à-dire si la somme des quantités de mouvement pour un grand nombre de particules en interaction ou qui se cognent est constante, cela signifie que les sommes de toutes les quantités de mouvement dans la direction x, la direction y, et la direction z, pour toutes les particules, doivent être séparément constantes. Cette loi seule serait impossible en relativité parce qu’elle est incomplète ; c’est comme si nous parlions simplement de deux composantes d’un tri-vecteur. Elle est incomplète parce que si nous tournons les axes, nous mélangeons les différentes composantes, ce qui fait que nous devons inclure les trois composantes dans notre loi. Ainsi, en relativité, nous devons compléter la loi de conservation de la quantité de mouvement en l’étendant afin d’inclure la composante temporelle. Cela doit absolument nécessairement accompagner les trois autres lois, car sinon il ne peut y avoir d’invariance relativiste. La conservation de l’énergie est la quatrième équation qui accompagne la conservation de la quantité de mouvement permettant de créer une relation véritable entre quadri-vecteurs dans la géométrie de l’espace et du temps. Ainsi la loi de conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement dans la notation quadri-dimensionnelle est

ou avec des notations légèrement différentes

où i = 1, 2,... etc., se rapporte aux particules qui vont se cogner, j = 1, 2,... se rapporte aux particules qui viennent de se cogner et µ = x, y, z ou t. Vous dites : « Dans quels axes ? » Cela n’a pas d’importance. La loi est vraie pour chaque composante dans n’importe quels axes.

Dans notre calcul vectoriel nous avions discuté une autre chose, qui était le produit scalaire de deux vecteurs. Considérons maintenant la chose correspondante dans l’espace-temps. Dans une rotation ordinaire, nous avons découvert que la quantité x² + y² + z² restait inchangée. À quatre dimensions, nous trouvons que la quantité correspondante est t²−x²−y²−z² (Éq.11.3). Comment pouvons-nous écrire cela ? Une manière serait d’écrire quelque chose de quadri-dimensionnel avec un carré pointé au milieu, tel que  ; une des notations qui est effectivement utilisée est

L’indice prime sur ∑ signifie que le premier terme, le terme « temps », est positif, mais que les trois autres termes ont des signes moins. Cette quantité sera alors la même dans tout système de coordonnées et nous pouvons l’appeler le carré de la longueur du quadri-vecteur. Quel est par exemple le carré de la longueur du quadri-vecteur quantité de mouvement d’une seule particule ? Il sera égal à , ou en d’autres termes, E² − p², parce que nous savons que pt vaut E. Qu’est-ce que E² − p² ? Ce doit être quelque chose qui reste identique dans tout système de coordonnées. En particulier, cela ne change pas dans un système de coordonnées se déplaçant avec la particule, dans lequel la particule est au repos. Si la particule est au repos, elle n’a pas de quantité de mouvement. Ainsi dans ce système de coordonnées, c’est purement son énergie qui vaut sa masse au repos. Ainsi . Nous voyons donc que le carré de la longueur de ce vecteur, le quadri-vecteur quantité de mouvement, est égal à .

À partir du carré d’un vecteur, nous pouvons essayer d’inventer le « produit scalaire » ou le produit qui est un scalaire : si aµ est un quadri-vecteur et bµ, est un autre quadri-vecteur, alors le produit scalaire est

Il est le même dans tous les systèmes de coordonnées.

Finalement, nous mentionnerons certains objets dont la masse au repos m₀ est nulle. Un photon lumineux par exemple. Un photon est semblable à une particule, en ce sens qu’il transporte une énergie et une quantité de mouvements. L’énergie d’un photon est égale à une certaine constante, appelée la constante de Planck, que multiplie la fréquence des photons : E = hv. Un tel photon transporte également une quantité de mouvement, et la quantité de mouvement d’un photon (ou de toute autre particule, en fait) est égale à h divisé par la longueur d’onde : p = h/λ. Mais une certaine relation définie existe pour un photon entre la fréquence et la longueur d’onde : v = c/λ. (Le nombre d’ondes par seconde, que multiplie chaque longueur d’onde, est égal à la distance que la lumière parcourt en une seconde, ce qui vaut c, bien sûr.) Ainsi nous voyons immédiatement que l’énergie d’un photon doit être la quantité de mouvement que multiplie c, ou si c = 1, l’énergie et la quantité de mouvement sont égales. Cela revient à dire que la masse au repos est nulle. Reprenons cela ; c’est assez curieux. Si c’est une particule de masse au repos nulle, que se passe-t-il lorsqu’elle s’arrête ? Elle ne s’arrête jamais ! Elle se déplace toujours à la vitesse c. La formule habituelle de l’énergie est . Pouvons-nous dire que m₀ = 0 et v = 1, et que l’énergie est donc nulle ? Nous ne pouvons pas dire qu’elle est nulle ; le photon en réalité peut avoir (et a) de l’énergie même si sa masse au repos est nulle, mais cette énergie il la possède en se déplaçant perpétuellement à la vitesse de la lumière !

Nous savons également que la quantité de mouvement de toute particule est égale à son énergie totale que multiplie sa vitesse : si c = 1, p = vE, ou en unités ordinaires, p = vE/c². Pour toute particule en mouvement à la vitesse de la lumière, p = E si c = 1. La formule de l’énergie d’un photon, vue à partir d’un système en mouvement est, bien sûr, donnée par l’Éq. (11.12), mais pour la quantité de mouvement nous devons substituer l’énergie que multiplie c (ou que multiplie 1 dans ce cas). Des énergies différentes après transformation signifient des fréquences différentes. Cela est appelé l’effet Doppler, et on peut le calculer facilement à partir de l’Éq. (11.12), en utilisant également E = p et E = hv.

Comme Minkowski l’a dit : « L’espace en soi, et le temps en soi vont chacun se réduire à de simples ombres, et seul survivra un certain type d’union entre eux. »

Chapitre 12

Espace courbe

12-1 Espaces courbes à deux dimensions

Selon Newton, toutes les choses s’attirent les unes les autres avec une force inversement proportionnelle au carré de leurs distances, et les objets répondent aux forces avec des accélérations proportionnelles à ces forces. Telles sont les lois newtoniennes de la gravitation universelle et du mouvement. On sait qu’elles rendent compte du mouvement des balles, des planètes, des satellites, des galaxies, et ainsi de suite.

Einstein avait une conception différente de la loi de la gravitation. Selon lui, l’espace et le temps — qui devaient être pris ensemble comme espace-temps — sont courbes dans le voisinage de masses pesantes. Et c’est parce que les choses tentent d’aller leur chemin « en ligne droite » dans cet espace-temps courbe qu’elles se meuvent comme elles le font. C’est une idée complexe et même très complexe. C’est cette idée que nous voulons expliquer dans ce chapitre.

Il a trois parties. La première traite des effets de la gravitation ; la seconde, les idées d’espace-temps que nous avons déjà étudiées ; la troisième, l’idée d’espace-temps courbe. Nous simplifierons notre exposé au début en ne nous souciant pas de la gravité et en laissant de côté le temps pour ne discuter que de l’espace courbe. Nous reviendrons ensuite sur les autres sujets, mais pour le moment nous allons nous concentrer sur l’idée d’espace courbe, sur ce qu’on entend par « espace courbe », et, plus précisément, sur ce qu’on entend par espace courbe dans cette application qu’en fit Einstein. Et même ça se trouve être assez difficile en trois dimensions. Nous commencerons donc par réduire le problème encore plus et parler de ce qu’on entend par ces mots « espace courbe » à deux dimensions.

Pour comprendre cette idée d’espace courbe à deux dimensions, il faut avoir bien conscience du point de vue limité des personnages qui vivent dans un tel espace. Supposons qu’un insecte sans yeux vive sur un plan, comme dans la Fig. 12-1. Il peut seulement se mouvoir sur le plan et il n’a aucun moyen de savoir qu’il existe une façon quelconque de découvrir un « monde extérieur ». Il n’a pas non plus votre imagination. Bien entendu, nous allons raisonner par analogie. Nous vivons dans un monde tridimensionnel et nous ne pouvons pas imaginer en sortir dans une nouvelle direction ; nous devons donc penser jusqu’au bout par analogie. Tout se passe comme si nous étions des insectes vivant sur un plan et qu’il y avait un espace dans une autre direction. C’est la raison pour laquelle nous réfléchirons d’abord sur l’insecte, sans jamais perdre de vue qu’il doit vivre sur cette surface et qu’il ne peut pas en sortir.

Fig. 12-1. Un insecte sur une surface plane.

Un autre exemple d’insecte vivant dans deux dimensions, on peut en imaginer un qui vive sur une sphère. On imagine qu’il peut marcher autour de la sphère en restant sur la surface, comme dans la Fig. 12-2, mais sans pouvoir regarder ni « en haut », ni « en bas » ni « au-dehors ».

Fig. 12-2. Un insecte sur une sphère.

Considérons maintenant un troisième type de créature. C’est aussi un insecte, comme les autres, qui vit aussi sur un plan, comme le premier, mais le plan est cette fois-ci particulier. La température n’est pas la même à différents endroits. Aussi l’insecte et toute règle qu’il utilise sont faits de la même matière qui se dilate quand elle est chauffée. Dès qu’il place une règle quelque part pour mesurer quelque chose, sa règle se dilate immédiatement jusqu’à la longueur correspondant à la température de cet endroit. Chaque fois qu’il y met quelque chose — lui-même, une règle, un triangle, ou quoi que ce soit d’autre —, cette chose s’étire à cause de l’expansion thermique. Tout est plus long dans les endroits plus chauds que dans les plus froids et tout a le même coefficient d’expansion. Nous appellerons le domicile de notre troisième insecte « disque chaud », encore que nous pensions à un disque chaud d’un genre tout à fait particulier puisqu’il est froid au centre et devient de plus en plus chaud à mesure qu’on va vers les bords (Fig. 12-3).

Nous allons maintenant imaginer que nos insectes commencent à étudier la géométrie. Bien que nous les prenions aveugles de sorte qu’ils ne puissent pas voir de monde « extérieur », ils peuvent en faire beaucoup avec leurs pattes et leurs antennes. Ils peuvent tracer des lignes, ils peuvent faire des règles et mesurer des longueurs. En premier lieu, supposons qu’ils commencent par les notions les plus simples de géométrie. Ils apprennent comment tracer une ligne droite, définie comme la ligne la plus courte entre deux points. Notre premier type d’insecte (Fig. 12-4) apprend à tracer de très belles lignes. Mais qu’en est-il de l’insecte sur la sphère ? Il dessine sa ligne droite comme la plus courte distance — pour lui — entre deux points, comme dans la Fig. 12-5. Elle peut ressembler à une courbe pour nous, mais il n’a aucun moyen de sortir de sa sphère et de découvrir qu’il y a « réellement » une ligne plus courte. Il sait seulement que tout autre trajet dans son monde sera toujours plus long que sa ligne droite. Nous lui accorderons donc que sa ligne droite est l’arc le plus court entre deux points. C’est, évidemment, un arc de grand cercle. Enfin, notre troisième insecte, celui de la Fig. 12-3, tracera aussi des « lignes droites » qui nous apparaîtront comme des courbes. Par exemple, la plus courte distance entre A et B sur la Fig. 12-6 serait une courbe comme celle-là. Pourquoi ? Parce que lorsque sa ligne s’incurve vers les parties plus chaudes de son assiette, les règles s’allongent (de notre point de vue omniscient) si bien qu’il en faut moins bout à bout pour aller de A à B. Ainsi, pour lui, la ligne est droite, il n’a aucun moyen de savoir qu’il pourrait y avoir quelqu’un à l’extérieur, dans un monde tridimensionnel étrange, qui appellerait « droite » une ligne différente.

Fig. 12-3. Un insecte sur un disque chaud.

Le lecteur aura compris que toute la suite de notre analyse se déroulera du point de vue de créatures sur des surfaces particulières et non pas de notre point de vue. Cela dit, voyons à quoi ressemble le reste de leurs géométries. Supposons que les insectes ont tous appris comment faire pour que deux lignes se coupent à angle droit. (Vous pouvez toujours essayer d’imaginer comment ils s’y prennent.) Notre premier insecte, celui qui vit sur un espace plan, découvre un fait intéressant. S’il part du point A et trace une ligne de 2,5 m de long, puis tourne à angle droit et trace une autre ligne de 2,5 m, puis tourne de nouveau à angle droit et trace une nouvelle ligne de 2,5 m, puis tourne une troisième fois à angle droit et trace une quatrième ligne de 2,5 m de long, alors il se retrouve exactement à son point de départ, comme le montre la Fig. 12-7a. C’est une propriété de son monde, l’un des faits de sa « géométrie ».

Fig. 12-4. Tracer une « ligne droite » sur un plan.

Fig. 12-5. Tracer une « ligne droite » sur une sphère.

Fig. 12-6. Tracer une « ligne droite » sur un disque chaud.

Il découvre ensuite une autre chose intéressante. S’il fait un triangle — une figure avec trois lignes droites — la somme des angles est égale à 180°, c’est-à-dire à la somme de deux angles droits (Fig. 12-7b).

Alors il invente le cercle. Qu’est-ce qu’un cercle ? Un cercle se fait de la manière suivante : on part dans toutes les directions à partir d’un même point et l’on fait une marque dès qu’on atteint la même distance de ce point (Fig. 12-7c). (On doit faire attention à la manière dont on définit ces choses parce qu’on doit encore être capable de donner une définition analogue pour les autres insectes.) Bien entendu, c’est équivalent à la courbe tracée en faisant tourner une règle autour d’un point. Quoi qu’il en soit, notre insecte apprend à faire des cercles. Et un jour, il pense à mesurer la circonférence d’un cercle. Il mesure plusieurs cercles et trouve une relation claire et nette : la distance est toujours le même nombre de fois le rayon r (qui est, bien sûr, la distance du centre à la circonférence). La circonférence et le rayon sont toujours dans le même rapport — à peu près 6,283 — indépendamment de la taille du cercle.

Fig. 12-7. Un carré, un triangle et un cercle dans un espace plat.

Voyons maintenant ce que nos autres insectes ont bien pu trouver à propos de leurs géométries. En premier lieu, qu’arrive-t-il à l’insecte qui tente de dessiner un « carré » sur une sphère ? S’il suit les prescriptions que nous avons données plus haut, il pensera probablement que le résultat n’en valait guère la chandelle. Il obtient une figure comme celle de la Fig. 12-8. Son point d’arrivée B n’est pas superposé au point de départ A. Il n’aboutit pas du tout à une figure fermée. Prenez une sphère et essayez ! La même chose arriverait à notre ami qui se déplace sur un disque chaud. S’il trace quatre ligne droites de longueurs égales — mesurées avec sa règle extensible — et qui se coupent à angles droits, il obtient quelque chose comme la Fig. 12-9.

Fig. 12-8. Tentative de faire un « carré » sur une sphère.

Fig. 12-9. Tentative de faire un « carré » sur un disque chaud.

Supposons maintenant que nos insectes aient chacun leur Euclide qui leur dise ce que la géométrie « devrait » être et qu’ils l’aient approximativement vérifié en faisant des mesures grossières sur une petite échelle. Alors, s’ils tentaient de faire des carrés exacts à grande échelle, ils se rendraient compte que quelque chose ne va pas. Par de simples mesures géométriques, ils découvriraient qu’il y a quelque chose avec leur espace. On définit un espace courbe comme un espace dont la géométrie n’est pas celle qu’on attend d’un plan. La géométrie des insectes sur une sphère ou un disque chaud est celle d’un espace courbe. Les règles de la géométrie euclidienne ne s’appliquent plus. Et il n’est pas nécessaire de pouvoir s’élever hors du plan pour découvrir que le monde dans lequel on vit est courbe. Il n’est pas nécessaire de naviguer autour du globe pour s’apercevoir que c’est un ballon. On peut s’en rendre compte en dessinant un carré. Si ce carré est très petit, il y faudra une grande précision, mais s’il est grand, la mesure peut se faire plus grossièrement.

Prenons le cas d’un triangle dans le plan. La somme des angles est de 180 degrés. Notre ami sur la sphère peut trouver des triangles bien particuliers. Il peut, par exemple, trouver des triangles qui ont trois angles droits. Eh oui ! On en montre un sur la Fig. 12-10. Supposons que notre insecte descende en ligne droite du pôle nord jusqu’à l’équateur puis tourne à angle droit, parcourela même distance en ligne droite, et fasse de nouveau la même chose. Au bout de la longueur choisie, il revient exactement à son point de départ où il coupe à angle droit la première ligne. Il ne fait donc aucun doute pour lui que son triangle a trois angles droits ou que la somme de ses angles est de 270 degrés. Il se trouve que pour lui cette somme est toujours supérieure à 180 degrés. De fait, l’écart (dans le cas particulier de la Fig. 12-10, les 90 degrés supplémentaires) est proportionnel à la superficie que couvre le triangle. Si un triangle sphérique est très petit, la somme de ses angles est très proche de 180 degrés, à peine plus grande. À mesure que les triangles s’agrandissent, la divergence s’accroît. L’insecte sur le disque chaud rencontrerait des difficultés semblables avec ses triangles.

Fig. 12-10. Sur une sphère, un triangle peut avoir trois angles de 90°.

Voyons ensuite ce que nos autres insectes découvriraient à propos des cercles. Ils dessinent des cercles et en mesurent la circonférence. Par exemple, l’insecte sur la sphère peut faire un cercle tel que celui de la Fig. 12-11. Il découvre alors que la circonférence est plus petite que 2 fois le rayon. (Cela se comprend facilement car, du point de vue de notre sagesse tridimensionnelle, il est évident que ce qu’il appelle le « rayon » est une courbe plus longue que le véritable rayon du cercle.) Supposons que l’insecte sur la sphère ait lu Euclide et décide de prédire un rayon en divisant la circonférence C par 2, soit

Il trouverait alors que le rayon mesuré est plus grand que le rayon prédit. Poursuivant sa recherche, il pourrait définir la différence comme le « rayon en excès » et l’écrire et il pourrait étudier comment l’écart est un effet de taille du cercle.

Notre insecte du disque chaud découvrirait le même phénomène. Supposons qu’il dessine un cercle centré sur le point le plus froid de l’assiette comme dans la Fig. 12-12. Si nous l’observions en train de tracer le cercle, nous remarquerions que ses instruments sont courts près du centre et s’allongent à mesure qu’il s’en éloigne, bien que l’insecte l’ignore évidemment. Lorsqu’il mesure la circonférence, sa règle est longue tout le temps, de sorte que lui aussi trouve que le rayon mesuré est plus grand que le rayon prédit, C/2. L’insecte du disque chaud découvre lui aussi un « effet de rayon en excès ». Et de nouveau, la grandeur de l’effet dépend du rayon du cercle.

Fig. 12-11. Dessiner un cercle sur une sphère.

Nous définirons un « espace courbe » comme un espace où des types d’erreurs géométriques se produisent : la somme des angles d’un triangle est différente de 180 degrés ; la circonférence d’un cercle divisée par 2 n’est pas égale au rayon ; la règle pour tracer un carré ne donne pas une figure close. Et l’on peut en énumérer d’autres encore.

Fig. 12-12. Dessiner un cercle sur un disque chaud.

Nous avons donné deux exemples différents d’espaces courbes : la sphère et le disque chaud. Mais il est intéressant de remarquer que si l’on choisit la bonne variation de température en fonction de la distance sur le disque chaud, les deux géométries seront exactement les mêmes. C’est assez amusant. On peut faire en sorte que l’insecte sur le disque chaud ait exactement les mêmes résultats que l’insecte sur le ballon. Je vais dire comment on peut y parvenir pour ceux qui aiment la géométrie et les problèmes géométriques. Si l’on suppose que la longueur des règles (déterminée par la température) est proportionnelle à 1 plus une constante multipliée par le carré de la distance par rapport à l’origine, alors on trouve que la géométrie du disque chaud est exactement la même, au détail près, hormis le point à l’infini, que la géométrie de la sphère.

Il y a d’autres types de géométrie, bien sûr. On pourrait se demander à quoi ressemble la géométrie d’un insecte vivant sur une poire, c’est-à-dire une surface qui a une courbure plus prononcée à un endroit et moins à un autre, de sorte que les écarts entre les mêmes angles des triangles sont plus importants lorsqu’il fait des petits triangles dans un endroit de son monde que lorsqu’il les dessine ailleurs. Autrement dit, la courbure de l’espace peut changer d’un endroit à l’autre. Ce n’est qu’une généralisation de l’idée. Cette propriété peut être simulée par une distribution appropriée des températures sur un disque chaud.

On peut encore souligner que ces phénomènes peuvent résulter de divergences de type opposé. On pourrait découvrir, par exemple, que, lorsqu’ils sont trop grands, tous les triangles ont une somme de leurs angles inférieure à 180 degrés. Cela peut paraître impossible, mais ça ne l’est pas du tout. D’abord, on pourrait avoir un disque chaud dont la température décroît avec la distance au centre. Tous les effets seraient alors inversés. Mais on peut aussi arriver au même résultat par des moyens purement géométriques en examinant la géométrie bidimensionnelle de la surface d’une selle. Imaginons une surface en forme de selle comme sur la Fig. 12-13. Dessinons sur cette surface un « cercle », défini comme le lieu des points équidistants d’un même centre. Le cercle est une courbe qui oscille verticalement avec un effet de festons. Sa circonférence est alors plus grande que celle qu’on attend d’un calcul de 2 r. C/2 est maintenant inférieur à r. Le « rayon en excès » serait négatif.

Fig. 12-13. Un « cercle » sur une surface en selle de cheval.

Les sphères, les poires et leurs semblables sont des surfaces de courbure positive ; les autres sont appelées surfaces de courbure « négative ». En général, un monde bidimensionnel aura une courbure qui varie de place en place et peut être positive à certains endroits et négative à d’autres endroits. En général, on appelle « espace courbe » simplement un espace auquel les règles de la géométrie euclidienne ne s’appliquent plus avec une différence de signe ou l’autre. La grandeur de la courbure, définie, disons, par le rayon en excès, peut varier de place en place.

On notera que, d’après notre définition de la courbure, un cylindre, curieusement, n’est pas courbe Si un insecte vivait sur un cylindre, comme dans la Fig. 12-14, il découvrirait que les triangles, les carrés et les cercles auraient tous les mêmes propriétés que sur un plan. Il est facile de s’en convaincre, en imaginant à quoi ressembleraient toutes les figures si le cylindre était mis à plat. Toutes les figures géométriques correspondraient aux figures équivalentes dans le plan. Un insecte vivant sur un cylindre n’aurait aucun moyen de découvrir que son espace est courbe, tant qu’il n’en fait pas le tour et se contente de mesures locales. De notre point de vue technique, nous considérons alors que son espace n’est pas courbe. Ce dont nous voulons parler, c’est ce que nous appelons, plus précisément, courbure intrinsèque, c’est-à-dire une courbure qui peut être attestée par des mesures locales seulement. Un cylindre n’a pas de courbure intrinsèque. C’est dans ce sens qu’Einstein disait que notre espace est courbe. Mais jusqu’à présent, nous n’avons défini un espace courbe qu’en deux dimensions ; nous devons aller plus loin pour voir ce que cela peut bien vouloir dire en trois dimensions.

Fig. 12-14. Un espace bidimensionnel à courbure intrinsèque nulle.

12-2 La courbure dans l’espace à trois dimensions

Nous vivons dans un espace tridimensionnel et nous allons examiner l’idée que cet espace est courbe. Vous allez demander comment on peut imaginer qu’il est courbé dans une quelconque direction. Eh bien, on ne peut pas imaginer l’espace courbé dans une direction quelconque parce que notre imagination n’est pas assez bonne. Il vaut d’ailleurs peut-être mieux que nous ne puissions pas trop imaginer, comme cela nous ne nous libérons pas trop du monde réel. On peut néanmoins définir une courbure sans sortir de notre monde tridimensionnel. Tout ce que nous avons dit en deux dimensions n’était qu’un exercice destiné à montrer comment on peut définir une courbure qui n’exige pas que nous soyons capables de la regarder de l’extérieur.

Nous pouvons savoir si notre monde est courbe ou non de la même manière que l’ont fait ces messieurs de la sphère et du disque chaud. Nous pouvons bien ne pas être capables de distinguer entre ces deux cas mais nous pouvons certainement les distinguer de l’espace plat, du plan ordinaire. Comment ? C’est assez facile : on trace un triangle et on mesure ses angles. Ou on fait un très grand cercle et l’on mesure sa circonférence et son rayon. Ou on essaye de dessiner précisément des carrés ou un cube. Dans chaque cas, nous vérifions si les lois de la géométrie marchent. Si elles ne marchent pas, on dit que l’espace est courbe. Si l’on trace un grand triangle et que la somme de ses angles est supérieure à 180 degrés, on peut dire que cet espace est courbe. Ou si la mesure du rayon d’un cercle n’est pas égale à la circonférence divisée par 2, on peut dire que cet espace est courbe.

Vous aurez remarqué qu’avec trois dimensions la situation peut être beaucoup plus compliquée qu’avec deux. N’importe quel endroit en deux dimensions présente une certaine courbure. Mais en trois dimensions, la courbure peut avoir plusieurs composantes. Si nous traçons un triangle dans un plan, nous pouvons obtenir un résultat différent de celui que nous aurions si nous orientions le plan du triangle d’une manière différente. Ou prenons l’exemple d’un cercle. Supposons que nous dessinions un cercle et mesurions son rayon, et qu’il ne corresponde pas à C/2 de sorte qu’il y a un rayon en excès. Nous dessinons alors un autre cercle à angle droit, comme sur la Fig. 12-15. Il n’est pas nécessaire que l’excédent soir exactement le même dans les deux cercles. En fait, il se peut que l’excédent soit positif sur le cercle dans un plan et négatif sur celui de l’autre plan.

Fig. 12-15. Le rayon en excès peut être différent pour des cercles d’orientations différentes.

Peut-être aurez-vous eu une meilleure idée : ne peut-on pas contourner toutes ces composantes en prenant une sphère en trois dimensions ? On peut spécifier une sphère en prenant tous les points qui sont à la même distance d’un point dans l’espace. Nous pouvons alors mesurer la superficie en traçant une grille rectangulaire sur la surface de la sphère et en additionnant tous les morceaux de superficie. Selon Euclide, la superficie totale A est censée être 4 fois le carré du rayon, si bien que nous pouvons définir un « rayon prédit » égal à. Mais nous pouvons aussi mesurer le rayon directement en perçant un trou au centre et en mesurant la distance. Encore une fois, nous pouvons prendre le rayon mesuré moins le rayon prédit et appeler la différence le rayon en excès

ce qui constituerait une mesure parfaitement satisfaisante de la courbure. Elle a le grand avantage de ne pas dépendre de la manière dont on oriente un triangle ou un cercle.

Mais le rayon en excès d’une sphère a aussi un inconvénient : il ne caractérise pas complètement l’espace. Il donne ce qu’on appelle la courbure moyenne du monde tridimensionnel, dans la mesure où il y a un effet d’égalisation des différentes courbures. Toutefois, puisque c’est une moyenne, il ne peut pas complètement résoudre le problème de définition de la géométrie. Si l’on ne connaît que ce nombre, on ne peut pas prédire toutes les propriétés de la géométrie de l’espace, parce qu’on ne peut pas dire ce qui se passerait avec des cercles d’orientation différente. La définition complète requiert la spécification de six « nombres de courbure » à chaque point. Bien sûr, les mathématiciens savent comment écrire tous ces nombres. On peut lire dans un manuel de mathématique comment les écrire sous une forme élégante et raffinée, mais c’est une bonne idée de commencer d’abord par savoir de manière grossière ce dont il s’agit. Pour à peu près tout ce que nous avons à dire ici, la courbure moyenne nous suffira.

Un dernier point auparavant. Si l’on veut transposer le modèle du disque chaud à un espace courbe tridimensionnel, on doit imaginer que la longueur de la règle dépend non seulement de l’endroit où on la met, mais aussi de son orientation quand on l’y met. C’est une généralisation du cas simple où la longueur de la règle dépend de l’endroit où elle se trouve, mais se conserve que la règle soit orientée nord-sud, est-ouest ou haut-bas. Cette généralisation est nécessaire si l’on veut représenter un espace tridimensionnel muni de n’importe quelle géométrie arbitraire par un tel modèle, bien qu’il se trouve que ce ne soit pas nécessaire en deux dimensions.

12-3 Notre espace est courbe

Nous en venons à la question principale. Est-ce vrai ? Autrement dit, l’espace physique tridimensionnel réel dans lequel nous vivons est-il vraiment courbe ? Si nous avons assez d’imagination pour concevoir la possibilité que l’espace soit courbe, l’esprit humain devient curieux de savoir si le monde réel est courbe ou non. On a fait des mesures géométriques directes pour essayer de le savoir mais on n’a trouvé aucune déviation. D’un autre côté, des arguments gravitationnels ont permis à Einstein de découvrir que l’espace est courbe ; nous allons donc voir ce que la loi d’Einstein représente pour la grandeur de la courbure et comment il a fait cette découverte.

Einstein a dit que l’espace est courbe et que la matière est la source de sa courbure. La matière est aussi la source de la gravitation, de sorte que celle-ci est reliée à la courbure, mais on reviendra sur ce point plus loin. Supposons, pour simplifier un peu, que la matière est distribuée continûment avec une certaine densité, qui peut toutefois varier autant que vous le voulez de place en place. Personne, pas même Einstein, ne sait en effet comment faire si la masse est concentrée en des points. Einstein a donné la règle de courbure suivante : s’il existe une région de l’espace comprenant de la matière et si nous prenons une sphère suffisamment petite pour que la densité de cette matière soit effectivement constante, alors le rayon en excès de la sphère est proportionnel à la masse qu’elle contient. En reprenant la définition du rayon en excès, on a

où G est la constante gravitationnelle (de la théorie newtonienne), c est la vitesse de la lumière, et M = 4πρr³ /3 est la masse de la matière à l’intérieur de la sphère. Telle est la loi d’Einstein pour la courbure moyenne de l’espace.

Prenons la Terre à titre d’exemple et oublions que la densité varie de point en point, ainsi n’aurons-nous pas d’intégrales. Supposons que nous entreprenions de mesurer la surface de la terre très minutieusement et que nous percions un trou jusqu’au centre pour mesurer le rayon. On peut calculer le rayon prédit en égalant la superficie mesurée à 4 r². Quand nous comparerions le rayon prédit au rayon réel, nous trouverions que ce dernier est en excès du précédent d’une grandeur donnée par l’équation (12.3). La constante G/3 c² est à peu près égale à 2,5 × 10–29cm par gramme, de sorte que pour chaque gramme de matière, le rayon mesuré s’écarte d’un facteur 2,5 × 10–29 cm. Pour la masse de la Terre, qui est d’environ 6 × 10²⁷ grammes, il se trouve que notre planète a un rayon 1,5 millimètre plus grand qu’elle le devrait pour sa superficie. Approximativement, car la densité n’est pas indépendante du rayon comme nous le supposons. En faisant le même calcul pour le Soleil, on trouve que son rayon est un-demi kilomètre trop long.

On aura noté que la loi dit que la courbure moyenne au-dessus de la surface terrestre est nulle. Mais cela ne veut pas dire que toutes les composantes de la courbure soient nulles. Il peut y avoir, et il y a de fait, une certaine courbure au-dessus de la terre. Pour un cercle dans un plan, il y a un rayon en excès d’un certain signe pour certaines orientations et du signe opposé pour d’autres orientations. Il se trouve seulement que la moyenne est nulle pour une sphère lorsqu’elle n’a pas de masse à l’intérieur d’elle-même. Incidemment, il se trouve qu’il existe une relation entre les diverses composantes de la courbure et la variation de la courbure moyenne de place en place. De sorte que si l’on connaît la courbure moyenne partout, on peut se représenter les détails de la courbure à chaque endroit. La courbure au-dessus de la Terre varie avec l’altitude, si bien que l’espace y est courbe. Et c’est cette courbure que nous voyons comme une force gravitationnelle.

Imaginons un insecte sur un plan et supposons que le « plan » a de petites protubérances à sa surface. Partout où il y a une protubérance, l’insecte conclurait que son espace a des petites régions de courbure locale. Nous avons la même chose en trois dimensions. Partout où il y a un morceau de matière, notre espace tridimensionnel présente une courbure locale, une sorte de protubérance tridimensionnelle.

Si nous faisons une série de bosses sur un plan, il peut y avoir une courbure générale en plus des protubérances, et la surface peut devenir comme une sorte de balle. Il serait intéressant de savoir si notre espace a une courbure moyenne nette aussi bien que les protubérances locales dues aux morceaux de matières comme la Terre et le Soleil. Les astrophysiciens ont essayé de répondre à cette question par des mesures de galaxies très lointaines. Par exemple, si le nombre de galaxies que nous voyons dans une coquille sphérique très éloignée est différente de ce à quoi nous nous attendons étant donné notre connaissance du rayon de la coquille, nous aurions une mesure du rayon en excès d’une sphère extrêmement grande. De telles mesures laissent espérer découvrir si tout notre univers est plat en moyenne, ou arrondi, s’il est « clos » comme une sphère ou « ouvert » comme un plan. Des débats ont cours sur ce sujet car les mesures astronomiques sont encore complètement non concluantes ; les données expérimentales ne sont pas assez précises pour apporter une réponse définitive. Malheureusement, nous n’avons pas la moindre idée de la courbure générale de notre univers sur une grande échelle.

12-4 Géométrie dans l’espace-temps

Nous devons maintenant parler du temps. Comme nous l’enseigne la théorie de la relativité restreinte, les mesures d’espace et les mesures de temps sont reliées entre elles. Et il serait en effet insensé que quelque chose puisse se produire dans l’espace sans que le temps n’y soit impliqué. On se souvient que la mesure du temps dépend de la vitesse à laquelle on se déplace. Par exemple, si nous regardons quelqu’un passer dans un vaisseau spatial, nous voyons que les choses se déroulent plus lentement pour lui que pour nous. Disons qu’il part en vol et revient au bout de 100 secondes exactement à nos montres ; sa propre montre peut indiquer qu’il n’est parti que pendant 95 secondes. Comparée aux nôtres, sa montre — et tous les autres processus, comme les battements de son cœur — se sont déroulés lentement.

Examinons un problème intéressant. Supposons que vous êtes le passager du vol spatial. On vous demande de partir à un certain signal et de revenir exactement à votre point de départ juste à temps pour recevoir un signal postérieur, disons exactement 100 secondes plus tard sur notre horloge. Et l’on vous demande aussi de faire le voyage de telle manière que votre montre indiquera le temps écoulé le plus long possible. Comment vous déplacerez-vous ? Vous devriez rester immobile. Si vous bougez le moins du monde, votre montre indiquera moins de 100 secondes à votre retour.

Supposons toutefois que nous changions un peu le problème. Supposons que nous vous demandions de partir au point A à un certain signal pour aller au point B (tous deux fixés par rapport à nous), et de le faire de telle manière que vous soyez de retour juste à temps pour recevoir un second signal (disons 100 secondes plus tard selon nos horloges fixes). On vous demande une fois encore de faire le voyage de telle façon que vous reveniez le plus tard possible d’après votre montre. Comment vous y prendriez-vous ? Pour quel trajet et quel horaire votre montre indiquera le temps écoulé le plus long possible à votre arrivée ? La réponse est que vous mettrez le plus long temps possible de votre point de vue si vous faites le voyage en ligne droite à vitesse uniforme. La raison en est que tout autre trajet et toute vitesse très grande ralentiront votre montre. Comme les déviations temporelles dépendent du carré de la vitesse, ce que vous perdez en allant extrêmement vite à un endroit, vous ne pourrez jamais le regagner en allant extrêmement lentement à un autre endroit.

Il résulte de tout ça que nous pouvons utiliser cette idée pour définir « une ligne droite » dans l’espace-temps. L’analogue d’une ligne droite dans l’espace est dans l’espace-temps un mouvement à vitesse uniforme dans une direction constante.

La courbe de plus courte distance dans l’espace correspond dans l’espace-temps au trajet non de plus courte durée, mais au contraire de plus long temps, à cause des choses curieuses qui arrivent au signe des termes en t dans la théorie de la relativité. Le mouvement « en ligne droite » — l’analogue de la vitesse uniforme le long d’une ligne droite — est alors ce mouvement qui déplace une montre d’un endroit à un certain temps à un autre endroit à un autre temps de telle manière que s’écoule le plus long temps possible sur la montre. Ce sera notre définition de l’analogue d’une ligne droite dans l’espace-temps.

12-5 La gravité et le principe d’équivalence

Nous sommes prêts maintenant à discuter les lois de la gravitation. Einstein s’est employé à construire une théorie de la gravitation qui s’accorde avec la théorie de la relativité qu’il avait développée auparavant. Il avançait à grand-peine jusqu’à ce qu’il tombe sur un principe qui le guida vers les lois correctes. Le principe est fondé sur cette idée que, lorsqu’un objet tombe en chute libre, tout ce qui se trouve en son sein apparaît sans poids. Par exemple, un satellite en orbite tombe en chute libre dans la gravité terrestre et l’astronaute qui s’y trouve se sent dénué de poids. Cette idée, formulée plus précisément, est appelée principe d’équivalence d’Einstein. Elle repose sur le fait que tous les objets tombent avec exactement la même accélération quelle que soit leur masse ou leur nature. Si un vaisseau spatial est en train de descendre en chute libre et s’il y a un homme à l’intérieur, alors les lois gouvernant la chute de l’homme et du vaisseau sont les mêmes. S’il se met au milieu du vaisseau, il y restera. Il ne tombe pas par rapport au vaisseau. C’est ce que nous voulons dire lorsque nous disons qu’il est « sans poids ».

Supposons que vous soyez dans une fusée qui est en phase d’accélération. Accélération par rapport à quoi ? Disons simplement que ses moteurs sont allumés et exercent une poussée de sorte qu’elle ne descend pas en chute libre. Imaginons aussi que vous soyez au loin dans l’espace vide si bien que pratiquement aucune force gravitationnelle ne s’exerce sur la force. Si la fusée a une accélération de « lg » vous pourrez vous maintenir sur le « sol » et vous sentirez votre poids normal. Si vous lâchez une balle, elle tombera au sol. Pourquoi ? Parce que la fusée accélère « vers le haut » mais aucune force ne s’exerce sur la balle, si bien qu’elle n’accélérera pas ; elle sera laissée derrière. À l’intérieur de la fusée, la balle paraîtra avoir une accélération vers le bas de « lg ».

Comparons maintenant cette situation avec celle d’un vaisseau spatial immobile sur le pas de tir. Tout y est identique ! Vous seriez retenu au sol, une balle tomberait avec une accélération de lg, etc. En fait, comment pouvez-vous savoir à l’intérieur du vaisseau que vous être immobile sur Terre ou en train d’accélérer dans l’espace libre ? Selon le principe d’équivalence d’Einstein, il n’y a aucun moyen de le savoir tant que vous faites des mesures sur ce qui se passe uniquement à l’intérieur !

Pour être exact, ce n’est vrai que pour un point à l’intérieur du vaisseau. Le champ gravitationnel de la Terre n’est pas précisément uniforme, si bien qu’une balle en chute libre a une accélération légèrement différente selon l’endroit — la direction comme la grandeur changent. Mais si nous imaginons un champ gravitationnel strictement uniforme, il est complètement imité à tous égards par un système en accélération constante. C’est la base du principe d’équivalence.

12-6 La vitesse des horloges dans un champ gravitationnel

Nous allons utiliser le principe d’équivalence pour nous représenter une chose étrange qui se produit dans un champ gravitationnel. Nous verrons quelque chose qui arrive dans un vaisseau spatial à quoi on ne s’attendrait probablement pas dans un champ gravitationnel. Supposons que nous placions une horloge dans la tête de la fusée — c’est-à-dire sur le devant — et une autre horloge identique à l’arrière, comme sur la Fig. 12-16. Appelons les deux horloges A et B. Si nous les comparons quand le vaisseau est en phase d’accélération, l’horloge A semble aller vite par rapport à l’horloge B. Pour le voir, imaginons que l’horloge A émette un éclair lumineux chaque seconde et que vous soyez assis à l’arrière, comparant l’arrivée de ce signal lumineux aux battements de l’horloge B. Disons que la fusée est dans la position a de la Fig. 12-17 quand l’horloge A émet un éclair et dans la position b quand cet éclair parvient à l’horloge B. Plus tard, le vaisseau sera dans la position c quand l’horloge A émettra l’éclair suivant et dans la position d quand vous le verrez arriver à l’horloge B.

Fig. 12-16. Une fusée spatiale en accélération avec deux horloges.

Le premier éclair parcourt une distance L₁ et le second la distance plus courte L₂. Elle est plus courte parce que la fusée accélère et a une vitesse plus grande au moment du second éclair. On peut voir, ainsi, que si les deux éclairs étaient émis par l’horloge A à une seconde d’intervalle, ils parviendraient à l’horloge B avec un intervalle inférieur à une seconde puisque le second éclair ne passe pas autant de temps en chemin. La même chose se produira pour tous les autres éclairs ultérieurs. Par conséquent, si vous étiez assis à l’arrière, vous en concluriez que l’horloge A va plus vite que l’horloge B. Et si vous deviez faire la même chose à l’envers — faire émettre un signal lumineux par l’horloge B et l’observer à l’avant près de l’horloge A — vous en concluriez que B va plus lentement que A. C’ est tout à fait cohérent et il n’y a rien de mystérieux à cela.

Fig. 12-17. Une horloge à l’avant d’une fusée spatiale en accélération paraît aller plus vite qu’une horloge à l’arrière.

Mais considérons maintenant la fusée spatiale immobile dans le champ gravitationnel terrestre. La même chose se passe. Si vous vous asseyez par terre avec une horloge et si vous en regardez une autre placée sur une étagère haute, celle-ci paraîtra aller plus vite que celle-là ! Vous direz : « C’est faux. Le temps devrait être le même. Sans accélération, il n’y a pas de raison que les horloges n’apparaissent pas synchrones. » Elles doivent ne pas l’être si le principe d’équivalence est correct. Et Einstein insista sur le bien-fondé du principe et alla courageusement et avec raison de l’avant. Il proposa que des horloges en différents endroits d’un champ gravitationnel doivent paraître aller à différentes vitesses. Mais si l’une paraît toujours aller à une vitesse différente par rapport à une autre, alors, pour ce qui concerne la première, l’autre va effectivement à une autre vitesse.

Nous nous trouvons maintenant dans une situation analogue à celle de l’insecte sur le disque chaud. Nous imaginions que les règles et les insectes comme tout le reste changeaient de longueur de la même manière aux différentes températures de sorte qu’ils ne pouvaient jamais dire que leurs étalons de mesure changeaient lorsqu’ils se déplaçaient sur le disque chaud. C’est la même chose avec les horloges dans un champ gravitationnel. Chaque horloge disposée à un niveau plus élevé paraît aller plus vite. Les battements de cœur vont eux aussi plus vite, tous les processus se déroulent plus rapidement.

S’ils ne le faisaient pas, on serait capable de faire la différence entre un champ gravitationnel et un système de référence accéléré. L’idée que le temps peut varier de place en place est difficile à concevoir, mais c’est l’idée qu’Einstein a utilisée, et elle est correcte — que vous le croyiez ou non.

Grâce au principe d’équivalence, nous pouvons savoir comment la vitesse d’une horloge change avec l’altitude dans un champ gravitationnel. Il nous suffit de déterminer l’écart entre les deux horloges dans la fusée en accélération. Le moyen le plus simple de le faire est de se servir d’une équation établie à propos de l’effet Doppler : si v est la vitesse relative d’une source et a un récepteur, la fréquence reçue est liée à la fréquence émise par la relation

Or, dans le cas de la fusée en accélération de la Fig. 12-17, l’émetteur et le récepteur se déplacent à la même vitesse à tout instant. Mais pendant que les signaux lumineux allaient de l’horloge A à l’horloge B, la fusée a accéléré. Elle a en effet pris la vitesse additionnelle gt, où g est l’accélération et t le temps qu’il faut à la lumière pour parcourir la distance H de A à B. Ce temps est très proche de H/c. Ainsi, lorsque les signaux arrivent à B, la vitesse du vaisseau s’est accrue de gH/c. Le récepteur a toujours cette vitesse par rapport à l’émetteur à l’instant où il émet le signal. C’est donc la vitesse que nous devons utiliser dans la formule du décalage Doppler (12.4). En supposant que l’accélération et la longueur du vaisseau sont assez petites pour que cette vitesse soit bien inférieure à c, nous pouvons négliger le terme en v²/c². Nous avons alors

Et pour les deux horloges du vaisseau spatial nous avons la relation

où H est la hauteur de l’émetteur au-dessus du récepteur.

En vertu du principe d’équivalence le même résultat doit être obtenu pour deux horloges séparées par la hauteur H dans un champ gravitationnel avec une accélération de chute libre g.

C’est une idée tellement importante que je voudrais démontrer qu’elle résulte aussi d’une autre loi de la physique — de la conservation de l’énergie. Nous savons que la force gravitationnelle d’un objet est proportionnelle à sa masse M, laquelle est liée à son énergie totale interne E par M = E/c². Par exemple, les masses des noyaux déterminées à partir des énergies des réactions nucléaires qui transmutent un noyau en un autre correspondent aux masses obtenues à partir des poids atomiques.

Considérons un atome dont le plus bas état d’énergie totale est E₀ et le plus haut E₁, et qui peut passer de l’état E₁ à l’état E0 en émettant de la lumière. La fréquence de la lumière sera donnée par

Supposons que nous ayons un tel atome dans l’état E₁ assis par terre et que nous l’élevions à une hauteur H. Pour y parvenir, nous devons fournir du travail afin de soulever la masse m₁ = E₁/c² contre la force gravitationnelle. La quantité de travail effectué est

Laissons l’atome émettre un photon et passer à l’état d’énergie inférieur E₀. Ramenons ensuite l’atome sur le plancher. Dans le trajet retour la masse est E₀ /c² ; nous récupérons l’énergie

de sorte que nous avons fourni une quantité nette de travail égale à

En émettant le photon, l’atome a cédé la quantité d’énergie E₁ − E₀. Supposons que le photon tombe par terre et soit absorbé. Quelle quantité d’énergie donnera-t-il ? On pourrait penser à première vue qu’il donnera précisément la quantité E₁ − E₀. Mais ça ne peut pas être le cas si l’énergie est conservée, comme on peut le voir d’après l’argument suivant. On est parti de l’énergie E₁ au plancher. Et nous avons fini avec l’énergie au plancher E₀ plus l’énergie Eph reçue du photon. Entre-temps, nous avons dû fournir l’énergie additionnelle ΔU de l’équation (12.10). Si l’énergie est conservée, l’énergie restant au plancher à la fin doit être plus grande que celle que nous avions au départ d’une quantité exactement égale au travail que nous avons effectué. Autrement dit, nous devrions avoir

Eph + E₀ = E₁ + ΔU,

ou

Le photon ne doit pas arriver au sol avec juste l’énergie E₁ − E0 qu’il avait au départ, mais avec un peu plus d’énergie. Autrement de l’énergie serait perdue. Si nous substituons dans l’équation (12.11) le ΔU que nous donne l’équation (12.10), nous trouvons que le photon arrive au plancher avec l’énergie

Mais un photon d’énergie Eph a la fréquence ω = Eph /ħ. En appelant la fréquence du photon émis ω₀ — qui est égale à (E₁ − E₀)/ħ par l’équation (12.7) — l’équation (12.12) donne à nouveau la relation (12.5) entre la fréquence du photon quand il est absorbé par le sol et la fréquence à laquelle il a été émis.

Le même résultat peut être obtenu d’une autre manière. Un photon de fréquence ω₀ a une énergie E₀ = ħω₀. Comme l’énergie E₀ a une masse gravitationnelle E₀ /c², le photon a une masse (pas une masse au repos) ħω₀ /c², et se trouve « attiré » par la terre. En tombant d’une hauteur H, il gagne une énergie additionnelle (ħω₀ /c²) gH, de sorte qu’il arrive avec une énergie

Mais sa fréquence après la chute est E/ħ, ce qui donne à nouveau l’équation (12.5). Nos idées concernant la relativité, la physique quantique et la conservation de l’énergie ne collent ensemble que si les prédictions d’Einstein sur les horloges dans un champ gravitationnel sont vraies. Les changements de fréquence dont nous parlons sont normalement très petits. Par exemple, pour une différence d’altitude de 20 mètres à la surface de la terre, la différence de fréquence n’est que d’environ deux unités sur 10¹⁵. Toutefois, un tel changement a précisément été trouvé expérimentalement en se servant de l’effet Mössbauer¹.

12-7 La courbure de l’espace-temps

Nous allons maintenant relier ce dont nous venons de parler à l’idée d’espace-temps courbe. Nous avons déjà souligné que si le temps s’écoule différemment selon l’endroit, c’est analogue à l’espace courbe du disque chaud. Mais c’est plus qu’une analogie ; cela signifie que l’espace-temps est courbe. Essayons de faire un peu de géométrie dans l’espace-temps. Cela peut surprendre au premier abord, mais nous avons souvent fait des diagrammes d’espace-temps avec l’espace porté sur un axe et le temps sur l’autre. Supposons que nous essayions de tracer un rectangle dans l’espace-temps. Nous commençons par tracer un axe de hauteur H et un autre de longueur t comme sur la Fig. 12-18 (a). Pour dessiner la base de notre rectangle, nous prenons un objet qui est au repos à la hauteur H₁ et suivons sa ligne d’univers pendant 100 secondes. Nous obtenons la ligne BD sur la Fig. (b), parallèle à l’axe des temps t. Prenons alors un autre objet qui se trouve à 100 mètres au-dessus du premier à t = 0. Il part du point A sur la Figure (c). Nous suivons sa ligne d’univers telle, que la mesure une horloge en A, pendant 100 secondes. Cet objet va de A à C comme on le montre sur la Fig. (d). Mais on remarquera que, comme le temps s’écoule à des rythmes différents aux deux-hauteurs — nous supposons qu’il y a un champ gravitationnel — les deux points C et D ne sont pas simultanés. Si nous essayons de compléter le carré en traçant une ligne jusqu’au point C′ qui se trouve à 100 mètres au-dessus du point D au même temps, comme sur la Fig. (e), les morceaux ne s’ajustent pas. C’est ce que nous entendons quand nous disons que l’espace-temps est courbe.

Fig. 12-18Tentative de faire un rectangle dans l’espace-temps.

12-8 Le mouvement dans un espace-temps courbe

Considérons la petite énigme suivante. Nous avons deux horloges identiques, A et B, reposant à la surface de la Terre comme sur la Fig. 12-19. Nous élevons l’horloge A à une certaine hauteur H, l’y maintenons un moment et la reposons au sol de sorte qu’elle y parvienne juste au moment où l’horloge B a avancé de 100 secondes. Alors, l’horloge A marquera quelque chose comme 107 secondes, parce qu’elle est allée plus vite lorsqu’elle était en l’air. Voici l’énigme. Comment faut-il déplacer l’horloge A afin qu’elle avance le plus possible — en supposant toujours qu’elle revient lorsque B marque 100 secondes. Vous direz : « C’est facile. Il suffit d’emmener A aussi haut que possible. Elle ira alors aussi vite que possible et avancera le plus lorsque vous reviendrez. » Faux ! Vous avez oublié quelque chose — nous n’avons que 100 secondes pour monter et descendre. Si nous allons très haut, nous devons aller très vite pour y arriver et revenir en 100 secondes. Or, il ne faut pas oublier l’effet relativiste qui ralentit les horloges d’un facteur . Cet effet relativiste agit dans le sens d’une diminution du temps. On se trouve devant une sorte de jeu. Si nous restons immobiles avec l’horloge A, nous avons 100 secondes. Si nous montons lentement à une faible hauteur et descendons lentement, nous pouvons avoir un peu plus de 100 secondes. Si nous allons un peu plus haut, nous pouvons peut-être faire un petit gain. Mais si nous allons trop haut, nous devons y aller vite et nous pouvons ralentir l’horloge suffisamment pour nous retrouver avec moins de 100 secondes. Quelle relation hauteur/temps — à quelle hauteur aller et à quelle vitesse, soigneusement ajustées pour nous ramener à l’horloge B lorsqu’elle a précisément avancé de 100 secondes — nous donnera le plus long temps possible sur l’horloge A ?

Réponse : trouver la vitesse à laquelle on doit lancer une balle en l’air de telle sorte qu’elle retombe à terre en exactement 100 secondes. Le mouvement de la balle — s’élevant vite, s’arrêtant et redescendant — est exactement le bon mouvement pour rendre le temps maximum sur une montre-bracelet attachée à la balle.

Considérons maintenant un jeu un peu différent. Soit deux points A et B sur la surface terrestre à une certaine distance l’un de l’autre. Nous jouons au même jeu que tout à l’heure pour trouver ce que nous appelons la « ligne droite ». Nous demandons comment aller de A à B de telle sorte que le temps sera le plus long sur notre montre en mouvement — en supposant que nous partons en A à un signal donné et arrivons en B à un autre signal dont nous dirons qu’il a été émis 100 secondes plus tard d’après une horloge fixe. Vous direz cette fois : « Eh bien, nous avons déjà appris que la chose à faire est de se déplacer en ligne droite à une vitesse uniforme de sorte que nous arrivions en B exactement 100 secondes plus tard. Si nous ne suivons pas une ligne droite, notre vitesse est plus élevée et notre montre se trouve ralentie. » Attention ! C’était avant que nous ne prenions la gravité en compte. Ne vaudrait-il pas mieux tourner un peu vers le haut et redescendre ensuite ? Ainsi une partie du temps ne sommes-nous pas un peu plus haut et notre montre ne va-t-elle pas un peu plus vite ? Si, en effet ! Si vous résolvez le problème mathématique d’ajustement de la courbe du mouvement de telle sorte que le temps écoulé sur la montre en mouvement est le plus long qu’il se puisse, vous trouverez que le mouvement est une parabole — la même courbe que suit un engin balistique libre dans le champ gravitationnel, comme sur la Fig. 12-19. Par conséquent, la loi du mouvement dans un champ gravitationnel peut aussi se formuler en ces termes : un objet se déplace toujours d’un lieu à un autre de telle sorte qu’une horloge portée par lui donne le plus long temps par rapport à toute autre trajectoire — avec, bien entendu, les mêmes conditions initiales et finales. Le temps mesuré par une horloge en mouvement est souvent appelé son « temps propre ». En chute libre, la trajectoire rend maximum le temps propre d’un objet.

Fig. 12-19 Dans un champ gravitationnel uniforme, la trajectoire qui a le temps propre maximum pour un temps écoulé donné est une parabole.

Voyons comment cela marche. Nous commençons avec l’équation (12.5) qui dit que la montre en mouvement indique un temps en excès de

À part cela, nous devons nous souvenir qu’il y a une correction de signe opposé pour la vitesse. Pour cet effet, nous savons que

Bien que le principe soit valide pour toute vitesse, nous prenons un exemple dans lequel les vitesses sont toujours inférieures à c. Nous pouvons alors écrire cette équation sous la forme

ω = ω₀ (1 − ν² /2 c²),

et la baisse de rythme sur notre horloge est

En combinant (12.13) et (12.14) nous obtenons

Un tel décalage de fréquence dans notre horloge en mouvement signifie que si nous mesurons un temps dt sur une horloge fixe, celle en mouvement enregistrera le temps

Le temps total en excès sur toute la trajectoire est l’intégrale du terme en plus par rapport au temps, à savoir

supposé être un maximum.

Le terme gH est juste le potentiel de gravitationnel ϕ. Imaginons que nous multipliions le tout par un facteur constant − mc², où m est la masse de l’objet. La constante ne changera pas la condition pour un maximum, mais le signe moins changera juste le maximum en minimum. L’équation (12.16) dit alors que l’objet se déplacera de telle façon que

Mais la grandeur à intégrer apparaît maintenant comme la simple différence entre énergie cinétique et potentielle. Or j’ai montré au chapitre 19 de mon cours d’électromagnétisme, à propos du principe de moindre action, que les lois newtoniennes du potentiel pouvaient toujours être mises sous cette forme.

12-9 La théorie de la gravitation d’Einstein

Les équations du mouvement d’Einstein — temps propre maximum dans un espace-temps courbe — donnent les mêmes résultats que les lois de Newton pour les petites vitesses. Tandis que Gordon Cooper tournait autour de la terre, sa montre avançait par rapport à ce qu’elle aurait indiqué sur n’importe quelle autre trajectoire imaginable pour son satellite².

Ainsi, les lois de la gravitation peuvent être formulées de manière remarquable en termes de géométrie de l’espace-temps. Les particules prennent toujours le plus long temps propre — dans l’espace-temps, une quantité équivalant à « la plus courte distance ». Telle est la loi du mouvement dans un champ gravitationnel. Le grand avantage de la présenter de cette manière, c’est qu’elle ne dépend d’aucun système de coordonnées, ni d’aucune autre manière de décrire une situation.

Résumons ce que nous avons fait. Nous avons donné deux lois de la gravité :

(1) Comment la géométrie de l’espace-temps change quand la matière est présente — à savoir que la courbure exprimée en termes de rayon en excès est proportionnelle à la masse interne d’une sphère (Éq. 12.3).

(2) Comment les lois se déplacent s’il n’y a que des forces gravitationnelles — à savoir que les objets se déplacent de telle façon que leur temps propre entre les deux conditions extrêmales soit un maximum.

Ces deux lois correspondent à des paires semblables de lois que nous avons rencontrées plus tôt. Nous avons commencé par décrire le mouvement dans un champ gravitationnel en termes de loi de la gravitation inversement proportionnelle au carré et des lois du mouvement de Newton. Les lois (1) et (2) prennent maintenant leur place. Notre nouvelle paire de lois correspond aussi à ce que nous avons vu en électrodynamique. Nous y avions notre loi — les équations de Maxwell — qui déterminent les champs produits par des charges. Elles nous disent comment le caractère de l’« espace » est modifié par la présence de matière chargée, ce que la loi (1) fait pour la gravité. En outre, nous avions une loi sur la manière dont les particules se meuvent dans ces champs — d (mv)/dt = q (E + v × B). C’est ce que fait pour la gravité la loi (2).

On a avec les lois (1) et (2) un énoncé précis de la théorie de la gravité d’Einstein — bien qu’on la trouvera énoncée habituellement sous une forme mathématique plus compliquée. Nous devons néanmoins ajouter quelque chose. Tout comme les échelles de temps changent de place en place dans un champ gravitationnel, les échelles de longueur changent elles aussi. Les règles changent de longueur quand on se déplace. Il est impossible, avec un espace et un temps si intimement liés, d’avoir quelque chose qui arrive dans le temps et qui ne se reflète pas d’une manière ou d’une autre dans l’espace. Prenons l’exemple le plus simple. Vous dépassez la terre. Ce qui est « temps » de votre point de vue est en partie « espace » pour nous. Il doit donc bien y avoir des changements dans l’espace. C’est tout l’espace-temps qui est déformé par la présence de matière, et c’est beaucoup plus compliqué qu’un simple changement dans l’échelle du temps. Pourtant, la règle que nous avons donnée dans l’équation (12.3) est suffisante pour déterminer complètement toutes les lois de la gravitation, étant entendu que cette loi de courbure de l’espace est vraie non seulement du point de vue d’un individu mais s’applique à tout le monde. La théorie doit être arrangée de telle sorte que chacun — quelle que soit la manière dont il se déplace — trouve, lorsqu’il dessine une sphère, que 1 rayon en excès est G/3 c² fois la masse totale de la sphère (ou, mieux, G/3 c⁴ fois l’énergie totale contenue en elle). Que cette loi — loi (1) — doive être vraie pour tout système en mouvement est l’une des grandes lois de la gravitation et elle est appelée équation du champ d’Einstein. L’autre grande loi est (2) — que les objets doivent se mouvoir de telle façon que le temps propre soit un maximum — et elle est appelée équation du mouvement d’Einstein.

Écrire ces lois sous une forme complètement algébrique, les comparer avec celles de Newton, ou les relier à l’électrodynamique est mathématiquement difficile. Mais c’est ce à quoi ressemblent nos lois les plus complètes de la physique de la gravitation aujourd’hui.

Bien qu’elles donnent un résultat conforme à la mécanique de Newton dans l’exemple simple que nous avons considéré, elles ne le font pas toujours. Les trois divergences qu’Einstein a le premier dérivées ont été confirmées expérimentalement : l’orbite de Mercure n’est pas une ellipse fixe ; la lumière stellaire qui passe près du soleil est déviée deux fois plus qu’on le penserait ; et le rythme des horloges dépend de leur localisation dans un champ gravitationnel. Chaque fois que les prédictions d’Einstein se sont trouvées différentes des idées de la mécanique newtonienne, la Nature a choisi Einstein.

Nous pouvons résumer tout ce que nous avons dit de la manière suivante. Premièrement, les échelles de temps et de distance dépendent de l’endroit où on les mesure et du temps. Cela revient à dire que l’espace-temps est courbe. À partir de la mesure de la surface d’une sphère nous pouvons définir un rayon prédit, , mais le rayon effectivement mesuré sera en excès par rapport à celui qui est proportionnel (la constante est G/c²) à la masse totale contenue dans la sphère. Cela détermine exactement le degré de courbure de l’espace-temps. Et cette courbure doit être la même quel que soit l’observateur de la matière ou la manière dont elle se meut. Deuxièmement, les particules se déplacent en « lignes droites » (trajectoires de temps propre maximum) dans cet espace-temps courbe. Tel est le contenu des lois einsteiniennes de la gravitation.

1. R.V. Pound et G.A. Rebka, Jr., Physical Review Letters, vol. 4, 1960, p. 337.

2. À strictement parler, il ne s’agit que d’un maximum local. Nous aurions dû dire que le temps est plus long que pour toute autre trajectoire voisine. Par exemple, le temps propre sur une orbite elliptique circumterrestre n’est pas nécessairement plus long que sur une trajectoire balistique d’un objet qui est projeté très haut et retombe.

Index

Accélération

force, masse et ~, 105, 109

vers le centre d’une trajectoire circulaire, 114

Acétylcholine, 64

Acides aminés, 69, 72, 73

Actomyosine, 64

Adénine, 72

ADN, 70-73

Air

évaporation de l’eau, 18-21

mouvement turbulent, 77

Algèbre vectorielle, 175-179

addition, 175-176, 178-179

multiplication, 177, 179

quadri-vecteur, 287-291

soustraction, 177, 179, 180-181

Angström (Å), 13

Antiatomes, 213

Antimatière, 212-215

Antineutrons, 49, 213

Antiparticules, 49, 54, 213

Antiprotons, 49, 212

ARN, 73

Astronomie

physique et ~, 73-76, 81

Atomes

(voir aussi Mécanique quantique)

composants de la matière, 11-18

conservation de l’énergie et ~, 319-322

d’uranium, 268

dimension, 13, 44-45

échelle d’~, 192

introduction, 7-10

marques, 68

masse au repos, 269-270

preuve de l’existence des ~, 28-30

processus physiques et ~, 18-23

propriétés, 36

réactions chimiques, 24-30

réversibilité dans le temps et ~, 194

Atomique

bombe, 49-50

fait, 11

hypothèse, 11-18

Attraction

force électrique et ~, 37-38

Azote, 19, 21, 26

α-irone, 28

Baryons, 52-56, 102

lambda, 52-53

sygma, 52-53

Biologie

et physique, 62-73

Bombe atomique, 49, 50

énergie de la ~, 267-268

Brahé, Tycho, 106

Carbone, 24-25

Carbone dioxyde (gaz carbonique), 25-26

Carbone monoxyde (oxyde de carbone), 25

Cavendish

expérience de ~, 124-126

Cellule

fonction biologique de la ~, 49-52

nerveuse, 63-64

Chaleur

attraction moléculaire et ~, 13

comme phénomène naturel, 34

mécanique statistique et ~, 61-62

particules en mouvement, 37

Champ électrique

définition, 40

électrodynamique quantique, 48

magnétisme et ~, 40-41

Champ électromagnétique, 31, 35, 41

Champ gravitationnel

lois du mouvement dans un ~, 325, 327-330

vitesse des horloges dans un ~, 315-322

Champ magnétique

champ électromagnétique, voir Lois de Maxwell et Electrodynamique effet des différences géographiques, 190

expérience du cobalt, 209-211, 214

pôles et symétrie de réflexion, 203-205, 209-210, 214

Charge

conservation de la ~, 102

champs électriques et ~, 37-40

de l’électron, 49

électrodynamique quantique, 48

Charge nulle

particule de masse et de ~, 53-54

Chimie

minérale, 60

organique, 27, 61-62

physique et ~, 60-62

quantique, 61

Chimique

énergie, 86-99

formule, 26

réactions, 24-30

Chlorure de sodium, 21

Circulation des fluides turbulents, 81

Cobalt, 209-211, 214

Collision

analyse de ~, 260-265

de boules de billard, 222

inélastique, 264, 266

Combustion, 25

Comportement quantique

expérience avec des balles de fusil, 135-138, avec des ondes, 138-141, avec des électrons, 141-144

interférences des ondes d’électrons, 144-147

mécanique atomique, 133-135

Conservation

de l’énergie, 101-102

de la charge, 102

de la quantité de mouvement, 100-102

des baryons, 102

du moment cinétique, 100-102, 195

Conservation de l’énergie, 101-102

cinétique, 96, 97

potentielle gravitationnelle, 86-96

autres formes d’énergie, 98-103

lois de ~, 62, 83-86

Copernic, 106

Cycle

de Krebs, 66-68

respiratoire, 66

Cylindres

courbure des ~, 304-305

Cytosine, 72

Densité

ondes d’excès de ~, 37

pression d’un gaz proportionnelle à la ~, 16

Déplacement, 172

Différences géographiques

effet sur les lois physiques, 190

Direction

des vecteurs, 184-185

effet de ~, 166 (voir aussi Rotations)

grandeurs et ~, 172

Dissolution de l’air et des solides dans l’eau, 20-23

E = mc², 100

Eau

évaporation, 19-21

hypothèse atomique, 11-18

solides se dissolvant dans l’~, 21-23

vapeur d’~, 14, 19-21, 26

Échelle

changements d’~, 191-193, 207

Effet

Doppler, 291, 318-319

Mössbauer, 322

Einstein, 43, 100

équation du champ d’~, 330

équation du mouvement d’~, 330

espace-temps courbe, 293, 306, 309-311

principe d’équivalence, 313-322

théorie de la gravitation, 313, 327-330

théorie de la relativité, 220, 225, 240, 242-243, 247, 254

transformation de Lorentz et ~, 224

Électricité

comme phénomène naturel, 34

et gravitation, 38-39, 128-130

forces, 37-39

lois de l’~, 208

théorie de la relativité et ~, 222

Électrodynamique

lois de Maxwell, 222-225, 249, 329

quantique, 48-49, 55-56

Électromagnétique

champs, 35

ondes, 41-42

Électron (voir aussi Comportement quantique), 212-213, 245

différence avec les muons, 54-55

électron-volt, 283

masse/charge, 49

positron comme charge opposée, 49

propriétés, 39

propriétés chimiques dépendent des ~, 39

Ellipse, 107, 114

Énergie (voir aussi Conservation de l’énergie)

analyse vectorielle, 185

chimique, 86, 99

cinétique, 45, 86, 96-100, 185, 243, 266-270

comme composante temps des vecteurs, 282-286

conservation, 83, 97, 195, 266, 288, 319-321

d’activation, 66

de masse, 86, 100

de mouvement, 96

de rayonnement, 86

des étoiles, du soleil, 75-76

disponible, 102-103

du photon, 290-291

élastique, 86, 98

électrique, 86, 92-93, 99-100

équivalence entre la masse et l’~, 242-245, 282-283

formules des différentes formes d’~, 84-86

gravitationnelle, 86-96

nucléaire, 86, 100

relativiste, 265-270

sources d’~, 85-86

thermique, 86, 98-99

totale d’une particule, 269

vitesse, quantité de mouvement et ~ totale, 269-270

Entropie, 103

Enzymes, 67-70

Équation de Schrödinger, 200

Équivalence

principe d’~ d’Einstein, 313-322

Érosion, 77

Espace

réflexion dans l’~, 196-202

rotation dans l’~, 190, 193, 195

symétrie dans l’~, 188-194

différence entre l’espace-temps et l’~, 278

Espace courbe, courbure, 293-330

à deux dimensions, 293-305

à trois dimensions, 306-309

définition, 300, 302-303, 304, 305, 308

géométrie de l’~, 295-309, 312-313

géométrie de l’espace-temps et ~, 312-313

intrinsèque, 305

loi d’Einstein, 309-311

moyenne, 308, 310-311

négative, 304, 307

nombres, 308

positive, 304, 307

Espace-temps, 271-291

comparé à l’espace ordinaire, 278

courbe, 44

courbure, 294, 322-327

événement dans l’~, 274

géométrie de l’~, 271-276, 312-313, 322, 328

intervalles d’~, 276-279

ligne droite dans l’~, 313

passé, présent, futur dans l’~, 279-281

Étoiles, 73-76, 80-81, 118-124

amas globulaire d’~, 121

doubles, 119

Étrangeté, 53

Euclide, 36, 307

Évaporation, 19-21

Évolution, 80, 81

Expérience de Michelson et Morley, 225-230, 232, 236

Expérimentation (voir aussi Comportement quantique)

méthode scientifique et ~, 32, 46-47

technique, physique et ~, 68

Ferments, 67

Fibre de torsion, 125

Fluide turbulent, 81

Forces

à petites distances, 37

analyse d’un vecteur, 172-175, 179-180

centrifuge, 250-251

d’interaction, 36

électrique contrebalancée, 38

inertie et ~, 36, 109

intensité de la ~, distance et ~, 122-126

loi newtonienne de la quantité de

mouvement et ~, 240

nucléaire, 208, 215

proportionnelle à la surface, 14

rotation et ~, 168-171

Foucault

pendule de~, 193, 250

Fréquence

infrarouge, 42

ondes électromagnétiques, 41-43, 47-48

Fusion, 17-18

Futur (intervalles temporels), 279-281

Galaxie

amas de, 122

forme d’une, 121-122

Galilée, 109, 192-193

transformation de ~, 67-68, 223, 224

Gaz

compression d’un ~, 16

détente d’un ~, 16-17

hypothèse atomique, 14-18

Géologie

physique et ~, 76-78, 80-81

Glace

hypothèse atomique, 17-18

symétrie, 17

Gravitation

comme phénomène naturel, 34

comparée à l’électricité, 38-39

définition, 36

développement de la dynamique, 109-110

espace-temps courbe, 43-44

expérience de Cavendish, 124-126

interaction des particules, 55-56

lois de Kepler, 107-108

lois de Newton, 110-116

mécanisme de ~, 126-131

mouvements planétaires, 105-106

relativité et ~, 131-132

universelle, 116-124

Gravitons, 53, 55

Guanine, 72

Guanadine

di-phosphate (GDP), 67-68

tri-phosphate (GTP), 67-68

Grandeur

ordinaire, 172

sans direction, 172

Géométrie

de l’espace courbe, 302-309, 312-313

de l’espace-temps (voir espace-temps)

Hélium, 18, 74-75

Hémoglobine, 70

Horloges

ralentissement des ~ dans un système en mouvement, 231-235

vitesse des ~ dans un champ gravitationnel, 315-321, 325-327

Huygens, Christian, 222

Hydrogène, 75-76

Imino-acide, 69

Inertie, 36, 109, 130-131, 241, 266

Influence

passé et futur, 280

Interaction

à longue distance, 36

de désintégration bêta, 55

électrique, 55-56

entre particules, 55

faible, 55-56

force d’~, 36

forte, 56

Interférence

expériences d’~, 135-136

Intervalles d’espace-temps, 276-279

Invariance, voir Symétrie

Invariant, voir Scalaire

Ion, 21-22

Isotopes, 68, 76

Jupiter

lunes de ~, 117-118

Képler

lois de, 107-108

Krebs

cycle de, 66-68

Lepton, 52-54, 102

Liquides

hypothèse atomique, 16-17

Lois de conservation

de l’énergie (voir Énergie, conservation de l’~)

de la charge électrique, 196

de la masse, 266-267

de la parité, 208-212

de la quantité de mouvement (voir Quantité de mouvement)

quadri-vecteurs, 287-288

symétrie et ~, 194-196

Lois de la gravité

de l’inverse carré, 110, 112, 121

effet d’un changement d’échelle, 192

lois de Newton, 294, 328

principe d’équivalence et ~, 313-322

symétrie de réflexion dans les ~, 208

théorie d’Einstein, 327-330

Lois de Képler, 107-108

Lois de la mécanique

effet des ~ dans la transformation de Lorentz, 239

équations des ~, 163-165

Lois de Maxwell, 222-225, 249, 329

Lois de Newton, 163, 164, 165, 170-171

de la gravitation universelle, 293

deuxième loi, 219

du mouvement, 293

en notations vectorielles, 179-182

force comme taux de changement

de la quantité de mouvement, 240

invariance des~, 171, 179

principe de moindre action, 327

principe de relativité et ~, 220-222, 224-225, 240-242, 249, 251, 254, 267

Lois des phénomènes naturels, 34-38, 83, 105-106, 109-110

Lois du mouvement, 220-221

dans un champ gravitationnel, 325-330

de Newton, 293

Lois physiques

(voir Lois de conservation)

effet d’un changement d’échelle, 191-193

invariance, 171, 179

notation vectorielle, 179-180

réversibilité dans le temps des ~, 193-194

symétrie des ~, 163-164, 252

Lorentz, Hendrik Anton, 229

Lumière

astronomie, physique et ~, 73-76

comme phénomène naturel, 34

comportement quantique des électrons avec la ~, 147-155

distance mesurée par la vitesse de la ~, 277

électrodynamique quantique, 48-49

émission, 48-49

énergie de la ~, 99

ondes, 41, 133

photon lumineux, 290-291

représentation dans l’espace-temps, 275, 277

variation de la longueur d’onde de la ~, 192

vitesse de la ~, 222-223, 227-228, 249-250, 277, 279

Lune

loi de la gravitation et ~, 111-112, 114-116

Machines

à soulever des poids, 87-91

réversibles, 88-91

Magnétisme

charges en mouvement relatif, 40

comme phénomène naturel, 34

lois du ~, 208

principe de relativité et ~, 222

Marée

attraction de la lune et ~, 115-116

système terre-lune avec ~, 115-116

Masse

au repos, 219, 266, 269-270, nulle, 290-291

conservation de la ~, 265-267

de la terre, 125-126

des objets qui se rencontrent, 259-265

électrons, 49

en mouvement, 269-270

énergie de ~, 86, 100

équivalence entre l’énergie et la ~, 242-245, 282-284

force de gravitation proportionnelle à la ~, 130-131

nulle, 55

relativité de la ~, 219-220, 239-242, 259-265

température et ~, 242

Mathématique

physique et ~, 59

Matière

(voir aussi Comportement quantique)

électrodynamique quantique, 48-49

hypothèse atomique, 11-18

particules dans la ~, 36-37

Matière et antimatière, 212-215

Mécanique

atomique, 133-135

comme phénomène naturel, 34

statistique, 61, 75

Mécanique quantique, 194-196

de la chimie, 35, 60

définition, 133

gravitation et ~, 132

premiers principes de ~, 155-157

principe d’incertitude, 158-160

propriétés de la ~, 43-49

Membrane cellulaire, 53

Mémoire, 79

Mendeleïev

tableau périodique, 51, 54, 60

Méson, 53, 54, 56

comme phénomène naturel, 34

K, 54, 269

Θ, 208

μ, 50, 54, 234-235, 253-254

π, 50-55

τ, 208

Météorologie et temps, 76-77, 81

Méthode scientifique, 32

MeV, 52

Microscope

électronique, 28

optique, 28

Molécules

concept de ~, 23

et odeur, 26-27

oxygène, 19, 24-25

oxygène/azote, 19-21

réactions chimiques, 24-30

Moment cinétique

conservation du ~, 100, 102

Montagne, 76-78

Mouvement

(voir aussi Vitesse)

absolu, 249-250

brownien, 29

composante verticale du ~, 259, 286

dans un espace-temps courbe, 323-327

de translation uniforme, 247

énergie du ~, 96-97

équation d’Einstein du ~, 327, 329-330

horizontal, 112-113

lois du ~, 109-110

perpétuel, 87

turbulent, 77

vertical, 112-113

Mouvements planétaires

gravitation et ~, 105-106

Muon, 50-51, 54

Myosine, 64

Nature

phénomènes de la ~, 34-35

Nébuleuses

lois de la gravitation et ~, 124

Neutrino, 55

Neutrons, 39, 49, 50, 213

Newton

force comme taux de changement de la quantité de mouvement, 240

gravitation universelle, 293

lois de ~, 44, 110-116, 118, 131-132, 163, 164, 165, 170-171, invariance, 171, 179, en notations vectorielles, 179-182

lois du mouvement, 293

deuxième loi, 219

principe de moindre action, 327

principe de relativité, 220-22, 224-225, 240-242, 249, 251, 254, 267

Nombre S, 51

Noyaux

particules et ~, 39, 49-57

taille, 44-45

Nucléaire

énergie, 86, 100

forces, 55

noyaux et particules, 49-57

physique ~ comme phénomène naturel, 34

Observation

méthode scientifique et ~, 32

Odeur

molécules et ~, 26-27

Ondes

comportement des ~, 43, 47

comportement quantique des ~, 138-141

d’oscillation, 41-43

électromagnétiques, 41-42

excès de densité, son, et ~, 37

radar, 42

radio, 41, 42

variation de la longueur d’~ de la lumière, 192

vitesse des ondes sonores, 223

Optique comme phénomène naturel, 34

Orientation angulaire et lois physiques, 168-170

Paradoxe des jumeaux, 252-254

Parité

conservation de la ~, 208-212

échec de la ~, 211

Particule

comportement des ~, 44, 47, 133-134

de charge nulle, 53

de masse nulle, 53

définition, 36

élémentaire, 52

étrangeté S, 51

interactions et ~, 55, 56

masses au repos, 55

noyaux et ~, 49-57

types de ~, 37-39

Passé (intervalles temporels), 279-280

Pasteur, Louis, 82

Pendule, 96

Philosophie naturelle, 59

Photon, 48, 290-291, 320-321

couplage, 55-56

électron et ~, 149-152

contrecharge opposée aux électrons, 49

Énergie des ~, 101

propriétés des ~, 53

Photosynthèse, 65

Physique

astronomie et ~, 73-76

avant 1920, 36-43

biologie et ~, 62-73

chimie et ~, 60-62

fondamentale, 32-34, 46

géologie et ~, 76-78

introduction, 31-36

mathématique et ~, 59

nucléaire, 34, 49-57

philosophie et ~, 45-46, 59

psychologie et~, 78-80

relations avec les autres sciences, 59, 80-82

Physique nucléaire, 34, 49-57

comme phénomène naturel, 34

noyaux, particules et ~, 49-57

Pion, 50, 54

Plan incliné, 93

Planck

constante de ~, 101, 158, 290

Plante

biologie des ~, 64-65

transpiration des ~, 26

Poincaré, Henri, 224, 230, 247

Position

incertitude de ~, 44

Positrons, 49, 212-213, 245

Précipitation, 23

Pression

atmosphérique, 13-14

pour enfermer un gaz, 14-16

Principe

d’incertitude, 44-45, 153-154, 158-160

de moindre action, 327

de travail virtuel, 95, 96

Probabilité, 135-138, 155-156

Processus dynamique, 22

Proline, 69

Protéine, 67, 69-73

Protons, 39, 50, 53, 213, 216

Psychologie

physique et ~, 78-80

Quadri-vecteurs, 238-239, 281-291

Quantité de mouvement, 172, 185

composante d’un vecteur, 282-286

conservation de la ~, 100-101, 195, 222, 240, 262-265, 288

d’un photon, 290

fonction de la vitesse, 260

incertitude sur la ~, 44

lois de Newton sur la force et la ~, 240

quadri-vecteurs, 285-286

transversale, 258-259, 262-265, 286

tri-vecteur, 286, 287

variation avec la vitesse, 240-241

vitesse, énergie totale et ~, 269-270

Radar, 42

Raison

méthode scientifique et ~, 32

Rayon cosmique, 42-43, 51

Rayon gamma, 42, 49, 213

Rayons X, 35, 42

Rayon vecteur, 107-108

Rayonnement

énergie de ~, 86, 100

Réaction nucléaire

étoiles, 75-76

Réflexion

antimatière et ~, 214

et symétrie, 196-202

identification de la droite et de la gauche, 206-207

vecteurs polaires et axiaux, 202-206

Règle d’incertitude, 45

Règles du jeu, 32-33

Relativité

(voir aussi Transformation de Lorentz)

addition des vitesses, 255-259

de la masse, 219-220, 239-242, 259-265

dynamique relativiste, 239-242

énergie relativiste, 265-270

expérience de Michelson et Morley, 225-230, 232, 236

gravité et ~, 131-132

loi de conservation de la quantité de mouvement, 288

philosophes et ~, 247-252

principe de la ~, 219-223, 247, 249

simultanéité, 236-238

théorie de la ~ générale, 220

théorie de la ~ restreinte, 219-245, 312

théorie de la, 55

transformation du temps, 230-235

Reproduction, 72-73

Répulsion

force électrique et ~, 37-38

Réseau cristallin, 17

Résonances, 53-54

Ribosomes, 73

Rotation

mesures de l’espace-temps, 271-273, 282

symétrie et ~, 166-171, 179, 189-190, 193

transformation de Lorentz, 238

uniforme, 250

Scalaire, 172, 183

fonction ~, 183

produit ~, 182-186, 289-290

Seconde

mesure de distance, 277

Sel

dissout dans l’eau, 21-23

Sensation

physiologie de la ~, 79

Simultanéité, 236-238, 281

disparition de la ~ à distance, 237

Soleil

mouvement planétaire et ~, 107-108

Solides

dissous dans l’eau, 21-23

hypothèse atomique, 16-17

Son

ondes d’excès de densité et ~, 37

Stevin, Simon, 93

Substances

propriétés des ~, 35

Symétrie, 161-163, 187-217

(voir aussi Vecteurs)

antimatière, 212-215

changement d’échelle et ~, 191-193, 207

conservation de la parité et ~, 208-212

dans l’espace et le temps, 188-194

définition, 161, 188

déplacements de translation, 163-166

des lois physiques, 252

droite et gauche, 197-207

lois de conservation et ~, 194-196

opérations de ~, 187-188

par rapport à une vitesse uniforme

en ligne droite, 190-191

réflexion et ~, 196-202

rotation des axes, 166-171, 179, 189-190, 193

vecteurs polaires et axiaux, 202-206

violation des ~, 215-217

Synthèse, 35-36

Système nerveux, 79

Table périodique des éléments, 51, 53, 60

Technetium, 75

Température

(voir aussi Chaleur)

comme scalaire, 172

d’un gaz, 16-18

géologie et ~, 77-78

masse et ~, 242

Temps

(voir aussi Espace-temps)

composantes vectorielles, 239, 281-287

conservation de l’énergie et ~, 102-103

courbe, 294 (voir aussi Espace courbe)

déplacement dans le ~, 193-194

espace et ~, 36, 43, 44, 56

intervalles, 278-281

réversibilité du ~, 193-194

symétrie dans le ~, 188-194

transformation du~, 230-235

Temps (météorologie), 76-77, 81

Terre

masse de la ~, 125-126

science de la ~, 76

vitesse de la ~, 223, 225-230

Théorie de la relativité restreinte, 219-245, 312

Thermodynamique, 61, 103

Thermonucléaires

réactions, 103

Thymine, 72

TNT

explosion, 50

Transformation de Lorentz, 191, 223-225

(voir aussi Galilée, transformation de)

conséquences de la ~, 254-259

contraction, 235-236

lois de la mécanique et ~, 239-240

paradoxe des jumeaux, 252-254

relations d’espace et de temps impliquées par la ~, 271-274, 277

rotation dans l’espace et le temps, 238-239, 281, 286

simultanéité, 236-238

Translation

déplacements, 163-166

mouvement uniforme de ~, 347

Transpiration, 26

Travail, 185, 266

virtuel, 95-96

Tremblements de terre, 77-78

Turbulent

fluide, 81

mouvement, 77

Ultraviolet

fréquence, 42

Univers

âge de l’~, 129-130

Vapeur

hypothèse atomique, 13-15

machine à ~, 87

Vecteur, 171-175

accélération, 179-182

axial, 202-205

composante temporelle, 238-239, 281-286

composantes, 173

définition, 172

direction, 185-186

lois de Newton en notations vectorielles, 179-182

polaire, 202-205

propriétés, 174-173

quadri-vecteurs, 238-239, 281-291

tri-vecteurs, 282, 286-287

unité, 185

vitesse, 177-179, 180-182, 282-283

Vérin, 95

Vitesse

absolue, 230, 248-250

addition des vitesses en relativité, 255-259

composante verticale de la ~, 259, 262-265, 286

de la lumière, 222-223, 227-228, 249-250, 277, 279

de la terre, 223, 225-230

des ondes sonores, 223

direction comme propriété de la ~, 172

énergie quantique et ~, 96-97

énergie totale et ~, 269

masse et ~, 219-223, 243

quantité de mouvement et ~, 240-241, 260, 269-270

transformation de la ~, 254-259

uniforme, 250

vecteurs, 177-179, 180-182, 282-284

Volcanisme, 77-78

Weyl, Hermann, 161, 188